数学（青岛卷）-学易金卷：中考第二次模拟考试卷

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中考数学第二次模拟考试卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
D
B
A
C
B
B
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．(本题3分)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义判断即可．
【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．

2．(本题3分)如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置得出三个数的大小关系、正负情况、绝对值大小情况，再依据有理数的乘法法则、加法法则、去绝对值法则、除法法则判断即可求解．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，，
，，，，
，
选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了数轴，以及有理数运算法则，弄清数轴上点表示数的特征是解本题的关键．

3．(本题3分)为完善城市轨道交通建设，提升城市公共交通服务水平，济南市城市轨道交通2020~2025年第二期建设规划地铁总里程约为米．把数字“”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴把数字“”用科学记数法表示为．
故选：D
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解本题的关键．

4．(本题3分)如图的一个几何体，其俯视图是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据简单几何体的三视图的意义，画出俯视图即可作出判断．
【详解】解：从上面看该几何体，所得到的图形如下：

故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，掌握“能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示”是正确判断的关键．

5．(本题3分)如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】过作轴于，连接，根据边长为2个单位长度的正方形绕原点O逆时针旋转，得，即知，可得，又再沿轴方向向上平移1个单位长度，故点的坐标为．
【详解】解：过作轴于，连接，如图，

边长为2个单位长度的正方形绕原点逆时针旋转．




再沿轴方向向上平移1个单位长度，
．
故选：A．
【点睛】此题考查了坐标与图形变化-旋转与平移，解题关键是掌握旋转性质和坐标平移变化规律．

6．(本题3分)如图，分别与相切于A、B，，C为上一点，则的度数为（    ）

A．110° B．120° C．125° D．130°
【答案】C
【解析】
【分析】在右侧取点，连接，根据切线的性质得出，然后根据四边形内角和为即可得出，再由圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质得出的度数即可．
【详解】解：在右侧取点，连接，

∵分别与相切于，
∴，
∴，
∴，
∴
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对圆心角和圆周角的关系，切线的性质等知识点，读懂题意，熟练掌握以上基础知识点是解本题的关键．

7．(本题3分)如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，；∽；；则下列结论正确的有（  ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出，根据折叠得出，，根据勾股定理求出，再逐个判断即可．
【详解】解：根据矩形的性质得出
由折叠的性质得，，，
∴，故①正确；
由折叠的性质得，，，
∴
在中，，设，则，在中，，解得，∴，∴，
同理在中，，，由得，
∴，
∴，
∴与不相似，故②不正确；
∵，，
∴，即，故③正确；
∵，，，
∴，故④正确．
正确的有①③④
故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．

8．(本题3分)二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象开口向上，得出，与y轴交点在y轴的负半轴，得出，利用对称轴，得出，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
【详解】解：因为二次函数的图象开口向上，得出，与y轴交点在y轴的正半轴，得出，利用对称轴，得出，
所以一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限，
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出是解题的关键．

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．(本题3分)已知a＝－1，b＝＋1，则的值为______
【答案】
【解析】
【分析】先求解再把分解因式，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵a＝－1，b＝＋1，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用因式分解求代数式的值，二次根式的加减运算，乘法运算，掌握“利用因式分解进行简便运算”是解本题的关键．
10．(本题3分)小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是______分．

【答案】88.5
【解析】
【分析】利用加权平均数按照比例即可求得小明的总评成绩．
【详解】解：小明的总评成绩是：（分），
故答案为：88.5．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
11．(本题3分)已知反比例函数的图象与直线交于，两点，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性以及勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，

设点，由题意得，，，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
，且点、关于原点对称，
，
在中，由勾股定理得，，
∴，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识．掌握反比例函数的性质以及勾股定理是解决问题的关键．
12．(本题3分)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”．若抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】抛物线（为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，即，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线上有且只有一个“黎点”，
∴方程有且只有一个解，
方程整理可得，
即有，
解得，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
13．(本题3分)如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧．以C为圆心，6为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为S1、S2，时，则S1﹣S2＝_____．（结果保留π）

【答案】13π﹣36或﹣36+13π
【解析】
【详解】解：由图可知，

，
，

即，
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．(本题3分)如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（AE
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】通过证明点D，点E，点G，点C四点共圆，可得∠EGD=∠EDG=45°，可得DE=EG，故①正确；由旋转的性质可得AN=CH，DN=DH，∠DCH=∠DAN=45°，∠CDH=∠ADE，由“SAS”可证△DEN≌△DEH，可得EN=EH，由勾股定理可得CH2+AE2=HE2，故②正确；利用特殊位置可得EH的长是变化的，且点D到EH的距离不变，则S△DEH不是定值，故③错误；由“SAS”可证△DNE≌△GCE，可得NE=CE，∠DEN=∠CEG，由等腰直角三角形的性质可得CD+CG=CE，故④正确；通过证明△DEH∽△DGF，可得FG=EH，故⑤正确；即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∵EG⊥DE，
∴∠DEG=∠DCG=90°，
∴点D，点E，点G，点C四点共圆，
∴∠DCE=∠DGE=45°，∠GDE=∠GCE=45°，
∴∠EGD=∠EDG，
∴DE=EG，故①正确；
如图，将△CDH绕点D顺时针旋转90°，得到△ADN，连接NE，

∴AN=CH，DN=DH，∠DCH=∠DAN=45°，∠CDH=∠ADE，
∴∠NAE=90°，
∴AN2+AE2=NE2，
∵∠FDG=45°，
∴∠ADE+∠CDH=45°，
∴∠ADE+∠ADN=45°，
∴∠NDE=45°=∠FDG，
又∵DE=DE，DN=DH，
∴△DEN≌△DEH（SAS），
∴EN=EH，
∴AN2+AE2=HE2，
∴CH2+AE2=HE2，故②正确；
当点E与点A重合时，EH=，
当AE=HC时，
∵CH2+AE2=HE2，
∴AE=CH=EH，
∴EH=（-1）AC，
∴EH的长是变化的，
又∵点D到EH的距离不变，
∴S△DEH不是定值，故③错误；
如图，延长CD到N，使DN=CG，连接NE，

∵点D，点E，点G，点C四点共圆，
∴∠CDE+∠CGE=180°，
又∵∠CDE+∠NDE=180°，
∴∠NDE=∠CGE，
又∵DN=CG，DE=GE，
∴△DNE≌△GCE（SAS），
∴NE=CE，∠DEN=∠CEG，
∴∠NED+∠DEC=∠CEG+∠DEC=90°，
∴∠NEC=90°，
∴NC=CE，
∴CD+CG=CE，故④正确；
如图，连接HF，

∵∠FDG=∠CAB=45°，
∴点A，点D，点H，点F四点共圆，
∴∠DAC=∠DFH=45°，
∴∠DGE=∠DFH=45°，
∴点E，点F，点G，点H四点共圆，
∴∠EFG+∠EHG=180°，
又∵∠EHG+∠DHE=180°，
∴∠DHE=∠DFG，
又∵∠EDH=∠FDG，
∴△DEH∽△DGF，
∴==，
∴FG=EH，故⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形或全等三角形是解题的关键．

三、作图题（本大题共4分）
15．(本题4分)如图，已知线段和，求作，使（使用直尺和圆规，并保留作图痕迹）．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先作射线CM，在CM上截取CB=a，过点C作垂线CN，垂足为C，在点B处作，角的另一边交射线CN于点A，即可得到图形．
【详解】解：如下图，作的角；

如图，为所求．

【点睛】本题考查了基本作图，作三角形，作角，作线段，解题的关键是掌握基本作图的方法和步骤进行画图．

四、解答题（本大题共9小题，满分74分）
16．(本题8分)（1）化简：；
（2）解不等式组
并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】（1）；（2），图见解析
【解析】
【分析】（1）先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，再把除法转为乘法，最后约分即可；
（2）利用解一元一次不等式组的方法进行求解，最后在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：（1）



；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集为：，
在数轴表示为：
．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．



17．(本题6分)如图，A、B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，游戏者同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘．

(1)用画树状图或列表的方法分别求出数字之积为3的倍数与数字之积为5的倍数的概率；
(2)小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏双方公平．
【答案】(1)数字之积为3的倍数的概率为，数字之积为5的倍数的概率为
(2)不公平，详见解析
【解析】
【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）用得分乘以数字之积为3或5的倍数的概率求出平均每次得分，从而做出判断．
【详解】（1）解：列表如下：

1
2
3
4
4
8
12
5
5
10
15
6
6
12
18

由表知，共有9种等可能结果，其中数字之积为3的倍数的有5种结果，数字之积为5的倍数的有3种结果，
∴数字之积为3的倍数的概率为，
数字之积为5的倍数的概率为；
（2）这个游戏对双方不公平．
∵小亮平均每次得分为（分），
小芸平均每次得分为（分），
∵，
∴游戏对双方不公平．修改得分规定为：
若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；
若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可．
【点睛】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．

18．(本题8分)筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示，半径为的筒车按逆时针方向，每秒旋转4度，筒车与水面分别交于、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，水筒与点重合时开始计算时间．

(1)3.5秒后，盛水筒距离水面（即直线）的高是多少米?
(2)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上?（参考数据：，，）
【答案】(1)3.5秒后，盛水筒距离水面（即直线）的高是
(2)盛水筒从最高点开始，至少经过恰好在直线上
【解析】
【分析】（1）连接，，过点作，垂足为，可得，根据三角函数求出，在中求出的长解题即可；
（2）延长交于点，则点为最高点，先在中求出，在中求得解题即可．
【详解】（1）连接，，过点作，垂足为，

由题意得：，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴3.5秒后，盛水筒距离水面（即直线）的高是；
（2）延长交于点，则点为最高点，
∵点在上，且与相切，
∴当点在上，此时点是切点，连接，则，

在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴盛水筒从最高点开始，至少经过恰好在直线上．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．


19．(本题6分)某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
分组
频数
A：
a
B：
18
C：
24
D：
b


(1)n的值为　　　　　，a的值为　 　，b的值为　 　；
(2)请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为　 　°；
(3)竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】(1)60，6，12
(2)补全频数分布直方图见解析，144
(3)恰好抽到甲、乙两名同学的概率为
【解析】
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值；
（2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由乘以“C”所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
故答案为：60，6，12；
（2）解：补全频数分布直方图如下：
；
扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为，
故答案为：144；
（3）解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．


20．(本题6分)如图，在平面直角坐标系中，经过原点和点的直线与反比例函数的图象交于点、，轴于点，且．

(1)求直线与反比例函数的解析式；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)；
(2)6
【解析】
【分析】（1）设直线的解析式为，将点代入即可求出直线的解析式，再根据条件确定点的横坐标代入直线的解析式求出点坐标即可求出反比例函数的解析式；
（2）先联立解析式求出点坐标，再根据进行求解即可．
【详解】（1）设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得，
∴直线的解析式为；
∵轴于点，且，点在第三象限，
∴令代入得：，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）联立，并解得，，
∴，，
又∵轴于点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的几何综合，熟记一次函数和反比例函数的解析式求法，利用数形结合的方法是解题的关键．


21．(本题6分)红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．商场在春节前准备购进甲、乙两种红灯笼，已知用300元购进甲灯笼与用400元购进乙灯笼的数量相同，乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多10元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)若商场一次性购进甲、乙两种红灯笼200对，要使总费用不超过7500元，最少要购买多少对甲种红灯笼？
【答案】(1)甲灯笼每对的进价为30元，则乙灯笼每对的进价为元
(2)最少要购买50对甲种红灯笼．
【解析】
【分析】（1）设甲灯笼每对的进价为x元，则乙灯笼每对的进价为元，根据用300元购进甲灯笼与用400元购进乙灯笼的数量相同列出分式方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设购买m对甲种红灯笼，则购买对乙种红灯笼，根据总费用不超过7500元列不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲灯笼每对的进价为x元，则乙灯笼每对的进价为元，
由题意得，，
解得，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
（元），
答：甲灯笼每对的进价为30元，则乙灯笼每对的进价为元；
（2）设购买m对甲种红灯笼，则购买对乙种红灯笼，
则，
解得，
∴，
即最少要购买50对甲种红灯笼．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用和一元一次不等式的应用，读懂题意正确列出方程和不等式是解题的关键．


22．(本题8分)如果两个角的差等于30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．

(1)已知∠1和∠2互为“伙伴角”，∠1>∠2，且∠1和∠2互补，求∠1的度数；
(2)在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线．
①如图1，过点C作AB的平行线CM，射线CN平分∠BCM，且与射线AE交于点N．若∠ANC与∠ABC互为“伙伴角”，则∠ABC＝______；
②如图2，过点C作AB的垂线，垂足为D，AE、CD相交于点F．若∠FCE与∠CEF互为“伙伴角”，求∠ABC的度数．
【答案】(1)105°
(2)①75°或15°，②50°或10°
【解析】
【分析】对于（1），根据伙伴角的定义，再结合补角的定义即可解答；
对于（2）①，先设∠ABC=x，表示∠BAC，再根据平分线的定义表示∠NAC，根据平行线的性质得∠BCM，由平分线的定义得∠BCN，进而求出∠ANC，然后根据伙伴角的定义得出答案；
对于②，分∠FEC＞∠FCE时，设∠FCE=x，表示∠FEC，∠DAC，再根据平分线的定义表示∠EAC，然后根据∠EAC+∠FEC=90°，列出关于x的方程，求出即可；再根据∠FCE＞∠FEC时，仿照①列出方程求出解即可．
【详解】（1）∵∠1与∠2互为“伙伴角”，∠1＞∠2，
∴∠1-∠2=30°．
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+30°+∠2=180°，
解得∠2=75°，
∴∠1=30°+75°=105°；
（2）①设∠ABC=x．
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-x．
∵AN平分∠BAC，
∴．
∵，
∴∠BCM=∠ABC=x．
∵CN平分∠BCM，
∴，
∴∠ANC=180°-∠NAC-∠ACB-∠BCN=．
∵∠ABC-∠ANC=30°或∠ANC-∠ABC=30°，
∴∠ABC=75°或15°；
故答案为：75°或15°；
②当∠FEC＞∠FCE时，则∠FEC-∠FCE=30°．
设∠FCE=x，则∠FEC=30°+x．
∵∠ACB=∠CDA=90°，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠DAC=∠DCB=x．
∵AE平分∠BAC，
∴．
∵∠EAC+∠FEC=90°，
∴，
解得，
∴∠FCE=40°，
∴∠ABC=90°-∠FCE=50°．
当∠FCE＞∠FEC时，则∠FCE-∠FEC=30°，
设∠FCE=x，则∠FEC=x-30°，
∵AE平分∠BAC，
∴．
∴，
解得，
∴∠FCE=80°，
∴∠ABC=90°-∠FCE=10°．
综上所述，∠ABC的度数为50°或10°．
【点睛】这是一道关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论．


23．(本题6分)已知：如图，在平行四边形中，分别为边的中点，连接，作交的延长线于．
（1）求证：∆ADE∆CBF；
（2）若四边形是矩形，则四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）当四边形是矩形时，四边形是菱形，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，再根据线段的中点定义、等量代换得出，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据平行四边形的性质、线段中点的定义得出，，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质、直角三角形的中线性质得出，且与不垂直，由此可得平行四边形是菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形

∵点分别是的中点


在∆ADE和∆CBF中，
∴；
（2）当四边形是矩形时，四边形是菱形．证明过程如下：
四边形是平行四边形
，
∵点分别是的中点
∴

∴四边形是平行四边形
∵四边形是矩形

是直角三角形，不是等腰直角三角形
∵点是的中点
，且与不垂直
∴平行四边形是菱形，不是正方形
故当四边形是矩形时，四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定定理、矩形的性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．




24．(本题10分)平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)， ，，
(2)存在，，，，，，，，
(3)存在， ，
【解析】
【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，进而分别令，解方程即可求解；
（2）根据题意，对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（3）存在点使最小，作点关于的对称点，连接交于点，连接，求得直线的解析式，直线的解析式为，联立方程即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
即，解得：，
∴，
令，则，
令，则，
解得：，
，，
（2）解：存在是直角三角形，
∵，对称轴为直线，
设，
∵，，
∴，，
①当时，,
∴
解得：
②当时，,
∴
解得：
③当时，,

解得：或.
综上所述：，，，，，，，
（3）存在点使最小，理由如下：
作点关于的对称点，连接交于点，连接，

由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，，，，
，
，
由对称性可知，
，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
，；
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．


25．(本题10分)已知：如图，在矩形中，，，对角线，交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延点也长，交于点，过点作，交于点．设运动时间为，解答下列问题：

（1）当时，______；
（2）当为何值时，是等腰三角形?
（3）设五边形的面积为，试确定与的函数关系式；
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使平分?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当为或5时，是等腰三角形；（3）；
（4） 当时，平分．
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理求出矩形的对角线AC，利用证△DQF∽△DCO，由性质，t=2,求出DQ，OC，DC，代入计算即可，
（2）根据等腰三角形的定义分三种情况，再分别根据相似三角形的判定与性质求解即可；
（3）先根据矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质得出，从而可得出的面积，再根据矩形的性质、相似三角形的判定与性质得出，从而可得的面积，然后根据五边形的面积等于的面积减去的面积、的面积即可；
（4）过作于，于， OR⊥AD于R，利用面积求出，∠POC的平分线性质，利用勾股定理，
，再利用面积桥，可求PM，在Rt△PDM中，，解方程即可．
【详解】解：（1）∵在矩形中，，，
∴，
∴OC=AC=5cm，
∵，
∴∠DQF=∠DCO，∠DFQ=∠DOC，
∴△DQF∽△DCO，
∴，
，DQ=1×t=2，
，
故答案为：；
（2）由是等腰三角形，分以下三种情况：
①当时，是等腰三角形，
如图1，过作，
∴，
∵，，
∴，
，即，
解得，
∴，

②当时，是等腰三角形，
则，
，

③当时，是等腰三角形，
则，即此时点P与点D重合，
，
（不符题意，舍去），
综上，当为或5时，是等腰三角形；
（3）如图2，过点作交于点，则，
由矩形的性质可知，，，
，
又，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，相似比为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故与的函数关系式为；

（4）当时，平分．
如图，过作于，于，OR⊥AD于R，
∵S△ACD=，
∴，

∵OD平分∠POC，
∴，，
∵OD=，
，
，
∵PD=8-t，OR=，
，
，
在Rt△PDM中，
，
，
解得：（不合题意，舍去），，
当时，平分．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定定理与性质、勾股定理，解一元二次方程，二次函数等知识点，习题难度较大，应用知识多，具有较强的分析能力和解题能力．