第6章 图形的初步知识（基础卷）-七年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

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第6章 图形的初步知识（基础卷）
一、单选题
1．用一个平面去截下列几何体：长方体、圆柱、圆锥、正方体、五棱柱，截面形状可能是三角形的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据长方体、圆柱、圆锥、正方体、五棱柱的特征，找到用一个平面截一个几何体得到的形状可能是三角形的几何体解答即可．
【详解】解：用一个平面去截下列几何体：长方体、圆柱、圆锥、正方体、五棱柱，截面形状可能是三角形的有长方体、圆锥、正方体、五棱柱，一共4个．
故选：C．
【点睛】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．
2．下面那个图形经过折叠不能得到一个正方体（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正方体展开图的常见形式作答即可．
【详解】解：由展开图可知：A、B、C能围成正方体，不符合题意；
D、围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体．熟记能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态是解题的关键．
3．下面每个图片都是6个大小相同的正方形组成的，其中不是正方体展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】正方体有11种展开图的形式，其中1-4-1型有6种，1-3-2型有3种，2-2-2型，3-3型各1种，展开图中不能有“凹”型与“田”型，根据展开图的形式逐一判断即可得到答案.
【详解】解：选项A是1-4-1型，是正方体的展开图，故A不符合题意；
选项B中有“凹”型，不是正方体的展开图，故B符合题意；
选项C，D是1-4-1型，是正方体的展开图，故C，D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是正方体的展开图，掌握“正方体的11种展开图的形式”是解本题的关键.
4．如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【详解】解：A．∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角；
B．∠1与∠2有公共顶点，并且两边互为反向延长线，是对顶角；
C．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角；
D．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的定义是解题的关键．
5．已知点C是线段AB的中点，下列说法：①AB＝2AC；②BC＝AB；③AC＝BC．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先画图，结合线段中点的含义逐一判断即可.
【详解】解：如图，

点C是线段AB的中点，
故①正确，符合题意；
故②正确，符合题意；
故③正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是线段的中点的概念，值得注意的是线段的中点在这条线段上，并且把这条线段分成两条相等的线段.
6．如果，，在同一条直线上，线段，，那么，两点间的距离是（ ）
A．8cm B．2cm C．8cm或4cm D．4cm或2cm
【答案】C
【分析】分点C在AB的延长线上和点C在线段BA的延长线上两种情况，根据线段的和差关系求出AC的长即可．
【详解】解：①如图，当点C在AB的延长线上时，
∵AB=6cm，BC=2cm，
∴AC=AB+BC=8cm，

②如图，当点C在线段BA的延长线上时，
∵AB=6cm，BC=2cm，
∴AC=AB-BC=4cm，

综上所述：AC的长为8cm或4cm，
故选C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
7．B，C，D是线段AE上的点，AB，BC，CD，CE的长如图所示，若D为线段AE的中点，则下列结论正确的是（ ）

A．a＝2b B．a＝b C．a＝3b D．a＝b
【答案】A
【分析】先求出AD、DE的长，然后根据D为线段AE的中点列式求解．
【详解】解：由题意可知，
AD=AB+BC+CD=a+b+2a-3b=3a-2b，
DE=CE-CD=3a-b-(2a-3b)=a+2b，
∵D为线段AE的中点，
∴AD=DE，
∴3a-2b= a+2b，
∴a=2b，
故选A．
【点睛】本题考查了线段的和差，以及线段的中点，以及数形结合的数学思想，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键．
8．下列说法正确的个数有（ ）个
（1）两点之间，直线最短
（2）线段就是，两点间的距离
（3）两点之间的线段就是这两点之间的距离
（4）从大同到北京，火车行走的路程就是从大同到北京的距离
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据两点间的距离的定义：连接两点间的线段的长度叫做两点之间的距离以及两点之间线段最短进行逐一判断即可．
【详解】解：①两点之间，线段最短，故此说法不正确；
②线段MN的长度就是M，N两点间的距离，故此说法不正确；
③连接两点之间的线段长度就是这两点之间的距离，故此说法不正确；
④从大同到北京，火车行走的路程大于从大同到北京的距离，故此说法不正确；
故选A．
【点睛】本题主要考查了两点之间的距离的定义以及两点之间线段最短，解题的关键在于能够熟知定义．
9．下列角中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，据此分析即可
【详解】根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，
A、B、D选项中，点为顶点的角存在多个，故不符合题意
故选C
【点睛】本题考查了角的表示方法，掌握角的表示方法是解题的关键．角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符号“∠”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不能使人产生误解．
10．如图是一个正方体的平面展开图，标注了字母m的是正方体的前面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等，前面与后面标注的数字互为相反数，则m的值为（　　）


A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【答案】D
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，然后列出方程求解即可．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“m”与“x”是相对面，
“﹣2”与“3”是相对面，
“4”与“2x”是相对面，
解∵正方体的左面与右面标注的式子相等，
∴4＝2x，
解得x＝2；
∵标注了m字母的是正方体的前面，左面与右面标注的式子相等，前面与后面标注的数字互为相反数，
∴m＝﹣2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
二、填空题
11．_________°，的余角是________．
【答案】
【分析】根据角度的四则运算法则、余角的定义即可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
；
的余角是，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了角度的四则运算、余角，熟练掌握角度的四则运算法则和余角的定义是解题关键．
12．如图，点C，D在线段AB上，且AD＝BC，则AC___BD（填“＞”、“＜”或“＝”）．

【答案】=
【分析】利用线段的和差关系与可得：从而可得答案.
【详解】解： AD＝BC，


故答案为：=
【点睛】本题考查的是线段的和差关系，等式的基本性质，利用图形掌握线段的和差关系是解题的关键.
13．下列语句中：①画直线AB＝3cm；②直线AB与直线BA是同一条直线，所以射线AB与射线BA也是同一条射线；③延长直线OA；④若AM＝BM则M为线段AB的中点；⑤若M是线段AB的中点，则AM＝BM．正确的有 ___个．
【答案】1
【分析】直接利用直线、射线、线段的定义，以及中点的定义分别分析得出答案．
【详解】解：①画直线AB＝3cm，直线没有长度，说法错误；
②直线AB与直线BA是同一条直线，射线AB与射线BA不是同一条射线，说法错误；
③延长直线OA，直线向两方无限延伸，不能延长，说法错误；
④如果点M在线段AB上且AM＝BM，则M为线段AB的中点，故说法错误；
⑤若M是线段AB的中点，则AM＝BM，说法正确；
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段以及中点的定义，正确把握相关定义是解题关键．
14．如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是______，点A到BC的距离是_________，AC>CD的依据是________________．

【答案】 垂线段最短
【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度，据此回答即可．
【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，
∴B到AC的距离是12cm，A点到BC的距离是5cm，
∵垂线段最短，
∴CD＜AC，
故答案为：12cm，5cm，垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离以及垂线段最短的运用，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
15．如图、相交于点O，平分，若，则的度数是________．

【答案】
【分析】由角平分线可知，即可求出的大小，再由和为对顶角，即可直接求出的大小．
【详解】∵OB平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质和对顶角的性质．掌握角平分线的性质“角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半”是解答本题的关键．
16．如图，在直角三角形中，已知三角形三边的长度分别为，，，则点到线段所在直线的距离是________，点到线段所在直线的距离是________．

【答案】8 6
【分析】根据点到直线的距离定义、正确的识别图形即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴点到线段所在直线的距离是；
点到线段所在直线的距离是．
故答案为：8；6．
【点睛】本题考查了点到直线的距离．解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形．
17．已知直线AB、CD相交于点O，且A、B和C、D分别位于点O两侧，OE⊥AB，，则____________．
【答案】130°或50°
【分析】根据题意作出图形，根据垂直的定义，互余与互补的定义，分类讨论即可
【详解】①如图，

，

，


②如图，


，

，


综上所述，或
故答案为：130°或50°
【点睛】本题考查了相交线所成角，对顶角相等，垂直的定义，求一个角的余角，补角，分类讨论是解题的关键．
18．已知：如图，线段cm，延长AB到C，使得，D为AC中点．则______cm．

【答案】1
【分析】根据可得出的长度，从而得出的长，根据D为AC中点可得的长度，然后根据即可得出答案．
【详解】解：∵cm，，
∴，
∴，
∵D为AC中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了的是线段的和差倍分，根据线段之间的和、差、倍数关系求出个线段长是解题的关键．
19．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用点A、B、C来表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC应该是______________．
【答案】165°
【分析】首先根据题意画出图形，再计算出∠ABC的度数即可．
【详解】如图所示：
解：∠ABC＝90°－30°＋90°＋15°＝165°，
故填：165°．

【点睛】此题主要考查了方向角，解决问题的关键是根据题意画出图形．
20．如图，点，，在数轴上对应的数分别为，1，9．它们分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左做匀速运动，设同时运动的时间为秒．若，，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点，则的值为______．

【答案】1或4或16．
【分析】当运动时间为t秒时，点A在数轴上对应的数为-2t-3，点B在数轴上对应的数为-t+1，点C在效轴上对应的数为-4t+9，然后分三种情况：点B为线段AC的中点、点C为线段AB的中点及点A为线段CB的中点，找出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：当运动时间为t秒时，点A始终在点B的左侧，
点A在数轴上对应的数为-2t-3，点B在数轴上对应的数为-t+1，点C在数轴上对应的数为-4t +9，
当点B为线段AC的中点时，
-t+1-（-2t-3）=-4t+9-（-t+1），
解得：t=1；
当点C为线段AB的中点时，
-4t+9-（-2t-3）=-t+1-（-4t+9），
解得：t=4；
当点A为线段CB的中点时，
-2t-3-（-4t+9）=-t+1-（-2t-3）
解得：t= 16.
故答案为：1或4或16．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
三、解答题
21．如图，已知四点A，B，C，D，请用直尺按要求完成作图．
（1）作射线AD；
（2）作直线BC；
（3）连接BD，请在BD上确定点P，使AP+CP的值最小，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，理由：两点之间线段最短
【分析】（1）根据射线的定义画出图形即可；
（2）根据直线的定义画出图形即可；
（3）根据两点之间线段最短，连接，交于点．
【详解】

（1）作射线如图所示；
（2）作直线BC如图所示；
（3）连接，交于点，这时最小，
理由：两点之间线段最短．
【点睛】本题考查直线、射线、线段的定义作图，掌握两点之间线段最短是解题的关键．
22．如图所示一只蚂蚁在A处，想到C处的最短路线，请画出简图，并说明理由．

【答案】见解析
【分析】先将立体图形展开为平面图形，然后结合平面中两点之间，线段最短构图即可．
【详解】解：将圆柱体展开为平面图形如图所示：

∴蚂蚁在A处，想到C处的最短路线如图所示，

理由是：两点之间，线段最短．
【点睛】本题考查立体图形上的最短路径问题，具有良好的空间想象能力，熟悉平面内两点间，线段最短是解题关键．
23．如图，在“和谐”公园的绿茵广场上有A，B，C三棵树．测得B树和C树相距100m，，，请用代表20m，画出类似的图形，量出，的长（精确到），再换算出A树距B，C两树的实际距离．

【答案】图见解析，A树距B，C两树的实际距离分别是200m,173.2m.
【分析】根据题意画出图形并测量，再进行换算即可．
【详解】解：如图，经测量可得：
AB≈100.0mm=10cm，AC≈86.6mm=8.66cm，
换算可知：A树距B树的实际距离为，
A树距C树的实际距离为．

【点睛】本题考查了两点之间的距离，解题的关键是正确画出图形，进行测量和换算．
24．如图，已知∠AOC=∠BOC，OD平分∠AOB，且∠AOC=40°．求∠COD．

【答案】∠COD=20°
【分析】先求出∠BOC的度数，再求出∠AOB的度数，再根据角平分线的定义进行计算即可．
【详解】解：∵∠AOC=∠BOC，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝80°，
∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝120°；
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠AOB＝60°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的计算，灵活运用角平分线的定义、准确识图是解题的关键．
25．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，FO⊥AB于点O．若∠AOE＝50°，求∠BOC和∠COF．

【答案】∠BOC＝40°，∠COF＝130°．
【分析】根据EO⊥CD，∠AOE＝50°，可得∠AOD＝40°，根据对顶角的性质可求∠BOC，再根据垂直可求∠COF．
【详解】∵EO⊥CD于点O，
∴∠DOE＝90°，
∴∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BOC＝∠AOD＝40°，
∵FO⊥AB于点O，
∴∠BOF＝90°，
∴∠COF＝∠BOF+∠BOC＝90°+40°＝130°．
【点睛】本题考查了垂线，对顶角相等，掌握垂线的定义和对顶角相等的性质是解题的关键．
26．如图，点O在线段上，点E，F分别是的中点．

（1）若，求线段的长度；
（2）若，求线段的长度，
【答案】（1）18cm；（2）2acm
【分析】（1）根据中点的定义，求出AO和BO，相加即可；
（2）利用AB=AO+BO=2EO+2FO=2EF，进行转化计算即可．
【详解】解：（1）∵点E、F分别是AO，BO的中点，
∴AO=2AE=10cm，BO=2BF=8cm，
∴AB=AO+BO=18cm；
（2）∵EF=EO+FO=acm，
∴AB=AO+BO=2EO+2FO=2EF=2acm．
【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是对线段中点的性质的理解与运用，与此同时运用数形结合的思想方法进行求解．
27．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）写出数轴上点B表示的数 ，点P表示的数 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+6|+|x﹣8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．

【答案】（1）-6，8-5t；（2）7秒；（3）有，14
【分析】（1）根据数轴表示数的方法点B在点A左边用减法计算，用点A表示的数减去AB间的距离得到B表示的数为8-14，根据点P运动的速度求出AP=5t,点P在点A的左边，用减法求点P表示的数为8-5t；
（2）点P运动t秒时追上点Q，根据点P的路程-点Q的路程=AB，列出方程求解即可；
（3）分类讨论：①当点D运动到点B的左侧时，②当点D在点A、B两点之间运动时，③当点D在点A的右侧时，化简绝对值，然后解不等式即可．
【详解】（1）∵点A表示的数为8，根据图形点B在A点左边，AB＝14，
∴点B表示的数是8﹣14＝﹣6，
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
∴点P表示的数是8﹣5t．
（2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，

则AC＝5x，BC＝3x，
∵AC﹣BC＝AB，
∴5x﹣3x＝14，
解得：x＝7，
∴点P运动7秒时追上点Q．
（3）若点D是数轴上一点可分为三种情况：
①当点D在点B的左侧或与点B重合时x≤﹣6，
则有BD＝|x+6|＝﹣（x+6）＝﹣x﹣6，AD＝|x﹣8＝﹣（x﹣8）＝8﹣x，
∴|x+6|+|x﹣8|=-x-6+8-x=2-2x，
∴当x＝﹣6时|x+6|+|x﹣8|存在最小值14，
②当点D在AB之间时﹣6＜x＜8，BD＝|x+6|＝x+6，AD＝|x﹣8|＝﹣（x﹣8）＝8﹣x，
∵|x+6|+|x﹣8|＝x+6+8﹣x＝14，
∴式子|x+6|+|x﹣8|＝14．
③当点D在点A的右侧时x≥8，则BD＝|x+6|＝x+6，AD＝|x﹣8＝x﹣8，
∵|x+6|+|x﹣8|＝x+6+x﹣8＝2x﹣2
∴当x＝8时，|x+6|+|x﹣8|＝14为最小值，
综上所述当﹣6≤x≤8时，|x+6|+|x﹣8|存在最小值14．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、线段的和差，绝对值化简等知识点，以及分类讨论的数学思想．
28．如图所示，将两块三角尺的直角顶点重合．

（1）写出以C为顶点的相等的角；
（2）若，求的度数；
（3）写出与之间所具有的数量关系；
（4）当三角尺不动，将三角尺的EC边与AC边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当（）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出角度的所有可能值，不用说明理由．
【答案】（1）；（2）30°；（3）互补；（4）的所有可能值为，，，．
【分析】（1）根据余角的定义即可得到结论；
（2）根据角的和差即可得到结论；
（3）根据补角的定义即可得到结论．
（4）分四种情况分类讨论，①当CE⊥AD时，②当EB⊥CD时，③当BE⊥AD时，④当CB⊥AD时，再画出符合题意的图形，从而可得答案.
【详解】解：（1），，根据同角的余角相等得：∠，
由直角可得，；
（2），；
（3），则与互补；
（4）当CE⊥AD时，∠ACE=180°-90°-∠A=180°-90°-60°=30°；

当EB⊥CD时，∠E=∠ECD=45°，
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=45°，

当BE⊥AD时，∠CFB=∠DFE=180°-90°-30°=60°，
∴∠BCD=180°-∠B-∠CFB=75°，
∴∠ACE=∠BCD=75°；

当CB⊥AD时，∠ACB=180°-90°-∠A=30°，
∴∠ACE=90°-∠ACB=60°；

即∠ACE角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°．
【点睛】本题考查了余角和补角，关键是熟练掌握余角的性质，角的和差关系．