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人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优质课ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数优质课ppt课件，共56页。PPT课件主要包含了指数函数的概念，随堂演练，课时对点练等内容，欢迎下载使用。
高考政策|高中“新”课程，新在哪里?
1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
4.2.1 指数函数的概念
第四章 §4.2 指数函数
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
话说一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个月只要1元，第二个月要2元，第三个月要4元，这样以后每个月的薪资都是前一个的2倍，老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个3年的合同吧”，大家猜一下，第12个月，他能获得多少工资？(211＝2 048)第24个月，他能获得多少工资？(223＝8 388 608)估计这个老板肠子都悔青了，这就是我们今天要学习的指数函数.大家可以用这种方式向家长要个零花钱噢，但是周期千万不要太长，有个10天就可以了.
二、求指数函数的解析式或求值
三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
问题1 阅读课本111页～113页，你有什么样的收获？
提示 由课本问题1中可知，B地景区的游客人次的年增长率是一个常数，问题2中的衰减率也是一个常数.函数y＝1.11x(x∈[0，＋∞))与函数y＝ (x∈[0，＋∞))的函数解析式都是指数形式，底数为定值，自变量在指数位置.
指数函数的概念：一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.注意点：(1)函数的特征底数a>0，且a≠1；(2)指数幂的系数为1.
例1 (1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是A.0 B.1 C.2 D.4
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2<0，不是指数函数.
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
解析 依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，
反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求.(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求.
跟踪训练1 (1)下列是指数函数的是A.y＝－3x B.C.y＝ax D.y＝πx
解析 根据指数函数的特征知，A，B，C不是指数函数.
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为_____.
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
反思感悟 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
跟踪训练2 指数函数y＝f(x)的图象经过点 ，那么f(4)f(2)等于A.8 B.16 C.32 D.64
解析 由指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，
函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24×22＝64.
问题2 将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
1.y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数增长型函数模型.2.y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数衰减型函数模型.
例3 (1)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为A.640 B.1 280 C.2 560 D.5 120
延伸探究 将本例的条件变为“细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的3倍”，其他的条件不变，试求经过7小时培养，细菌能达到的个数.
解 设原来的细菌数为a，由题意可得，
当a＝10时，ek＝3，所以y＝10ekt＝10·3t，若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×37＝21 870.
(2)有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水.现把桶A的水注入桶B，t分钟后，桶A的水剩余y1＝amt(升)，其中m为正常数.假设5分钟后，桶A和桶B的水相等，要使桶A的水只有 升，必须再经过A.12分钟B.15分钟C.20分钟D.25分钟
反思感悟 关于函数y＝kax在实际问题中的应用(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律；若0
解析 设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*).根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
1.知识清单：(1)指数函数的定义.(2)指数增长型和指数衰减型函数模型.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.
1.下列各函数中，是指数函数的是
解析 A中函数的底数不满足大于零，故不是指数函数；B中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；C中的指数是x－1，不是指数函数.
解得m＝2(m＝－1舍去).
3.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2016年的耕地面积为m，则2021年的耕地面积为A.(1－0.1250)m D.
解析 设每年减少的百分率为a，由题意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，
∴1－a＝ ，
由2016年的耕地面积为m，得2021年的耕地面积为(1－a)5m＝ .
解析 由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
4.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝______.
1.下列函数是指数函数的是A.y＝ B.y＝(－8)xC.y＝2x－1 D.y＝x2
对于B，函数y＝(－8)x中，a＝－8<0，不是指数函数；
对于D，函数y＝x2，是幂函数，不是指数函数.
2.若指数函数f(x)的图象过点(4,81)，则f(x)的解析式为A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3xC.f(x)＝ D.f(x)＝
解析 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由题意得a4＝81，解得a＝3，∴f(x)＝3x.
3.函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于
解析 ∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，∴2a－3＝1，解得a＝2.∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2.
4.一种产品的成品是a元，今后m年后，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0
解析 f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y).
6.(多选)若函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，则实数m的值为A.2 B.3 C.－1 D.1
解析 ∵函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或－1.
7.若函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是______________.
(1,2)∪(2，＋∞)
解析 ∵函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，
∴实数a的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞).
8.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝_____.
解析 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
9.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？
解 因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).
10.已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数.(1)求f(x)的表达式；
解 由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x.
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明.
解 F(x)＝2x－2－x，定义域为R，∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，∴F(x)是奇函数.
11.函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是A.4 B.1或3 C.3 D.1
12.函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)等于A.－2x B.2－x C.－2－x D.2x
解析 当x<0时，f(x)＝2x，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝2－x.又f(x)是R上的奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
13.某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为A.赚723元 B.赚145元C.亏145元 D.亏723元
解析 由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.992 77＝9.927 7(万元)，∵100 000－99 277＝723(元)，∴股民亏723元.
14.函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是______.
解析 ∵函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，∴0
解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，
故该年5月份甲食堂的营业额较高.
16.截止到2018年年底，我国某市人口约为130万.若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，则经过x年后，此市人口数为y(万).(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；
解 2018年年底的人口数为130万；经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年，2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年，2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万).……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万).即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).
(2)若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？
解 2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万).
高考政策|高中“新”课程，新在哪里?
1、科目变化：外语语种增加，体育与健康必修。第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。4、授课方式变化，选课制度将全面推开。5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
4.2.1 指数函数的概念
第四章 §4.2 指数函数
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
话说一个毕业生去求职，当和老板讨论薪资的时候，他说：“老板，不如这样吧，我第一个月只要1元，第二个月要2元，第三个月要4元，这样以后每个月的薪资都是前一个的2倍，老板你看怎么样？”老板一听，这不多呀，当即拍板说：“好，就按你说的办，我们先签个3年的合同吧”，大家猜一下，第12个月，他能获得多少工资？(211＝2 048)第24个月，他能获得多少工资？(223＝8 388 608)估计这个老板肠子都悔青了，这就是我们今天要学习的指数函数.大家可以用这种方式向家长要个零花钱噢，但是周期千万不要太长，有个10天就可以了.
二、求指数函数的解析式或求值
三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
问题1 阅读课本111页～113页，你有什么样的收获？
提示 由课本问题1中可知，B地景区的游客人次的年增长率是一个常数，问题2中的衰减率也是一个常数.函数y＝1.11x(x∈[0，＋∞))与函数y＝ (x∈[0，＋∞))的函数解析式都是指数形式，底数为定值，自变量在指数位置.
指数函数的概念：一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.注意点：(1)函数的特征底数a>0，且a≠1；(2)指数幂的系数为1.
例1 (1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是A.0 B.1 C.2 D.4
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2<0，不是指数函数.
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
解析 依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，
反思感悟 判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求.(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求.
跟踪训练1 (1)下列是指数函数的是A.y＝－3x B.C.y＝ax D.y＝πx
解析 根据指数函数的特征知，A，B，C不是指数函数.
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为_____.
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
反思感悟 (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.(2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式.
跟踪训练2 指数函数y＝f(x)的图象经过点 ，那么f(4)f(2)等于A.8 B.16 C.32 D.64
解析 由指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，
函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24×22＝64.
问题2 将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y之间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？
1.y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数增长型函数模型.2.y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数衰减型函数模型.
例3 (1)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为A.640 B.1 280 C.2 560 D.5 120
延伸探究 将本例的条件变为“细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的3倍”，其他的条件不变，试求经过7小时培养，细菌能达到的个数.
解 设原来的细菌数为a，由题意可得，
当a＝10时，ek＝3，所以y＝10ekt＝10·3t，若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×37＝21 870.
(2)有容积相等的桶A和桶B，开始时桶A中有a升水，桶B中无水.现把桶A的水注入桶B，t分钟后，桶A的水剩余y1＝amt(升)，其中m为正常数.假设5分钟后，桶A和桶B的水相等，要使桶A的水只有 升，必须再经过A.12分钟B.15分钟C.20分钟D.25分钟
反思感悟 关于函数y＝kax在实际问题中的应用(1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，一般当k>0时，若a>1，则刻画指数增长变化规律；若0
解析 设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*).根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19.
1.知识清单：(1)指数函数的定义.(2)指数增长型和指数衰减型函数模型.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.
1.下列各函数中，是指数函数的是
解析 A中函数的底数不满足大于零，故不是指数函数；B中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；C中的指数是x－1，不是指数函数.
解得m＝2(m＝－1舍去).
3.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2016年的耕地面积为m，则2021年的耕地面积为A.(1－0.1250)m D.
解析 设每年减少的百分率为a，由题意得，(1－a)50＝1－10%＝0.9，
∴1－a＝ ，
由2016年的耕地面积为m，得2021年的耕地面积为(1－a)5m＝ .
解析 由题意，设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
4.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝______.
1.下列函数是指数函数的是A.y＝ B.y＝(－8)xC.y＝2x－1 D.y＝x2
对于B，函数y＝(－8)x中，a＝－8<0，不是指数函数；
对于D，函数y＝x2，是幂函数，不是指数函数.
2.若指数函数f(x)的图象过点(4,81)，则f(x)的解析式为A.f(x)＝x3 B.f(x)＝3xC.f(x)＝ D.f(x)＝
解析 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由题意得a4＝81，解得a＝3，∴f(x)＝3x.
3.函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于
解析 ∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，∴2a－3＝1，解得a＝2.∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2.
4.一种产品的成品是a元，今后m年后，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0
解析 f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y).
6.(多选)若函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，则实数m的值为A.2 B.3 C.－1 D.1
解析 ∵函数f(x)＝(m2－m－1)ax是指数函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或－1.
7.若函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是______________.
(1,2)∪(2，＋∞)
解析 ∵函数f(x)＝(a－1)x是指数函数，
∴实数a的取值范围是(1,2)∪(2，＋∞).
8.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝_____.
解析 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
9.牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？
解 因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数).
10.已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数.(1)求f(x)的表达式；
解 由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x.
(2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明.
解 F(x)＝2x－2－x，定义域为R，∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，∴F(x)是奇函数.
11.函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是A.4 B.1或3 C.3 D.1
12.函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)等于A.－2x B.2－x C.－2－x D.2x
解析 当x<0时，f(x)＝2x，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝2－x.又f(x)是R上的奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
13.某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为A.赚723元 B.赚145元C.亏145元 D.亏723元
解析 由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.992 77＝9.927 7(万元)，∵100 000－99 277＝723(元)，∴股民亏723元.
14.函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是______.
解析 ∵函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，∴0
解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，
故该年5月份甲食堂的营业额较高.
16.截止到2018年年底，我国某市人口约为130万.若今后能将人口年平均递增率控制在3‰，则经过x年后，此市人口数为y(万).(1)求y与x的函数关系y＝f(x)，并写出定义域；
解 2018年年底的人口数为130万；经过1年，2019年年底的人口数为130＋130×3‰＝130(1＋3‰)(万)；经过2年，2020年年底的人口数为130(1＋3‰)＋130(1＋3‰)×3‰＝130(1＋3‰)2(万)；经过3年，2021年年底的人口数为130(1＋3‰)2＋130(1＋3‰)2×3‰＝130(1＋3‰)3(万).……所以经过的年数与(1＋3‰)的指数相同，所以经过x年后的人口数为130(1＋3‰)x(万).即y＝f(x)＝130(1＋3‰)x(x∈N*).
(2)若按此增长率，2029年年底的人口数是多少？
解 2029年年底的人口数为130(1＋3‰)11≈134(万).
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