专题06 一元一次方程特殊解的四种考法-2023年初中数学7年级上册同步压轴题（教师版含解析）

专题06 一元一次方程特殊解的四种考法

类型一、整数解问题

例.已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为(       )

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：解关于x的方程

得x(a)，

∵关于x的方程的解是负整数，

∴是负整数，

∴ 或或或

即满足条件的所有整数a为-2、-4、-5、-19，

∴满足条件的所有整数a的值的和为-2+(-4)+(-5)+(-19)＝-30，

故答案为：D．

【变式训练1】关于x的一元一次方程(k﹣1)x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和是(　　)

A．0 B．4 C．6 D．10

【答案】C

【详解】解：解方程得，x＝，

∵关于x的一元一次方程(k﹣1)x＝4的解是整数，

∴k﹣1的值为：﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，

∴k的值为：﹣3，﹣1，0，2，3，5，

∴符合条件的所有整数k的值的和是：(﹣3)+(﹣1)+0+2+3+5＝6，

故选：C．

【变式训练2】从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为(    )

A． B． C．32 D．64

【答案】D

【解析】由，解得：，

∵关于的方程的解为整数，

∴满足条件的的值可以为：，，2，4，∴()×()×2×4=64，

故选D．

【变式训练3】若整数使关于的一元一次方程有非正整数解，则符合条件的所有整数之和为(       )

A． B． C．0 D．3

【答案】B

【详解】∵，

∴x=，

∵一元一次方程有非正整数解，

∴a=6，a=3，a=-1，a=-2，a=-3，a=-6，

∴符合条件的所有整数之和为6+3-1-2-3-6=，故选B．

【变式训练4】已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数m的和是(    )

A． B． C．2 D．4

【答案】A

【详解】解：，两边同乘以3，得

去括号，得，移项合并同类项，得

因为方程有解，所以，所以

要使方程的解是非正整数，则整数满足： 且为整数

所以的值为：-1或-5，解得：m=-6或-2

则符合条件的所有整数m的和是：-6+(-2)=-8，故选：A

类型二、含绝对值型

例.有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程，

解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；

当时，方程可化为：，解得，符合题意．

所以，原方程的解为或．

请根据上述解法，完成以下两个问题：

(1)解方程：；

(2)试说明关于的方程解的情况．

【答案】(1)x=-1或x=；(2)当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解

【解析】(1)当x＜1时，方程可化为：，解得x=-1，符合题意．

当x≥1时，方程可化为：，解得x=，符合题意．

所以，原方程的解为：x=-1或x=；

(2)当x＜-3时，方程可化为：，，

解得：，

则，解得：，

当-3≤x≤1时，方程可化为： ，

当x＞1时，方程可化为：，解得：，

则，解得：，

综上：当a＞4时，方程有两个解；当a=4时，方程有无数个解；当a＜4时，方程无解．

【变式训练1】若，则____．

【答案】或

【解析】

①当时，

∵，∴，解得：；

②当时，∵，∴，

解得：(舍去)；

③当时，∵，∴，解得：．

故答案为：或．

【变式训练2】已知关于的方程的解满足，则符合条件的所有的值的和为______．

【答案】

【详解】解：，

解得，

，

，即或，

解得或，

则符合条件的所有的值的和为，

故答案为：．

【变式训练3】已知方程的解是负数，则值是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当x-3≥0时，即x≥3，，解得：x=-12，不符合；

当x-3≤0时，即x≤3，，解得：x=-2，符合；

将x=-2代入，=，

故选B．

【变式训练4】有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．

例如：解方程

解：当时，方程可化为：

，符合题意

当<0时，方程可化为：

=-3，符合题意

所以原方程的解为：或 =-3

仿照上面解法，解方程：

【答案】或=-2

【详解】解：当时，方程可化为：，，符合题意

当<1时，方程可化为：，-2=4，=-2符合题意

所以原方程的解为：或=-2．

类型三、相同解的问题

例.若关于的方程的解与方程的解相同，求的值．

【答案】

【详解】解：，

去分母可得： 即

关于的方程的解与方程的解相同，

解得：

【变式训练1】若关于x的方程的解与方程的解相同，则a的值为______．

【答案】

【详解】解：∵，∴，

∵关于x的方程的解与方程的解相同，

∴方程的解为，

∴，

解得：，

故答案为：.

【变式训练2】若关于的方程的解与方程的解相同，则的值为______．

【答案】.

【解析】∵，∴x=m-1；

∵，∴x=4-m，

∵关于的方程的解与方程的解相同，

∴4-m=m-1,解得m=.

故填.

【变式训练3】如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是(　　)

A．1 B．±1 C．2 D．±2

【答案】D

【详解】解：，

去分母得5x-1=14，移项、合并同类项得5x=15，系数化为1得x=3，

把x=3代入得1=2|m|-3，∴2|m|=4，

∴|m|=2，∴m=±2，

故选：D．

类型四、解的情况

例.已知关于x的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于x的方程的解相同．

(1)求m，n的值；

(2)在(1)的条件下，若关于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny无解，求a的值．

【答案】(1) ；(2)．

【解析】(1)∵关于x的方程(m+3)x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程，

∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，解得：m＝3，

当m＝3时，方程为：6x+6n＝0，解得：x＝﹣n，

，2(2x+1)﹣10＝5(x+n)，解得：x＝﹣5n﹣8，

∴﹣5n﹣8＝﹣n，∴n＝﹣2；

(2)把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，∴y＝，

∵y的方程|a|y+a＝4+4y无解，∴，∴a＝﹣4．

故答案为：(1) ；(2)

【变式训练1】若关于x的方程无解，则a=______．

【答案】-2

【详解】解：-2(x-a)=ax+3，

去括号得：-2x+2a-ax=3，

移项合并得：-(2+a)x=3-2a，

因为方程无解，

所以2+a=0且3-2a≠0，

解得a=-2，

故答案为：-2．

【变式训练2】解关于x的方程：

【答案】当时，方程有唯一解为；当时，方程无解．

【解析】，移项、整理得：，

当，即时，方程有唯一解为：；

当，即时，方程无解．

故答案为：当时，方程有唯一解为；当时，方程无解．

【变式训练3】如果关于x的方程无解，那么m的取值范围(       )

A．任意实数 B． C． D．

【答案】D

【详解】解：由题意得：当m-2=0时关于的方程无解，

解得m=2，

故选D．

课后作业

1．若是关于x，y的二元一次方程，则a的值(    )

A．－2 B．3 C．3或－3 D．2或－2

【答案】A

【详解】解：由题意得：|a|-1=1，且a-2≠0，解得：a=-2，

故选：A．

2．关于x的方程的解为负数，则k的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：，整理得：，

∵关于x的方程的解为负数，∴，解得：．

故选：B．

3．若关于的方程无解，则，的值分别为(       )

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【详解】解：∵，

∴，∴，

∵关于的方程无解，

∴，∴，

故选D．

4．已知为非负整数，且关于的方程的解为正整数，则的所有可能取值为(    )

A．2，0 B．4，6 C．4，6，12 D．2，0，6

【答案】A

【详解】解：方程去括号得：3x−9＝kx，移项合并得：(3−k)x＝9，解得：x＝，

由x为正整数，k 为非负整数，得到k＝2，0，

故选：A．

5．已知关于的一元一次方程的解是偶数，则符合条件的所有整数的和为(       )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：去分母：，

去括号： ，

移项合并同类项：，

系数化为1：，

∵方程解是偶数，令，(k为整数)，

 ∴，

∵a取整数，

∴或，

当时，；当时，；当时，；当时，，

∴符合条件的所有整数a的和为，

故选：C．

6．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____________．

【答案】

【详解】∵的解为，

∴，解得：，

∴方程可化为

，

∴

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

7．a为非负整数，当a＝______时，方程的解为整数．

【答案】或

【详解】∵ax−5=0，∴，

∵a为非负整数，

∴当方程的解为整数时，或．

故答案为：1或5．

8．已知为有理数，定义一种新的运算△：△=，若关于的方程△=有正整数解，且为正整数．则符合条件的所有的的值的积为______．

【答案】10

【详解】解：∵ x△a=19，

∴2ax-x+1=19，∴x=,

∵x为正整数，∴2a-1=1，2，3，6，9，18，

∵a为正整数，∴a=1，2，5，

∴1×2×5=10，

故答案为；10．

9．嘉淇在解关于x的一元一次方程＝3时，发现正整数被污染了；

(1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程；

(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？

【答案】(1)；(2)2

【解析】(1)解：，

去分母，得；

移项，合并同类项，得；

系数化为1，得．

(2)解：设被污染的正整数为m，则有，

解之得，，

∵是正整数，且m为正整数，∴．

10．(1)已知关于x的方程是关于x的一元一次方程，求的值；

(2)已知：方程2-3(x+1)＝8的解与关于x的方程-k+5＝-2x的解互为倒数，求k的值．

【答案】(1)k-x=；(2)

【解析】(1)解：由题意得，

∴，∴k=2，或k=0，

当k=2时，k-2=0，(不符合题意，舍去)，∴k=0，

把k=0代入方程得：-2x+1=0，解得x=，

∴=0-=-．

(2)2-3(x+1)＝8，

2-3x-3=8，x=-3，

由题意将x=代入方程-k+5＝-2x得：

解得：，

∴k的值为．