数学5.5 数学归纳法优秀课件ppt

课程目标

学科素养

A.了解数学归纳法的原理.

B.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

1.数学抽象：数学归纳法的原理

2.逻辑推理：运用数学归纳法证明数学命题

3.直观想象：运用多米诺骨牌建立数学归纳法概念

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    情景导学

探究1. 已知数列{}中， 且 = ,

 求出这个数列的第2、3、4、5项，你能由此猜出数列的通项公式并给出证明吗？

由已知可得，

= = =3，= = =5，=7，=9，

这就是说，数列{}的前5项分别为1，3，5，7，9，因此，可以猜测{}是一个等差数列，且通向公式为

怎样才能证明这一点呢？我们已经知道前面5项都是满足，所以原则上需要对后面的每一项都进行验证，但因为后面有无数项，所以一一验证是不可能的，不过用下述方法可以给出后面的每一项也满足的严格证明。假设n=k时， 成立, 即 ,根据已知条件和假设可知,

 = == 1,

即， 成立

 这就说明对任意的正整数都成立了.

                     数学归纳法的定义

    一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:

归纳奠基→（1）证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立

归纳递推→（2）以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,
推出“当n=k+1时命题也成立”

  只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.

        有人认为可以借助多米诺骨牌来理解数学归纳法，如图所示，一列排好的多米诺骨牌，如果推倒第1张，而且后续的每一张倒下时能够导致下一张也倒下，则所有的骨牌都能倒下，你觉得这种理解方式怎么样？

（1）第一块骨牌倒下；

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？

问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？

可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下，可类比数学归纳法。

二、典例解析

例1. 用数学归纳法证明，对任意的正整数，都有

=

证明：（1）当时，左边，右边 ==1,所以此时等式成立.

（2）假设当()时， 等式成立，即

=

则 =

=

=

所以，此时也成立

由（1）（2）可知， ①式对任何都成立

用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:

(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;

(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;

(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.

跟踪训练1求证:1-+…++…+

(n∈N*).

证明:①当n=1时,左边=1-,右边=,所以等式成立.

②假设n=k(k∈N*)时,1-+…++…+成立.

那么当n=k+1时,

1-+…++…+

=+…++[]

=+…+,所以n=k+1时,等式也成立.

综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.

探究2.以下是某人给出的关于

+       ②

对所有正整数都成立的证明，这个证明有问题吗？由此你能得到什么启发?

证明：假设当时， ②式成立，即

+ k

+ k

+ +1

所以，此时也成立

②式对任何都成立.

显然②式是不成立的，因为当时， ②式

左边，右边
此时②式是不成立的，事实上尝试与发现中给出的证明，只是数学归纳法证明中的第（2）部分，这就说明数学归纳法证明是（1）与（2）缺一不可，事实上，（1）是（2）的基础，只有确定了题成立，后续的推导才会有意义。

例2.求证：平面上 个圆把平面最多分成个区域.

证明： （1）显然，一个圆将平面分成2个区域，当时，

所以当结论成立.

（2）假设当时,结论成立,即个圆，最多把平面分成 个区域.

     在此基础上增加一个圆,为使区域最多，应使新增加的圆与前个圆都相交于两点，

如图所示，于是新增了个交点，这个交点将新元分成 段弧，这段弧将所经过的区域一分为二，因此新增了个区域，这样最多把平面分成

个区域，

即当N时结论也成立，

所以结论对任何正整数都成立.

用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系.

跟踪训练2．平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)＝.

证明：　(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，

又f(2)＝×2×(2－1)＝1，

∴当n＝2时，命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥2)时命题成立，

即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)＝k(k－1)，

那么，当n＝k＋1时，

任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)＝k(k－1)，

l与其他k条直线的交点个数为k，

从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，

即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝(k＋1)[(k＋1)－1]，

∴当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立.

例3.求证：当是大于或等于5的正整数时，.

证明： （1）当时，=25，.

显然，所以此时命题成立.

（2）假设)时命题成立，即

因为所以

因此

所以，此时也成立

由（1）（2）可知， 对任何大于或等于5的正整数都成立.

      利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.

跟踪训练3. 设Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),试比较Pn与Qn的大小,并加以证明.

解:(1)当n=1,2时,Pn=Qn.

(2)当n≥3时(以下再对x进行分类),

①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn;

②若x=0,则Pn=Qn;

③若x∈(-1,0),则P3-Q3=x3<0,

所以P3<Q3.P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4<Q4.

假设Pk<Qk(k≥3),

则Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk

=1+kx++x+kx2+

=1+(k+1)x+x2+x3

=Qk+1+x3<Qk+1,

即当n=k+1时,不等式成立.

所以当n≥3,且x∈(-1,0)时,Pn<Qn.

通过具体问题的思考和分析，提出关于正整数数学命题的证明问题。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

由多米诺骨牌帮助学生加深对数学归纳法原理的理解，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对数学归纳法的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*),在验证

n=1成立时,左边计算所得的项是(　　)

A.1 B.1+a     C.1+a+a2  D.1+a+a2+a3

解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.

答案:C

2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是(　　)

A.(2k+1)+(2k+2)                     B.(2k-1)+(2k+1)

C.(2k+2)+(2k+3)                      D.(2k+2)+(2k+4)

解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),

所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.

答案:C

3.已知f(n)=1++…+(n∈N*),计算得

f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,由此推测,当n>2时,有　　　　　. 

答案:f(2n)>

4.用数学归纳法证明:+…+.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是　　　　　. 

解析:从不等式结构看,左边n=k+1时,最后一项为,前面的分母的底数是连续的整数,右边n=k+1时,式子为,即目标不等式为+…+.

答案:+…+

5.用数学归纳法证明:当n≥2,n∈N*时,(1-)…(1-)=.

证明:(1)当n=2时,左边=1-,右边=,∴n=2时等式成立.

(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,

即(1-)(1-)(1-)…(1-)=,

那么当n=k+1时, (1-)(1-)(1-)…(1-)[1-]

=·[1-]=.

∴当n=k+1时,等式也成立.

根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。