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高中人教B版 (2019)5.4 数列的应用课文配套课件ppt
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这是一份高中人教B版 (2019)5.4 数列的应用课文配套课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，探究一，探究二，素养形成，当堂检测，答案B，答案A等内容，欢迎下载使用。
某老师准备购买汽车,向银行贷款6万元,银行规定一年期以上贷款月均等额还本付息(即利息按月以复利计算,每期付款数额相同,一个月为一期,购买后一个月付款一次,以后每月付款一次),共付36期,月利率为0.457 5%,该老师每月要还多少钱?
解应用题的基本步骤1.审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.2.建模:利用数学知识及其他相关知识建立相应的数学模型.3.求模:求解数学模型,得出数学结论.4.还原:将数学结论还原为实际问题的答案.
微练习某厂2010年的生产总值为x万元,预计生产总值每年以12%的速度递增,则该厂到2022年的生产总值是 万元. 解析:由年平均增长率的定义可得,2011年生产总值为x(1+12%),2012年生产总值为x(1+12%)2,…,所以2022年生产总值为x(1+12%)12.答案:x(1+12%)12
等差数列的应用例1某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,……,依等差数列逐年递增.(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式;(2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).分析(1)由已知及等差数列前n项和公式,即可得到f(n)的表达式;(2)由(1)中使用n年该车的总费用,我们可以得到n年平均费用表达式,根据基本不等式,我们易计算出平均费用最小时的n值,进而得到结论.
=2×1.2+1=3.4,当且仅当n=12时,等号成立.故该汽车使用12年报废为宜.
反思感悟 等差数列与最值的求解策略本题主要考查等差数列的应用,读懂题意,转化为等差数列求和,利用基本不等式求最值是解题的关键.
变式训练1近几年,我国在电动汽车领域有了长足的发展,电动汽车的核心技术是动力总成,而动力总成的核心技术是电机和控制器,我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线,第一年需要安装、人工等费用24万元,从第二年起,包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元,该生产线每年年产值保持在100万元.(1)引进该生产线几年后总盈利最大,最大是多少万元?(2)引进该生产线几年后平均盈利最多,最多是多少万元?
解:(1)设引进设备n年后总盈利为f(n)万元,设除去设备引进费用,第n年的成本为an,构成一等差数列,前n年成本之和为
故f(n)=100n-[24n+4n(n-1)+196]=-4n2+80n-196=-4(n-10)2+204,n∈N+,所以当n=10时,f(n)max=204万元.答:引进生产线10年后总盈利最大为204万元.
故n=7时,g(n)max=g(7)=24万元.答:引进生产线7年后平均盈利最多为24万元.
等比数列的应用例2某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的 领取工资,该厂根据分流人员的技术特长,计划创办新的经济实体,该经济实体预计第一年属投资阶段,第二年每人可获得b元收入,从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%,如果某人分流前工资的收入为每年a元,分流后进入新经济实体,第n年的收入为an元.(1)求{an}的通项公式;(2)当b≥ 时,是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入?
思路分析(1)由题设可知当n≥2时,收入an由两部分构成,一部分是以a为首项,公比为 的等比数列的第n项,另一部分是以b为首项,公比为 的等比数列的第n-1项,据此可求{an}的通项公式.(2)利用基本不等式可得an>a(n≥2)总成立,从而可判断这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.
所以一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.
反思感悟 等比数列实际问题的求解策略本题考查等比数列在实际问题中的应用,涉及通项的求法、基本不等式的应用等,注意数列不等式的证明可以利用数列单调性来证明,也可以根据通项的结构形式选择基本不等式来证明.
变式训练2某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年淘汰x套旧设备.(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?(2)依照(1)的更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备?下列数据提供计算时参考:
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b,设今年起学校的合格实验设备为数列{an},则a1=1.1a-x,an+1=1.1an-x.令an+1+λ=1.1(an+λ),则an+1=1.1an+0.1λ,所以0.1λ=-x,即λ=-10x.所以数列{an-10x}是首项为1.1a-11x,公比为1.1的等比数列,所以an-10x=(1.1a-11x)·1.1n-1,即an=10x+(1.1a-11x)·1.1n-1.所以a10=10x+(1.1a-11x)·1.19≈2.6a-16x.
数列中的复利计算问题典例市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式:①等额本金,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息,每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2019年7月7日贷款到账,则2019年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004.(1)若小张采取等额本金的还款方式,现已得知第一个还款月应还4 900元,最后一个还款月应还2 510元,试计算小张该笔贷款的总利息;(2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素);
(3)对比两种还款方式,从经济利益的角度来考虑,小张应选择哪种还款方式.参考数据:1.004240≈2.61.
解:(1)由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,记为{an},Sn表示数列{an}的前n项和,则a1=4 900,a240=2 510,
故小张该笔贷款的总利息为889 200-600 000=289 200元.(2)设小张每月还款额为x元,采取等额本息的还款方式,每月还款额为一个等比数列,则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)239=600 000×(1+0.004)240,
所以小张该笔贷款能够获批.(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为3 891×240-600 000=933 840-600 000=333 840(元),因为333 840>289 200,
所以从经济利益的角度来考虑,小张应选择等额本金还款方式.
方法点睛 1.由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额,减去本金即为还款的利息.2.根据题意,采取等额本息的还款方式,每月还款额为一个等比数列,设小张每月还款额为x元,由等比数列求和公式及参考数据,即可求得其还款额,与收入的一半比较即可判断.3.计算出等额本息还款方式时所付出的总利息,两个利息比较即可判断.
1.(2020江苏苏州实验中学高二月考)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问塔尖几盏灯?”源自明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》,通过计算得到的答案是( )A.2B.3C.4D.5解析:由题意,设塔尖有a盏灯,根据题意,由上往下数第n层有2n-1a盏灯,所以一共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381,∴a=3.答案:B
2.我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”,它在世界数学史上具有光辉的一页,堪称数学史上名垂百世的成就,而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题,其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用,为世界数学的发展做出了巨大贡献.现有这样一个整除问题:将1到2 019这2 019个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},那么此数列的项数为( )A.58B.59C.60D.61
解析:能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的数,故an=2+(n-1)35=35n-33.由an=35n-33≤2 019,得n≤58+ ,n∈N+,故此数列的项数为58.答案:A
3.某工厂去年12月份的月产量为a,若该厂产量月平均增长率为p,则今年12月份的月产量比去年同期增加的比率为( )A.(1+p)12B.(1+p)12-1C.(1+p)11D.12p
4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为M,现将该金杖截成长度相等的10段,记第i段的重量为ai(i=1,2,…,10),且a1
5.(2019山东高二期中)如图所示,是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着一个等腰直角三角形,等腰直角三角形的直角边上再连接正方形,…,如此继续.若一共能得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为 ,则最小正方形的边长为 .
某老师准备购买汽车,向银行贷款6万元,银行规定一年期以上贷款月均等额还本付息(即利息按月以复利计算,每期付款数额相同,一个月为一期,购买后一个月付款一次,以后每月付款一次),共付36期,月利率为0.457 5%,该老师每月要还多少钱?
解应用题的基本步骤1.审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.2.建模:利用数学知识及其他相关知识建立相应的数学模型.3.求模:求解数学模型,得出数学结论.4.还原:将数学结论还原为实际问题的答案.
微练习某厂2010年的生产总值为x万元,预计生产总值每年以12%的速度递增,则该厂到2022年的生产总值是 万元. 解析:由年平均增长率的定义可得,2011年生产总值为x(1+12%),2012年生产总值为x(1+12%)2,…,所以2022年生产总值为x(1+12%)12.答案:x(1+12%)12
等差数列的应用例1某种汽车购买时费用为14.4万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元,汽车的维修费为:第一年0.2万元,第二年0.4万元,第三年0.6万元,……,依等差数列逐年递增.(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n),试写出f(n)的表达式;(2)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少).分析(1)由已知及等差数列前n项和公式,即可得到f(n)的表达式;(2)由(1)中使用n年该车的总费用,我们可以得到n年平均费用表达式,根据基本不等式,我们易计算出平均费用最小时的n值,进而得到结论.
=2×1.2+1=3.4,当且仅当n=12时,等号成立.故该汽车使用12年报废为宜.
反思感悟 等差数列与最值的求解策略本题主要考查等差数列的应用,读懂题意,转化为等差数列求和,利用基本不等式求最值是解题的关键.
变式训练1近几年,我国在电动汽车领域有了长足的发展,电动汽车的核心技术是动力总成,而动力总成的核心技术是电机和控制器,我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线,第一年需要安装、人工等费用24万元,从第二年起,包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元,该生产线每年年产值保持在100万元.(1)引进该生产线几年后总盈利最大,最大是多少万元?(2)引进该生产线几年后平均盈利最多,最多是多少万元?
解:(1)设引进设备n年后总盈利为f(n)万元,设除去设备引进费用,第n年的成本为an,构成一等差数列,前n年成本之和为
故f(n)=100n-[24n+4n(n-1)+196]=-4n2+80n-196=-4(n-10)2+204,n∈N+,所以当n=10时,f(n)max=204万元.答:引进生产线10年后总盈利最大为204万元.
故n=7时,g(n)max=g(7)=24万元.答:引进生产线7年后平均盈利最多为24万元.
等比数列的应用例2某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的 领取工资,该厂根据分流人员的技术特长,计划创办新的经济实体,该经济实体预计第一年属投资阶段,第二年每人可获得b元收入,从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%,如果某人分流前工资的收入为每年a元,分流后进入新经济实体,第n年的收入为an元.(1)求{an}的通项公式;(2)当b≥ 时,是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入?
思路分析(1)由题设可知当n≥2时,收入an由两部分构成,一部分是以a为首项,公比为 的等比数列的第n项,另一部分是以b为首项,公比为 的等比数列的第n-1项,据此可求{an}的通项公式.(2)利用基本不等式可得an>a(n≥2)总成立,从而可判断这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.
所以一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.
反思感悟 等比数列实际问题的求解策略本题考查等比数列在实际问题中的应用,涉及通项的求法、基本不等式的应用等,注意数列不等式的证明可以利用数列单调性来证明,也可以根据通项的结构形式选择基本不等式来证明.
变式训练2某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为b人,以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套,其中需要换掉的旧设备占了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备,同时每年淘汰x套旧设备.(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧设备是多少套?(2)依照(1)的更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备?下列数据提供计算时参考:
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b,设今年起学校的合格实验设备为数列{an},则a1=1.1a-x,an+1=1.1an-x.令an+1+λ=1.1(an+λ),则an+1=1.1an+0.1λ,所以0.1λ=-x,即λ=-10x.所以数列{an-10x}是首项为1.1a-11x,公比为1.1的等比数列,所以an-10x=(1.1a-11x)·1.1n-1,即an=10x+(1.1a-11x)·1.1n-1.所以a10=10x+(1.1a-11x)·1.19≈2.6a-16x.
数列中的复利计算问题典例市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式:①等额本金,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息,每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2019年7月7日贷款到账,则2019年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004.(1)若小张采取等额本金的还款方式,现已得知第一个还款月应还4 900元,最后一个还款月应还2 510元,试计算小张该笔贷款的总利息;(2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素);
(3)对比两种还款方式,从经济利益的角度来考虑,小张应选择哪种还款方式.参考数据:1.004240≈2.61.
解:(1)由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,记为{an},Sn表示数列{an}的前n项和,则a1=4 900,a240=2 510,
故小张该笔贷款的总利息为889 200-600 000=289 200元.(2)设小张每月还款额为x元,采取等额本息的还款方式,每月还款额为一个等比数列,则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)239=600 000×(1+0.004)240,
所以小张该笔贷款能够获批.(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为3 891×240-600 000=933 840-600 000=333 840(元),因为333 840>289 200,
所以从经济利益的角度来考虑,小张应选择等额本金还款方式.
方法点睛 1.由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额,减去本金即为还款的利息.2.根据题意,采取等额本息的还款方式,每月还款额为一个等比数列,设小张每月还款额为x元,由等比数列求和公式及参考数据,即可求得其还款额,与收入的一半比较即可判断.3.计算出等额本息还款方式时所付出的总利息,两个利息比较即可判断.
1.(2020江苏苏州实验中学高二月考)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问塔尖几盏灯?”源自明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》,通过计算得到的答案是( )A.2B.3C.4D.5解析:由题意,设塔尖有a盏灯,根据题意,由上往下数第n层有2n-1a盏灯,所以一共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381,∴a=3.答案:B
2.我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”,它在世界数学史上具有光辉的一页,堪称数学史上名垂百世的成就,而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题,其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用,为世界数学的发展做出了巨大贡献.现有这样一个整除问题:将1到2 019这2 019个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},那么此数列的项数为( )A.58B.59C.60D.61
解析:能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的数,故an=2+(n-1)35=35n-33.由an=35n-33≤2 019,得n≤58+ ,n∈N+,故此数列的项数为58.答案:A
3.某工厂去年12月份的月产量为a,若该厂产量月平均增长率为p,则今年12月份的月产量比去年同期增加的比率为( )A.(1+p)12B.(1+p)12-1C.(1+p)11D.12p
4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为M,现将该金杖截成长度相等的10段,记第i段的重量为ai(i=1,2,…,10),且a1
5.(2019山东高二期中)如图所示,是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着一个等腰直角三角形,等腰直角三角形的直角边上再连接正方形,…,如此继续.若一共能得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为 ,则最小正方形的边长为 .
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