数学七年级下册5.1.2 垂线复习练习题

教学目标

1. 了解垂直概念；
2. 能说出垂线的性质“经过一点；能画出已知直线的一条垂线， 并且只能画出一条垂线”；
3. 会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．

重点：两直线互相垂直的有关性质．

难点：过直线上（外）一点作已知直线的垂线．

教学过程

一、创设情境，引入课题

生活中的垂线

二、目标导学,探索新知

活动1  在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b，当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化.

   当α =90°时,a与b垂直.当α ≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.

1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。

（说明）从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中有一个角是直角。

2. 垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直

例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.或a⊥b于O.

实际应用：日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗?

试一试：

1、下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有 （        ）个

（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角， 则这两条直线互相垂直

（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直

（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直

（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直

      （A）  4       （B）  3            （C）  2       （D）  1

2.如图，已知ＡＯＢ为一直线，∠ＡＯＤ：∠ＢＯＤ＝３：１，ＯＤ平分∠ＣＯＢ，（１）求∠ＡＯＣ的度数；（２）判断ＡＢ与ＯＣ的位置关系．

当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O．

书写形式1：因为∠AOD=90°（已知）

所以AB⊥CD（垂直的定义）反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°

书写形式2：．如图．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°，求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数．

垂线的定义

活动2  （一）画已知直线的垂线

（1）如图1，已知直线 m,作m的垂线。

图1        图2

（2）如图2，已知直线m和m上的一点A ,作m的垂线.

（1）靠:把三角板的一直角边靠在直线上;

（2）移:移动三角板到已知点;

（3）画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.

思考：

(1)画已知直线m的垂线能画几条?

(2)过直线m上的一点A画m的垂线,这样的垂线能画几条?

(3)过直线m外的一点A画m的垂线,这样的垂线能画几条?

试一试：

过点p 向线段AB所在直线引垂线，正确的是（      ）.

垂线的性质1  过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

   说明： （1）“过一点”包括几种情况？线上和线外；（2）“有且只有”是什么意思？存在性与唯一性。

（二）过点P作线段或射线所在直线的垂线

注意:过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.

试一试：

1. 如图，分别过A、B、C ,作BC、AC、AB的垂线。

2. 如图，过P分别作OA、OB的垂线。

    活动3 比较过直线m外一点O与m相交的所有线段中，哪一条最短？

  垂线的性质2   直线外一点与直线上各点连结的所有线段中．垂线段最短．即：垂线段最短．

  点到直线的距离 直线外一点到已知直线的垂线段的长度就叫做点到直线的距离．

   应用：在体育课上，老师是怎样测量同学们的跳远成绩的？你能尝试说明其中的理由吗？

    做法：将尺子拉直与踏板边所在直线垂直，取最近的脚印后跟与踏板边沿之间的距离就是跳远成绩．

    理由：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．

1.如图．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°，求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数．

解：因为AB⊥OE （已知）

所以 ∠EOB=90°(垂直的定义)

因为∠DOE= 50° （已知）

所以 ∠DOB=40°(互余的定义)

所以∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等）

又因为OB平分∠DOF

所以∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）

所以∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°

所以∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100° (邻补角定义)

2.如图,一辆汽车在一段笔直的公路上从Ａ村开往B村,Ｐ村不在路AB 上．

（1）如果有一人想在Ａ、Ｂ两村之间下车,前往P村,他在哪里下车走的路程最短？请画出图形,并说明原因．

（2）汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离越来越近？汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离越来越远？

    答案：（1）在O点下车走的路程最短.

                      原因：垂线段最短．

            （2）在AO路段上行驶时,与P村的距离

                      越来越近,在OB路段上行驶时,与P

                      村的距离越来越远．

   3.下面四种判定两条直线的垂直的方法．正确的个数为（     ）

 ①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角．则这两条直线互相垂直

 ②两条直线相交．只要有一组邻补角相等．则这两条直线互相垂直

 ③两条直线相交．所成的四个角相等．这两条直线互相垂直

 ④两条直线相交．有一组对顶角互补．则这两条直线互相垂直

        A．5          B．4       C．3               D．2

三、巩固训练，熟练技能

1..两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是  （       ）

  （A）  有两个角相等      （ B）有两对角相等

  （C） 有三个角相等       （ D）有四对邻补角

2.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90，

   ①过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角形

ABD的AB边上的高DE。

   ②点A到直线BC的距离是线段__________的长度.

     点B到直线AC的距离是线段__________的长度.

     点D到直线AB的距离是线段__________的长度

     线段AD的长度是点________到直线_______的距离.

       如图AB⊥CD垂足为O,∠COF=56°，求∠AOE.

4.如图：直线AB和 CD相交于点O,OE⊥AＢ,OF⊥ＣＤ,∠ＢOF=40º,求∠ＤOE和∠AOC的度数.

四、归纳总结，板书设计

1. 垂直的概念：如果两条直线相交所成的四个角中,有一个是直角,就说这两条直线互相垂直.
2. 垂线的性质1：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
3. 垂线的性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中．垂线段最短．

五、课后作业，目标检测

见本教辅同步内容

【教学备注】

【教学提示】引导学生通过木条的转动过程得出垂线的定义。

【教学提示】对垂线概念进行小结。

【教学提示】通过画垂线的过程，引导学生思考，得出性质1.

教学反思

   垂线是平面几何所要研究的基本内容之一．垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用．垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一．垂线的概念和性质是本节课的重点，也是全章的内容之一；经过一点画已知直线的垂线，是本节课的一个难点，在这个地方应让学生多观察，多思考．让学生动手画一画，试一试.鼓励学生思考并在小组内交流，全班交流．教师引导学生总结以上两个结论．全班内交流成果．教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.引导学生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：（１）“互相垂直”指两条直线的位置关系；（２）“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名． 如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”， 如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”.