初中人教版第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.1.3 积的乘方复习练习题

第十四章  整式的乘法与因式分解

14.1  整式的乘法
14.1.3 积的乘方

一、教学目标

【知识与技能】

探索积的乘方的运算性质,能用积的乘方的运算性质进行计算.

【过程与方法】

经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.

【情感、态度与价值观】

培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

积的乘方运算法则的理解及其应用.

【教学难点】

积的乘方推导过程的理解和灵活运用. 

五、课前准备 

教师：课件、直尺、计算器等。

学生：直尺、计算器。

六、教学过程

（一）导入新课

若已知一个正方体的棱长为2×103 cm,你能计算出它的体积是多少吗？                

学生思考后列式：V=（2×103）3（cm3）

教师提出问题： 底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，它是积的乘方。积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？（出示课件2）

（二）探索新知

1.创设情境，探究积的乘方的法则

教师问1：请同学们完成下面的题目

计算：(1)x2·x5；　(2)y2n·yn＋1；　(3)(x4)3；　(4)(a2)3·a5.

学生回答：（1）x7；（2）y3n+1；（3）x12；（4）a11.

教师问2：同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则是什么？

学生回答：同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；am·an= am+n            ( m，n都是正整数).
幂的乘方法则：底数不变，指数相乘. (am)n= amn (m,n都是正整数).

教师问3：地球半径约为6.4×103km，球的体积计算公式为：V=πr3，你知道地球的体积大约是多少吗？（出示课件4）

学生独立思考问题3并口答：

体积应是V＝π(6.4×103) 3 km3.

教师问4：结果是幂的乘方形式吗？

学生讨论后回答：底数是6.4和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看不是幂的乘方.

教师讲解：如何运算呢？本节课我和同学们一起来探究积的乘方的运算.

教师问4：计算：（3×4）2  和32×42，看一下他们的结果，你发现了什么？

学生计算后回答：它们的结果相等，即（3×4）2  =32×42

教师问5：下列两题有什么特点？(出示课件7)

（1）（ab）2；（2）（ab）3

学生回答：底数为两个因式相乘，积的形式.
教师问6：你猜想一下它们的结果是多少呢？

学生回答：(ab)2＝a2b2，则(ab)3＝a3b3，

教师问7：你能证明上边的猜想吗？（出示课件8）

学生讨论并回答：

（ab）2=（ab）·(ab) (乘方的意义)

      =(aa) ·(bb) (乘法交换律、结合律)

      =a2b2 (同底数幂相乘的法则)

同理：
   （ab）3=（ab）·(ab) ·(ab) (乘方的意义)

     =(aaa) ·(bbb) (乘法交换律、结合律)

     =a3b3(同底数幂相乘的法则)

教师问8：同学们试着猜想一下：(ab)n =?（出示课件9）

学生猜想：(ab)n =anbn.

教师问9：你能用你学过的知识验证你的猜想吗？从运算结果看能发现什么规律？

师生共同讨论后解答如下：

因此可得：(ab)n=anbn  (n为正整数).
教师总结：得到结论：（出示课件10）

积的乘方：(ab)n＝an·bn(n是正整数)，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

教师问10：前面提出问题中正方体的体积V＝(2×103)3它不是最简形式，根据发现的规律如何计算呢？

学生解答：

可作如下运算：

V＝(2×103)3＝23×(103)3＝23×103×3＝8×109cm3.

教师问11：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
学生讨论后回答：三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质.

如(abc)n＝an·bn·cn(n为正整数)；

教师讲解：积的乘方等于积中“每一个”因式乘方的积，防止有的因式漏掉乘方出现错误；

教师问12：积的乘方的法则：(ab)n＝an·bn(n是正整数)，把等式的左右两边一换可以得到：an·bn＝(ab)n(n为正整数).这样成立吗？

师生共同讨论后解答如下：

积的乘方法则可以进行逆运算.即：an·bn＝(ab)n(n为正整数).

总结点拨：分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变.

例1：计算: （出示课件11）

(1)(2a)3   ；   (2)(–5b)3   ；(3)(xy2)2 ；   (4)(–2x3)4.
师生共同解答如下：

解：

(1)原式= 23a3= 8a3；(2)原式= (–5)3b3 = –125b3；
(3)原式= x2(y2)2 =x2y4；(4)原式= (–2)4(x3)4 =16x12.
总结点拨：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．
例2  计算: （出示课件14）
(1) –4xy2·(xy2)2·(–2x2)3；
(2) (–a3b6)2＋(–a2b4)3.
师生共同解答如下：

解：(1)原式= –4xy2·x2y4·(–8x6)

=[–4×(–8)]x1+2+6y2+4
=32x9y6;

(2)原式=a6b12+(–a6b12) =[1+(–1)]a6b12=0

总结点拨：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．

例3：如何简便计算(0.04)2022×[(–5)2022]2?（出示课件15）

师生共同解答如下：

解法一：(0.04)2022×[(–5)2022]2

=(0.22)2022 × 54044
=(0.2)4044 × 54044
=(0.2 ×5)4044
=14044
=1

解法二：(0.04)2022×[(–5)2022]2

=(0.04)2022 × （25）2022
=(0.04× 25)2022
=12022
=1

总结点拨：（出示课件16）

①逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式．
    ②一般转化为底数乘积是一个正整数,再进行幂的计算较简便.
  （三）课堂练习（出示课件20-24）

1.计算 (–x2y)2的结果是(　　)
A．x4y2                                 B．–x4y2
C．x2y2                                 D．–x2y2

2.下列运算正确的是(    )
    A.   x•x2=x2                       B. (xy)2=xy2       
     C.  (x2)3=x6                        D. x2+x2=x4
    3. 计算：(1) 82024×0.1252023=   ________;
            (2) （-3）2023×（-）2022 ________;
            (3) (0.04)2023×[(–5)2023]2=________.
    4. 判断:

(1)(ab2)3=ab6         (       )    (2)  (3xy)3=9x3y3       (       )  

(3) (–2a2)2=–4a4     (       )   (4)  –(–ab2)2=a2b4     (       )
5.计算:
(1)  (ab)8 ;        (2)  (2m)3  ;      (3) (–xy)5; 
(4)  (5ab2)3     ;   (5)  (2×102)2  ; (6) (–3×103)3.
6. 计算:

(1) 2(x3)2·x3–(3x3)3+(5x)2·x7;  
(2)(3xy2)2+(–4xy3) · (–xy) ;  
(3)(–2x3)3·(x2)2.    
7. 如果(an•bm•b)3=a9b15,求m, n的值.

参考答案：

1.A

2.C

3.（1）8；（2）-3；（3）1

4.（1）× （2）× （3）× （4）×

5. 解：(1)原式=a8b8;
(2)原式= 23 ·m3=8m3;
(3)原式=(–x)5 ·y5= –x5y5;
(4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125a3b6;
(5)原式=22 ×(102)2=4 ×104;
(6)原式=(–3)3 ×(103)3= –27 ×109= –2.7 ×1010.
6.（1）解：原式=2x6·x3–27x9+25x2·x7
              = 2x9–27x9+25x9 = 0;
（2）解：原式=9x2y4 +4x2y4
             =13x2y4;
（3）解：原式= –8x9·x4 =–8x13.

7. 解：∵(an•bm•b)3=a9b15,
    ∴ (an)3•(bm)3•b3=a9b15,
    ∴a 3n •b 3m•b3=a9b15 ,
    ∴a 3n •b 3m+3=a9b15,
    ∴3n=9  ,3m+3=15.
   ∴n=3,m=4.

（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

积的乘方法则：(ab)n＝an·bn(n是正整数).

使用范围：底数是积的乘方.

方法：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

注意点：

(1)注意防止符号上的错误；

(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质；

(3)积的乘方法则也可以逆用.

（五）课前预习

预习下节课（14.1.4）98页到99页的相关内容。

知道单项式乘以单项式的法则

七、课后作业

1、教材98页练习1,2

2、阅读下列各式:

(ab)2=a2b2,(ab)3=a3b3,(ab)4=a4b4,…

①归纳得(ab)n=　　　　;(abc)n=　　　　; 

②计算4100×0.25100=　　　　;

③应用上述结论计算:(-0.125)2017×22018×42016.

八、板书设计：

九、教学反思：

1.本节主要是积的乘方,学生很容易得出计算公式,关键是利用公式进行运算,通过练习引导学生明确先利用法则把运算转化为几个幂的乘方的积,然后计算,通过小组练习,讨论,纠错得到正确的解法.

2.本节课的主要内容是积的乘方公式及其应用，由于在应用当中需要用到同底数幂的乘法和幂的乘方，也是为了引导学生回忆巩固前面的知识，所以在上新课之前先复习它们的法则.积的乘方公式的理解及应用是这节课的重点，首先要让学生理解这个公式，而要让学生理解这个公式，就要让学生理解积的乘方的含义.这组计算是以前的知识，学生能够比较轻松完成.然后引导学生推导(ab)3和(ab)n.导出性质后，要通过一些实例说明其表达式及语言叙述中每句话的含义，以使学生更好的理解，并能在理解的基础上会用它进行计算.因此在后面设计了几个例题，以便学生进一步理解公式.