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2023年中考数学第二次模拟考试卷
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这是一份2023年中考数学第二次模拟考试卷，共37页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学第二次模拟考试卷
（时间120分钟，满分120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列结果为2的是（ ）
A．﹣（+2） B． C．|﹣2| D．﹣|﹣2|
2.如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
3. 去年，面对严峻复杂的国内外环境，特别是疫情严重冲击，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国经济社会发展主要目标任务完成情况好于预期，初步核算，全年国内生产总值约102万亿元，其中第三产业约占55%，由此可知，第三产业总值为（ ）
A．4.59×1013元 B．5.61×1014元
C．5.61×1013元 D．4.59×1014元
4. 如图所示为在数轴上表示的某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A． B．
C． D．
5.在立方体六个面上，分别标上“我、爱、洛、湾、中、学”，如图是立体的三种不同摆法，则三种摆法的左侧面上三个字分别是（ ）
A．中、洛、湾
B．我、洛、学
C．我、学、洛
D．中、学、湾
6.学校组织学生外出集体劳动时，为九年级学生安排了三辆车．九年级的小明与小亮都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则他俩搭乘同一辆车的概率为（ ）
A． B． C． D．
7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧弧AB上任意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
10. 如图，在矩形中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
第Ⅱ卷
二、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算的结果是____________________．
12.密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
若，二氧化碳密度的变化范围_____________
13.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
甲
乙
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______．
14. 某学校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买A，B两种型号的放大镜，A型号的放大镜每个20元，B型号的放大镜每个15元，且所需购买A型号放大镜的数量是B型号放大镜数量的2倍，且总费用不超过1100元，则最多可以购买A型号放大镜______个．
15. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别是边和的中点，连接，在上取点G，连接，若，则的长为__________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（10分）（1）．
（2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：－2第一步，
2x－1＝3（x－1）－2 第二步，
2x－1＝3x－3－2 第三步，
－x＝－4第四步，
x＝4 第五步，
经检验 x＝4 是原方程的根第六步，
任务一：以上解方程步骤中，第______是______；
任务二：请直接写出该分式方程的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
17.（6分）如图，．
(1)请在边上确定点，使得点到直线的距离等于的长（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明）；
(2)若，，求的长．
18. （8分）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
(1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
19．（9分）某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：
a
B：
18
C：
24
D：
b
(1)n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ；
(2)请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 °；
(3)竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
20（9分）.阅读与思考
下面是小安同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日 星期一
从圆周角定理想到的……
今天，我们学习了圆周角定理及推论，在课堂小结的时候，我突然想到将这些定理的条件和结论互换，也许会有新发现！那就先从特殊情况开始思考吧．
思考一：如图1，是的直径，点在上（不与点重合），则．这一命题我们已经证明过．若将该命题的条件和结论互换，可得新命题：如图2，已知线段和直线外一点，且，则点在以为直径的圆上．（命题1）
思考二：若将图2中的改为45°，点的位置会有怎样的特点呢？
经过不断尝试，我发现以为底边，构造等腰，再以点为圆心，长为半径作圆，则点在弦所对的优弧上．
……
任务：
（1）小安发现命题1是真命题，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：在图2中取线段的中点，连接，则是边上的中线．
……
（2）请根据思考二，在图3中利用尺规作出符合要求的点．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将图2中的改为120°，你能确定点的位置吗？请说明你的思路．
21. （8分）小林在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架CAD上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图1所示，已知电脑显示屏OB与底板OA的夹角为135°，OB=OA=25cm，OE⊥AD于点E，OE=12.5cm.
（1）求∠OAE的度数；
（2）若保持显示屏OB与底板OA的135°夹角不变，将电脑平放在桌面上如图2中的所示，则显示屏顶部比原来顶部B大约下降了多少？(参考数据：结果精确到0.1cm.参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，，)
22. （12分）综合与实践
【问题背景】
如图1，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，AD＝8．点E、G分别是AD和DC边的中点，过点E、G分别作DC和AD的平行线，两线交于点F，显然，四边形DEFG是平行四边形．
【独立思考】
(1)线段AE和线段CG的数量关系是：______．
(2)将平行四边形DEFG绕点D逆时针旋转，当DE落在DC边上时，如图2，连接AE和CG．
①求AE的长；
②猜想AE与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；
【问题解决】
(3)将平行四边形DEFG继续绕点D逆时针旋转，当A，E，F三点在同一直线上时（如图3），AE与CG交于点P，请直接写出线段CG的长和∠APC的度数．
23.（13分）综合与探究
如图，抛物线y=−x2+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．
(1)求A，B，C三点及抛物线顶点的坐标；
(2)点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(0
2023年中考数学第二次模拟考试卷（解析版）
（时间120分钟，满分120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列结果为2的是（ ）
A．﹣（+2） B． C．|﹣2| D．﹣|﹣2|
.答案： C
【分析】根据绝对值的性质和相反数的性质逐一计算可得．
【详解】A、﹣（+2）＝﹣2，此选项不符合题意；
B、≠2，此选项不符合题意；
C、|﹣2|＝2，此选项符合题意；
D、﹣|﹣2|＝﹣2，此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查绝对值和相反数，解题的关键是熟练掌握绝对值和相反数的性质．
2.如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义逐一做出选择即可.
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形.，解题关键是熟练掌握中心对称图形、轴对称图形的定义.
5. 去年，面对严峻复杂的国内外环境，特别是疫情严重冲击，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国经济社会发展主要目标任务完成情况好于预期，初步核算，全年国内生产总值约102万亿元，其中第三产业约占55%，由此可知，第三产业总值为（ ）
A．4.59×1013元 B．5.61×1014元
C．5.61×1013元 D．4.59×1014元
答案：C
【分析】先计算出，第三产业总值为56.1万亿元，再用科学记数法的表示形式．
【详解】解：经计算，第三产业总值为102 ´55 %=56.1（万亿元）=5.61 ´1013元，
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6. 如图所示为在数轴上表示的某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【分析】数轴上表示的解集是2≤x＜3，再根据不等式组的求法，先分别求出不等式组中每个不等式的解，即可得到不等式的解集，最后根据所求不等式组的解集是否与题干中的解集进行判断，即可得到答案.
【详解】解：数轴上表示的解集是2≤x＜3，
A、，
∵解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞3，
∴不等式组无解，故本选项不符合题意；
B、
∵解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是2＜x≤3，故本选项不符合题意；
C、
∵解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集是2≤x＜3，故本选项符合题意；
D、
∵解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥3，
∴不等式组无解，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查数轴和求不等式组的解集，解题的关键是读懂数轴，掌握解不等式组的方法.
5.在立方体六个面上，分别标上“我、爱、洛、湾、中、学”，如图是立体的三种不同摆法，则三种摆法的左侧面上三个字分别是（ ）
A．中、洛、湾
B．我、洛、学
C．我、学、洛
D．中、学、湾
【答案】C
【分析】观察图形，根据与“爱”相邻的字有“学、洛、中、我”可知，“爱”的相对面是“湾”，同理可推出结论．
【详解】观察图形知，“爱”与“湾”相对，“洛”与“我”相对，“中”与“学”相对，
所以，三种摆法的左侧面上三个字分别是：我、学、洛，
故选C．
【点睛】本题考查正方体的相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相邻面入手找出四个相邻的字，从而得到对面的字是解题的关键．
6.学校组织学生外出集体劳动时，为九年级学生安排了三辆车．九年级的小明与小亮都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则他俩搭乘同一辆车的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：设3辆车分别为A，B，C，
共有9种情况，小王与小菲在同一辆车的情况数有3种，
所以坐同一辆车的概率为．
故选：A．
【点睛】此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧弧AB上任意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案：B
【详解】分析：接OB，OC，根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°，再由圆周角定理即可得出结论．
详解：连接OB，OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°．
故选B．
点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
8．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角板的度数可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：如图，
，，
，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出，的度数是解本题的关键．
9.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
答案：D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴（m为任意实数），
∴，
∵a＜0，
∴（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵-=1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜﹣，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
12. 如图，在矩形中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，根据已知得出，分别求得，进而求得，在中，勾股定理建立函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点F，连接，作于H，作于T，
设，
四边形是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
∴，
，
，
，
在中，
∴当时，取得最小值，
∵，
∴的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
第Ⅱ卷
三、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13. 计算的结果是____________________．
答案：．
【分析】根据二次根式的四则运算法则进行运算即可求解．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，属于基础题，计算过程中细心即可求解．
12.密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
若，二氧化碳密度的变化范围_____________
【答案】
【解析】∵密度与体积V是反比例函数关系，
∴设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴密度关于体积V的函数解析式为：；
观察函数图象可知，随V的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，
即二氧化碳密度的变化范围是．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
13.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
甲
乙
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______．
答案：甲
【分析】直接求出甲、乙的平均成绩和方差，进而比较方差，方差小的比较稳定，从而得出答案．
【详解】解：甲===12，
乙===12，
甲的方差为=，
乙的方差为=，
∵，
即甲的方差<乙的方差，
∴甲的成绩比较稳定．
故答案为甲．
【点睛】本题考查了方差的定义．一般地，设n个数据，的平均数为，则方差为 ．
14.某学校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买A，B两种型号的放大镜，A型号的放大镜每个20元，B型号的放大镜每个15元，且所需购买A型号放大镜的数量是B型号放大镜数量的2倍，且总费用不超过1100元，则最多可以购买A型号放大镜______个．
答案： 40
【分析】设出A型放大镜为x个，根据不等关系列出不等式，求解即可．
【详解】设A型放大镜x个，则B型放大镜为x个，
根据题意可得：20x+15×x≤1100．
解得：x≤40．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是找出其中的不等量关系，并列出不等式．
16. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别是边和的中点，连接，在上取点G，连接，若，则的长为__________．
答案：．
【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接交于，
四边形是正方形，
，，
点、分别是边，的中点，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∵，
∴
∴
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（1）．
（2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：－2第一步，
2x－1＝3（x－1）－2 第二步，
2x－1＝3x－3－2 第三步，
－x＝－4第四步，
x＝4 第五步，
经检验 x＝4 是原方程的根第六步，
任务一：以上解方程步骤中，第______是______；
任务二：请直接写出该分式方程的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
答案：（1）；（2）任务一：二，去分母时等号右边的2漏乘了；任务二：；任务三：答案不唯一，如：括号前面是“”，去括号后，括号各项都要变号；注意分式化简与解分式方程的区别等．
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、最简二次根式，特殊角的三角函数值进行计算求解；
（2）根据分式方程的解法来进行计算求解．
【详解】解：（1）原式
（2）任务一：二，去分母时等号右边的2漏乘了
任务二：将变形得
，
去分母得
，
去括号得
，
移项并合并同类项得
，
解得，
经检验是原分式方程的根，
∴原分式方程的解是；
任务三：答案不唯一，如：括号前面是“”，去括号后，括号各项都要变号；注意分式化简与解分式方程的区别等．
【点睛】本题考查了实数的混合运算运算、分式方程的解法．理解负整数指数幂、零指数幂、最简二次根式，特殊角的三角函数值和分式方程的解题步骤是解答关键．
17.如图，．
(1)请在边上确定点，使得点到直线的距离等于的长（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明）；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）作射线平分交于点，点即为所求；
（2）过点作于点，利用角平分线的性质和角所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，点即为所求．
（2）过点作于点，
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴．
∴的长为．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，角平分线的性质定理，角所对的直角边等于斜边的一半等知识点．掌握角平分线的性质是解题的关键．
19. 习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
(1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
答案：(1)A种树苗每株4元，B种树苗每株5元（2）共有6种购买方案，费用最省的购买方案是购买A树苗25株，B种树苗75株，最低费用是475元．
解：(1)设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，由题意，得
y=1.25x500x+400y=4000，
解得x=4y=5，
答：A种树苗每株4元，B种树苗每株5元；
(2)设购买A种树苗a株，则购买B种树苗(100−a)株，总费用为w元，
由题意得：a≤25，w≤480，
∵w=4a+5(100−a)=−a+500，
∴−a+500≤480，
解得：a≥20，
∴20≤a≤25，
∴a是整数，
∴a取20，21，22，23，24，25，
∴共有6种购买方案，
方案一：购买A种树苗20株，购买B种树苗80株，
方案二：购买A种树苗21株，购买B种树苗79株，
方案三：购买A种树苗22株，购买B种树苗78株，
方案四：购买A种树苗23株，购买B种树苗77株，
方案五：购买A种树苗24株，购买B种树苗76株，
方案六：购买A种树苗25株，购买B种树苗75株，
∵w=−a+500，k=−1<0，
∴w随a的增大而减小，
∴a=25时，w最小，
∴第六种方案费用最低，最低费用是475元．
答：共有6种购买方案，费用最省的购买方案是购买A树苗25株，B种树苗75株，最低费用是475元．
19．某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：
a
B：
18
C：
24
D：
b
(1)n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ；
(2)请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 °；
(3)竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】(1)60，6，12
(2)补全频数分布直方图见解析，144
(3)恰好抽到甲、乙两名同学的概率为
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值；
（2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由乘以“C”所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
故答案为：60，6，12；
（2）解：补全频数分布直方图如下：
；
扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为，
故答案为：144；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
20.阅读与思考
下面是小安同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日 星期一
从圆周角定理想到的……
今天，我们学习了圆周角定理及推论，在课堂小结的时候，我突然想到将这些定理的条件和结论互换，也许会有新发现！那就先从特殊情况开始思考吧．
思考一：如图1，是的直径，点在上（不与点重合），则．这一命题我们已经证明过．若将该命题的条件和结论互换，可得新命题：如图2，已知线段和直线外一点，且，则点在以为直径的圆上．（命题1）
思考二：若将图2中的改为45°，点的位置会有怎样的特点呢？
经过不断尝试，我发现以为底边，构造等腰，再以点为圆心，长为半径作圆，则点在弦所对的优弧上．
……
任务：
（1）小安发现命题1是真命题，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：在图2中取线段的中点，连接，则是边上的中线．
……
（2）请根据思考二，在图3中利用尺规作出符合要求的点．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将图2中的改为120°，你能确定点的位置吗？请说明你的思路．
答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）点C在弦AB所对的劣弧上或外接圆的圆心处
【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可证，即点在以为直径的圆上；
（2）根据思考二提供的思路作出图形即可；
（3）类比思考二的思路解答即可．
【详解】解：（1）∵，∴．
∴点在以为直径的上；
（2）如解图，点即为所求．（点为所对的优弧上任一点）；
（3）先以线段为边构造等边，再作的外接圆，则点C在弦AB所对的劣弧上或外接圆的圆心处．
【点睛】本题考查了尺规作图，直角三角形斜边的中线，等边三角形的性质，圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理及其推论是解答本题的关键．①圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半；③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等；④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．
23. 小林在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架CAD上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图1所示，已知电脑显示屏OB与底板OA的夹角为135°，OB=OA=25cm，OE⊥AD于点E，OE=12.5cm.
（1）求∠OAE的度数；
（2）若保持显示屏OB与底板OA的135°夹角不变，将电脑平放在桌面上如图2中的所示，则显示屏顶部比原来顶部B大约下降了多少？(参考数据：结果精确到0.1cm.参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，，)
答案：（1）∠OAE=30°；（2）19.1cm
【分析】（1）根据题中数据，在△OEA中，将∠OAE的正弦值求出，从而得出∠OAE的度数.
（2）过点O作MN⊥OE，过点B作BH⊥MN于点H，过点B＇作B＇F⊥AD，交AD的延长线于点F. 通过∠BOH的度数，计算出BH的长度，在△B＇O＇F中，求出∠B＇O＇F的度数，从而求出B＇F的长度，利用OE和BH的长度之和得出B点距离桌面的高度，最后求出下降的高度.
【详解】解：（1）∵OE⊥AD于点E，OA=OB=25cm，OE=12.5cm，
在Rt△OEA中，.
∴∠OAE=30°.
（2）如图，过点O作MN⊥OE，过点B作BH⊥MN于点H，过点B＇作B＇F⊥AD，交AD的延长线于点F.
∵∠BOA=135°，∠AOE=60°，∠MOE=90°
∴∠BOH=360°－∠BOA －∠AOE －∠MOE =75°
∵在Rt△BOH中，
∴
=25×sin75°≈25×0.97=24.25（cm）
∵=135°
∴=45°
∵在Rt△中，
∴=25×≈25×0.705=17.625（cm）
∴BH+OE－B＇F≈24.25+12.5－17.625=19.125≈19.1（cm）
答：显示屏顶部比原来顶部B大约下降了19.1cm.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
24. 综合与实践
【问题背景】
如图1，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，AD＝8．点E、G分别是AD和DC边的中点，过点E、G分别作DC和AD的平行线，两线交于点F，显然，四边形DEFG是平行四边形．
【独立思考】
(1)线段AE和线段CG的数量关系是：______．
(2)将平行四边形DEFG绕点D逆时针旋转，当DE落在DC边上时，如图2，连接AE和CG．
①求AE的长；
②猜想AE与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；
【问题解决】
(3)将平行四边形DEFG继续绕点D逆时针旋转，当A，E，F三点在同一直线上时（如图3），AE与CG交于点P，请直接写出线段CG的长和∠APC的度数．
答案：(1)3AE＝4CG或或或等
(2)①，②3AE＝4CG，或，或等，证明见解析；
(3)，∠APC＝60°
【分析】（1）根据平行四边形性质结合中点即可得出结论；
（2）①利用三角函数值求线段长，再根据勾股定理求解即可；②利用三角形相似的判定与性质直接求解即可；
（3）利用三角形相似，再结合平行四边形的性质，根据勾股定理求出线段长；利用“8”字形的两个三角形角度关系得到即可求解．
（1）
解：点E、G分别是AD和DC边的中点，
，
在平行四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，AD＝8，
，
，
故答案为：3AE＝4CG或或或等
（2）
解：①如图，过点E作EH⊥AD于点H，
在Rt△EDH中，∠EDA＝60°，，
∴，
∴，
∴AH＝AD－HD＝8－2＝6，
在Rt△AHE中，根据勾股定理可得；
②3AE＝4CG或或或等，
证明如下：
由题可知：∠ADC＝∠CDG＝60°，，即，
∴△ADE∽△CDG，
∴，
即3AE＝4CG或或或等；
（3）
过点作于，如图所示：
,
,
,
,
,
,,
在平行四边形DEFG中，,
,
,
,
,,
,
即,
,
,,
,
．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及到平行四边形的性质、中点性质、旋转不变性的运用、相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理求线段长、特殊角度直角三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关性质及判定，结合图形准确作出辅助线是解决问题的关键．
23.综合与探究
如图，抛物线y=−x2+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．
(1)求A，B，C三点及抛物线顶点的坐标；
(2)点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(0
答案：(1)A(−1，0)，B(3，0)，C(0，4)；抛物线顶点坐标为(1，)；
(2)当△CBD的面积最大时，m的值为；
(3)点P的坐标为(0，)，(0，-)．
【分析】（1）将y=0、x=0代入，求解可得A，B，C三点坐标，将解析式化成顶点式即可求得抛物线顶点坐标；
（2）利用待定系数法求得直线BC的函数表达式，用m表示出点D、M的坐标，利用三角形面积公式以及二次函数的性质求解即可；
（3）作BN平分∠OBC交OC于点N，过点N作NE⊥BC于点E，利用面积法求得，得到CN=，ON=，再证明△P1OA∽△NOB，利用相似三角形的性质即可求解．
（1）
解：将y=0代入y=−x2+x+4，得0=−x2+x+4．
解得：x1=−1，x2=3．
∴A(−1，0)，B(3，0)．
将x=0代入y=−x2+x+4，得y=4．
∴C(0，4)．
∵y=−x2+x+4=− (x−1) 2+，
∴抛物线顶点坐标为(1，)；
（2）
解：过点D作DM∥y轴，交BC于点M．
设直线BC的函数表达式为y=kx+b．
将B(3，0)，C(0，4)代入y=kx+b，
得解得，
∴直线BC的函数表达式为y=−x+4．
∵点D在抛物线上，
∴D(m，−m2+m+4)．
∵DM∥y轴，
∴M(m，−m+4)．
∵S△CBD=S△CMD+S△BMD=DM⋅|xB−xC|=DM，
∴当DM最大时，S△CBD最大．
∵DM=(−m2+m+4)−(−m+4)=−m2+4m=− (m−)2+3．
∵−<0，
∴当△CBD的面积最大时，m的值为；
（3）
解：∵B(3，0)，C(0，4)，
∴OB=3，OC=4，
∴BC==5，
作BN平分∠OBC交OC于点N，过点N作NE⊥BC于点E，
∵NO⊥OB，NE⊥BC，BN平分∠OBC，
∴NO= NE，
∴，
∵，
∴，
又∵CN+ON=OC=4，
∴CN=，ON=，
∵∠P1AO=∠ABC=∠NBO，∠P1OA=∠NOB=90°，
∴△P1OA∽△NOB，
∴，即，
∴P1O=，
同理求得P2O=，
∴P1(0，)，P2(0，-) ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
2023年中考数学第二次模拟考试卷
（时间120分钟，满分120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列结果为2的是（ ）
A．﹣（+2） B． C．|﹣2| D．﹣|﹣2|
2.如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
3. 去年，面对严峻复杂的国内外环境，特别是疫情严重冲击，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国经济社会发展主要目标任务完成情况好于预期，初步核算，全年国内生产总值约102万亿元，其中第三产业约占55%，由此可知，第三产业总值为（ ）
A．4.59×1013元 B．5.61×1014元
C．5.61×1013元 D．4.59×1014元
4. 如图所示为在数轴上表示的某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A． B．
C． D．
5.在立方体六个面上，分别标上“我、爱、洛、湾、中、学”，如图是立体的三种不同摆法，则三种摆法的左侧面上三个字分别是（ ）
A．中、洛、湾
B．我、洛、学
C．我、学、洛
D．中、学、湾
6.学校组织学生外出集体劳动时，为九年级学生安排了三辆车．九年级的小明与小亮都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则他俩搭乘同一辆车的概率为（ ）
A． B． C． D．
7. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧弧AB上任意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
10. 如图，在矩形中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
第Ⅱ卷
二、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 计算的结果是____________________．
12.密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
若，二氧化碳密度的变化范围_____________
13.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
甲
乙
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______．
14. 某学校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买A，B两种型号的放大镜，A型号的放大镜每个20元，B型号的放大镜每个15元，且所需购买A型号放大镜的数量是B型号放大镜数量的2倍，且总费用不超过1100元，则最多可以购买A型号放大镜______个．
15. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别是边和的中点，连接，在上取点G，连接，若，则的长为__________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（10分）（1）．
（2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：－2第一步，
2x－1＝3（x－1）－2 第二步，
2x－1＝3x－3－2 第三步，
－x＝－4第四步，
x＝4 第五步，
经检验 x＝4 是原方程的根第六步，
任务一：以上解方程步骤中，第______是______；
任务二：请直接写出该分式方程的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
17.（6分）如图，．
(1)请在边上确定点，使得点到直线的距离等于的长（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明）；
(2)若，，求的长．
18. （8分）习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
(1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
19．（9分）某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：
a
B：
18
C：
24
D：
b
(1)n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ；
(2)请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 °；
(3)竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
20（9分）.阅读与思考
下面是小安同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日 星期一
从圆周角定理想到的……
今天，我们学习了圆周角定理及推论，在课堂小结的时候，我突然想到将这些定理的条件和结论互换，也许会有新发现！那就先从特殊情况开始思考吧．
思考一：如图1，是的直径，点在上（不与点重合），则．这一命题我们已经证明过．若将该命题的条件和结论互换，可得新命题：如图2，已知线段和直线外一点，且，则点在以为直径的圆上．（命题1）
思考二：若将图2中的改为45°，点的位置会有怎样的特点呢？
经过不断尝试，我发现以为底边，构造等腰，再以点为圆心，长为半径作圆，则点在弦所对的优弧上．
……
任务：
（1）小安发现命题1是真命题，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：在图2中取线段的中点，连接，则是边上的中线．
……
（2）请根据思考二，在图3中利用尺规作出符合要求的点．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将图2中的改为120°，你能确定点的位置吗？请说明你的思路．
21. （8分）小林在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架CAD上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图1所示，已知电脑显示屏OB与底板OA的夹角为135°，OB=OA=25cm，OE⊥AD于点E，OE=12.5cm.
（1）求∠OAE的度数；
（2）若保持显示屏OB与底板OA的135°夹角不变，将电脑平放在桌面上如图2中的所示，则显示屏顶部比原来顶部B大约下降了多少？(参考数据：结果精确到0.1cm.参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，，)
22. （12分）综合与实践
【问题背景】
如图1，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，AD＝8．点E、G分别是AD和DC边的中点，过点E、G分别作DC和AD的平行线，两线交于点F，显然，四边形DEFG是平行四边形．
【独立思考】
(1)线段AE和线段CG的数量关系是：______．
(2)将平行四边形DEFG绕点D逆时针旋转，当DE落在DC边上时，如图2，连接AE和CG．
①求AE的长；
②猜想AE与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；
【问题解决】
(3)将平行四边形DEFG继续绕点D逆时针旋转，当A，E，F三点在同一直线上时（如图3），AE与CG交于点P，请直接写出线段CG的长和∠APC的度数．
23.（13分）综合与探究
如图，抛物线y=−x2+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．
(1)求A，B，C三点及抛物线顶点的坐标；
(2)点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(0
2023年中考数学第二次模拟考试卷（解析版）
（时间120分钟，满分120分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列结果为2的是（ ）
A．﹣（+2） B． C．|﹣2| D．﹣|﹣2|
.答案： C
【分析】根据绝对值的性质和相反数的性质逐一计算可得．
【详解】A、﹣（+2）＝﹣2，此选项不符合题意；
B、≠2，此选项不符合题意；
C、|﹣2|＝2，此选项符合题意；
D、﹣|﹣2|＝﹣2，此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查绝对值和相反数，解题的关键是熟练掌握绝对值和相反数的性质．
2.如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形、轴对称图形的定义逐一做出选择即可.
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，中心对称图形.，解题关键是熟练掌握中心对称图形、轴对称图形的定义.
5. 去年，面对严峻复杂的国内外环境，特别是疫情严重冲击，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，我国经济社会发展主要目标任务完成情况好于预期，初步核算，全年国内生产总值约102万亿元，其中第三产业约占55%，由此可知，第三产业总值为（ ）
A．4.59×1013元 B．5.61×1014元
C．5.61×1013元 D．4.59×1014元
答案：C
【分析】先计算出，第三产业总值为56.1万亿元，再用科学记数法的表示形式．
【详解】解：经计算，第三产业总值为102 ´55 %=56.1（万亿元）=5.61 ´1013元，
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6. 如图所示为在数轴上表示的某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
【分析】数轴上表示的解集是2≤x＜3，再根据不等式组的求法，先分别求出不等式组中每个不等式的解，即可得到不等式的解集，最后根据所求不等式组的解集是否与题干中的解集进行判断，即可得到答案.
【详解】解：数轴上表示的解集是2≤x＜3，
A、，
∵解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞3，
∴不等式组无解，故本选项不符合题意；
B、
∵解不等式①得：x＞2，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式组的解集是2＜x≤3，故本选项不符合题意；
C、
∵解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集是2≤x＜3，故本选项符合题意；
D、
∵解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥3，
∴不等式组无解，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查数轴和求不等式组的解集，解题的关键是读懂数轴，掌握解不等式组的方法.
5.在立方体六个面上，分别标上“我、爱、洛、湾、中、学”，如图是立体的三种不同摆法，则三种摆法的左侧面上三个字分别是（ ）
A．中、洛、湾
B．我、洛、学
C．我、学、洛
D．中、学、湾
【答案】C
【分析】观察图形，根据与“爱”相邻的字有“学、洛、中、我”可知，“爱”的相对面是“湾”，同理可推出结论．
【详解】观察图形知，“爱”与“湾”相对，“洛”与“我”相对，“中”与“学”相对，
所以，三种摆法的左侧面上三个字分别是：我、学、洛，
故选C．
【点睛】本题考查正方体的相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相邻面入手找出四个相邻的字，从而得到对面的字是解题的关键．
6.学校组织学生外出集体劳动时，为九年级学生安排了三辆车．九年级的小明与小亮都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则他俩搭乘同一辆车的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：设3辆车分别为A，B，C，
共有9种情况，小王与小菲在同一辆车的情况数有3种，
所以坐同一辆车的概率为．
故选：A．
【点睛】此题考查了利用树状图求概率；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键．
8. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧弧AB上任意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案：B
【详解】分析：接OB，OC，根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC=90°，再由圆周角定理即可得出结论．
详解：连接OB，OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠BPC=∠BOC=45°．
故选B．
点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
8．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，，，，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角板的度数可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：如图，
，，
，
，，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理和外角的性质，求出，的度数是解本题的关键．
9.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0 B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
答案：D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴（m为任意实数），
∴，
∵a＜0，
∴（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵-=1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜﹣，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
12. 如图，在矩形中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，根据已知得出，分别求得，进而求得，在中，勾股定理建立函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点F，连接，作于H，作于T，
设，
四边形是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
∴，
，
，
，
在中，
∴当时，取得最小值，
∵，
∴的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
第Ⅱ卷
三、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13. 计算的结果是____________________．
答案：．
【分析】根据二次根式的四则运算法则进行运算即可求解．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，属于基础题，计算过程中细心即可求解．
12.密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
若，二氧化碳密度的变化范围_____________
【答案】
【解析】∵密度与体积V是反比例函数关系，
∴设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴密度关于体积V的函数解析式为：；
观察函数图象可知，随V的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，
即二氧化碳密度的变化范围是．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
13.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
甲
乙
由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是______．
答案：甲
【分析】直接求出甲、乙的平均成绩和方差，进而比较方差，方差小的比较稳定，从而得出答案．
【详解】解：甲===12，
乙===12，
甲的方差为=，
乙的方差为=，
∵，
即甲的方差<乙的方差，
∴甲的成绩比较稳定．
故答案为甲．
【点睛】本题考查了方差的定义．一般地，设n个数据，的平均数为，则方差为 ．
14.某学校要为生物科学活动社团提供实验器材，计划购买A，B两种型号的放大镜，A型号的放大镜每个20元，B型号的放大镜每个15元，且所需购买A型号放大镜的数量是B型号放大镜数量的2倍，且总费用不超过1100元，则最多可以购买A型号放大镜______个．
答案： 40
【分析】设出A型放大镜为x个，根据不等关系列出不等式，求解即可．
【详解】设A型放大镜x个，则B型放大镜为x个，
根据题意可得：20x+15×x≤1100．
解得：x≤40．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式在实际问题中的应用，关键是找出其中的不等量关系，并列出不等式．
16. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别是边和的中点，连接，在上取点G，连接，若，则的长为__________．
答案：．
【分析】连接交于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，推出是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接交于，
四边形是正方形，
，，
点、分别是边，的中点，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∵，
∴
∴
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（1）．
（2）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：－2第一步，
2x－1＝3（x－1）－2 第二步，
2x－1＝3x－3－2 第三步，
－x＝－4第四步，
x＝4 第五步，
经检验 x＝4 是原方程的根第六步，
任务一：以上解方程步骤中，第______是______；
任务二：请直接写出该分式方程的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
答案：（1）；（2）任务一：二，去分母时等号右边的2漏乘了；任务二：；任务三：答案不唯一，如：括号前面是“”，去括号后，括号各项都要变号；注意分式化简与解分式方程的区别等．
【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂、最简二次根式，特殊角的三角函数值进行计算求解；
（2）根据分式方程的解法来进行计算求解．
【详解】解：（1）原式
（2）任务一：二，去分母时等号右边的2漏乘了
任务二：将变形得
，
去分母得
，
去括号得
，
移项并合并同类项得
，
解得，
经检验是原分式方程的根，
∴原分式方程的解是；
任务三：答案不唯一，如：括号前面是“”，去括号后，括号各项都要变号；注意分式化简与解分式方程的区别等．
【点睛】本题考查了实数的混合运算运算、分式方程的解法．理解负整数指数幂、零指数幂、最简二次根式，特殊角的三角函数值和分式方程的解题步骤是解答关键．
17.如图，．
(1)请在边上确定点，使得点到直线的距离等于的长（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明）；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）作射线平分交于点，点即为所求；
（2）过点作于点，利用角平分线的性质和角所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，点即为所求．
（2）过点作于点，
∵平分，，，
∴，
又∵，
∴．
∴的长为．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，角平分线的性质定理，角所对的直角边等于斜边的一半等知识点．掌握角平分线的性质是解题的关键．
19. 习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调：实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村花费4000元集中采购了A种树苗500株，B种树苗400株，已知B种树苗单价是A种树苗单价的1.25倍．
(1)求A、B两种树苗的单价分别是多少元？
(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种，其中A种树苗不多于25株，在单价不变，总费用不超过480元的情况下，共有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
答案：(1)A种树苗每株4元，B种树苗每株5元（2）共有6种购买方案，费用最省的购买方案是购买A树苗25株，B种树苗75株，最低费用是475元．
解：(1)设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，由题意，得
y=1.25x500x+400y=4000，
解得x=4y=5，
答：A种树苗每株4元，B种树苗每株5元；
(2)设购买A种树苗a株，则购买B种树苗(100−a)株，总费用为w元，
由题意得：a≤25，w≤480，
∵w=4a+5(100−a)=−a+500，
∴−a+500≤480，
解得：a≥20，
∴20≤a≤25，
∴a是整数，
∴a取20，21，22，23，24，25，
∴共有6种购买方案，
方案一：购买A种树苗20株，购买B种树苗80株，
方案二：购买A种树苗21株，购买B种树苗79株，
方案三：购买A种树苗22株，购买B种树苗78株，
方案四：购买A种树苗23株，购买B种树苗77株，
方案五：购买A种树苗24株，购买B种树苗76株，
方案六：购买A种树苗25株，购买B种树苗75株，
∵w=−a+500，k=−1<0，
∴w随a的增大而减小，
∴a=25时，w最小，
∴第六种方案费用最低，最低费用是475元．
答：共有6种购买方案，费用最省的购买方案是购买A树苗25株，B种树苗75株，最低费用是475元．
19．某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：
a
B：
18
C：
24
D：
b
(1)n的值为 ，a的值为 ，b的值为 ；
(2)请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 °；
(3)竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】(1)60，6，12
(2)补全频数分布直方图见解析，144
(3)恰好抽到甲、乙两名同学的概率为
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值；
（2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由乘以“C”所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
故答案为：60，6，12；
（2）解：补全频数分布直方图如下：
；
扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为，
故答案为：144；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
20.阅读与思考
下面是小安同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日 星期一
从圆周角定理想到的……
今天，我们学习了圆周角定理及推论，在课堂小结的时候，我突然想到将这些定理的条件和结论互换，也许会有新发现！那就先从特殊情况开始思考吧．
思考一：如图1，是的直径，点在上（不与点重合），则．这一命题我们已经证明过．若将该命题的条件和结论互换，可得新命题：如图2，已知线段和直线外一点，且，则点在以为直径的圆上．（命题1）
思考二：若将图2中的改为45°，点的位置会有怎样的特点呢？
经过不断尝试，我发现以为底边，构造等腰，再以点为圆心，长为半径作圆，则点在弦所对的优弧上．
……
任务：
（1）小安发现命题1是真命题，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分．
证明：在图2中取线段的中点，连接，则是边上的中线．
……
（2）请根据思考二，在图3中利用尺规作出符合要求的点．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将图2中的改为120°，你能确定点的位置吗？请说明你的思路．
答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）点C在弦AB所对的劣弧上或外接圆的圆心处
【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可证，即点在以为直径的圆上；
（2）根据思考二提供的思路作出图形即可；
（3）类比思考二的思路解答即可．
【详解】解：（1）∵，∴．
∴点在以为直径的上；
（2）如解图，点即为所求．（点为所对的优弧上任一点）；
（3）先以线段为边构造等边，再作的外接圆，则点C在弦AB所对的劣弧上或外接圆的圆心处．
【点睛】本题考查了尺规作图，直角三角形斜边的中线，等边三角形的性质，圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理及其推论是解答本题的关键．①圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半；③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等；④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．
23. 小林在使用笔记本电脑时，为了散热，他将电脑放在散热架CAD上，忽略散热架和电脑的厚度，侧面示意图如图1所示，已知电脑显示屏OB与底板OA的夹角为135°，OB=OA=25cm，OE⊥AD于点E，OE=12.5cm.
（1）求∠OAE的度数；
（2）若保持显示屏OB与底板OA的135°夹角不变，将电脑平放在桌面上如图2中的所示，则显示屏顶部比原来顶部B大约下降了多少？(参考数据：结果精确到0.1cm.参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，，)
答案：（1）∠OAE=30°；（2）19.1cm
【分析】（1）根据题中数据，在△OEA中，将∠OAE的正弦值求出，从而得出∠OAE的度数.
（2）过点O作MN⊥OE，过点B作BH⊥MN于点H，过点B＇作B＇F⊥AD，交AD的延长线于点F. 通过∠BOH的度数，计算出BH的长度，在△B＇O＇F中，求出∠B＇O＇F的度数，从而求出B＇F的长度，利用OE和BH的长度之和得出B点距离桌面的高度，最后求出下降的高度.
【详解】解：（1）∵OE⊥AD于点E，OA=OB=25cm，OE=12.5cm，
在Rt△OEA中，.
∴∠OAE=30°.
（2）如图，过点O作MN⊥OE，过点B作BH⊥MN于点H，过点B＇作B＇F⊥AD，交AD的延长线于点F.
∵∠BOA=135°，∠AOE=60°，∠MOE=90°
∴∠BOH=360°－∠BOA －∠AOE －∠MOE =75°
∵在Rt△BOH中，
∴
=25×sin75°≈25×0.97=24.25（cm）
∵=135°
∴=45°
∵在Rt△中，
∴=25×≈25×0.705=17.625（cm）
∴BH+OE－B＇F≈24.25+12.5－17.625=19.125≈19.1（cm）
答：显示屏顶部比原来顶部B大约下降了19.1cm.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
24. 综合与实践
【问题背景】
如图1，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，AD＝8．点E、G分别是AD和DC边的中点，过点E、G分别作DC和AD的平行线，两线交于点F，显然，四边形DEFG是平行四边形．
【独立思考】
(1)线段AE和线段CG的数量关系是：______．
(2)将平行四边形DEFG绕点D逆时针旋转，当DE落在DC边上时，如图2，连接AE和CG．
①求AE的长；
②猜想AE与CG有怎样的数量关系，并证明你的猜想；
【问题解决】
(3)将平行四边形DEFG继续绕点D逆时针旋转，当A，E，F三点在同一直线上时（如图3），AE与CG交于点P，请直接写出线段CG的长和∠APC的度数．
答案：(1)3AE＝4CG或或或等
(2)①，②3AE＝4CG，或，或等，证明见解析；
(3)，∠APC＝60°
【分析】（1）根据平行四边形性质结合中点即可得出结论；
（2）①利用三角函数值求线段长，再根据勾股定理求解即可；②利用三角形相似的判定与性质直接求解即可；
（3）利用三角形相似，再结合平行四边形的性质，根据勾股定理求出线段长；利用“8”字形的两个三角形角度关系得到即可求解．
（1）
解：点E、G分别是AD和DC边的中点，
，
在平行四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，AD＝8，
，
，
故答案为：3AE＝4CG或或或等
（2）
解：①如图，过点E作EH⊥AD于点H，
在Rt△EDH中，∠EDA＝60°，，
∴，
∴，
∴AH＝AD－HD＝8－2＝6，
在Rt△AHE中，根据勾股定理可得；
②3AE＝4CG或或或等，
证明如下：
由题可知：∠ADC＝∠CDG＝60°，，即，
∴△ADE∽△CDG，
∴，
即3AE＝4CG或或或等；
（3）
过点作于，如图所示：
,
,
,
,
,
,,
在平行四边形DEFG中，,
,
,
,
,,
,
即,
,
,,
,
．
【点睛】本题考查四边形综合，涉及到平行四边形的性质、中点性质、旋转不变性的运用、相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理求线段长、特殊角度直角三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关性质及判定，结合图形准确作出辅助线是解决问题的关键．
23.综合与探究
如图，抛物线y=−x2+x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．
(1)求A，B，C三点及抛物线顶点的坐标；
(2)点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(0
答案：(1)A(−1，0)，B(3，0)，C(0，4)；抛物线顶点坐标为(1，)；
(2)当△CBD的面积最大时，m的值为；
(3)点P的坐标为(0，)，(0，-)．
【分析】（1）将y=0、x=0代入，求解可得A，B，C三点坐标，将解析式化成顶点式即可求得抛物线顶点坐标；
（2）利用待定系数法求得直线BC的函数表达式，用m表示出点D、M的坐标，利用三角形面积公式以及二次函数的性质求解即可；
（3）作BN平分∠OBC交OC于点N，过点N作NE⊥BC于点E，利用面积法求得，得到CN=，ON=，再证明△P1OA∽△NOB，利用相似三角形的性质即可求解．
（1）
解：将y=0代入y=−x2+x+4，得0=−x2+x+4．
解得：x1=−1，x2=3．
∴A(−1，0)，B(3，0)．
将x=0代入y=−x2+x+4，得y=4．
∴C(0，4)．
∵y=−x2+x+4=− (x−1) 2+，
∴抛物线顶点坐标为(1，)；
（2）
解：过点D作DM∥y轴，交BC于点M．
设直线BC的函数表达式为y=kx+b．
将B(3，0)，C(0，4)代入y=kx+b，
得解得，
∴直线BC的函数表达式为y=−x+4．
∵点D在抛物线上，
∴D(m，−m2+m+4)．
∵DM∥y轴，
∴M(m，−m+4)．
∵S△CBD=S△CMD+S△BMD=DM⋅|xB−xC|=DM，
∴当DM最大时，S△CBD最大．
∵DM=(−m2+m+4)−(−m+4)=−m2+4m=− (m−)2+3．
∵−<0，
∴当△CBD的面积最大时，m的值为；
（3）
解：∵B(3，0)，C(0，4)，
∴OB=3，OC=4，
∴BC==5，
作BN平分∠OBC交OC于点N，过点N作NE⊥BC于点E，
∵NO⊥OB，NE⊥BC，BN平分∠OBC，
∴NO= NE，
∴，
∵，
∴，
又∵CN+ON=OC=4，
∴CN=，ON=，
∵∠P1AO=∠ABC=∠NBO，∠P1OA=∠NOB=90°，
∴△P1OA∽△NOB，
∴，即，
∴P1O=，
同理求得P2O=，
∴P1(0，)，P2(0，-) ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
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