初一数学人教版春季班 第12讲 不等式组的应用--尖子班 试卷

第12讲  不等式组的应用
 

知识点1 实际应用类问题

对具有多种不等关系的问题，应考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组的解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．

【典例】

例1 （2020春•江岸区校级月考）某公司计划购买，两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台型打印机和4台型打印机需6180元；购买4台型打印机和6台型打印机需8840元．

（1）求购买，两种型号打印机每台的价格分别是多少元？

（2）根据公司实际情况，要求购买型打印机的数量不低于型打印机数量的，不超过型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，求该公司按计划购买，两种型号打印机共有几种购买方案，哪种方案费用最低？并求出最低费用．

【解答】解：（1）设购买种型号打印机每台的价格是元，购买种型号打印机每台的价格是元，依题意有

，

解得．

故购买种型号打印机每台的价格是860元，购买种型号打印机每台的价格是900元；

（2）设购买种型号打印机台，则购买种型号打印机台，依题意有

，

解得：．

故共有两种购买方案：

购买种型号打印机5台，购买种型号打印机15台，费用为（元；

购买种型号打印机6台，购买种型号打印机14台，费用为（元；

，

购买种型号打印机6台，购买种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元．

【方法总结】

本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式组求解．

例2 （2020秋•雨花区月考）入汛以来，我国南方地区发生多轮降雨，造成的多地发生较重洪涝灾害．某爱心机构将为一受灾严重地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．

（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？

（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；

（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费2000元，乙种货车每辆需付运输费1800元，应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？

【解答】解：（1）设食品件，则帐篷件，由题意得：

，

解得：．

帐篷有件．

答：食品120件，则帐篷200件；

（2）设租用甲种货车辆，则乙种货车辆，由题意得：

，

解得：．

又为整数，

或3或4．

乙种货车为：6或5或4．

方案共有3种：

方案一：甲车2辆，乙车6辆；

方案二：甲车3辆，乙车5辆；

方案三：甲车4辆，乙车4辆；

（3）3种方案的运费分别为：

方案一：（元；

方案二：（元；

方案三：（元．

方案一运费最少，最少运费是14800元．

【方法总结】

考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用．关键是弄清题意，找出等量或者不等关系：帐篷件数食品件数，甲种货车辆数乙种货车辆数，得到乙种货车辆数甲种货车辆数，代入下面两个不等关系：甲种货车装运帐篷件数乙种货车装运帐篷件数，甲种货车装运食品件数乙种货车装运食品件数．

【随堂练习】

1．（2020秋•中原区校级期中）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克18元．

（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求，的值．

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜千克为整数），求有哪几种购买方案．

（3）在（2）的条件下，求超市在获得的利润的最大值．

【解答】解：（1）依题意，得：

，

解得：．

答：的值为10，的值为14．

（2）设购买甲种蔬菜千克，则购买乙种蔬菜千克，

依题意，得：，

解得：．

为正整数，

，59，60，

有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．

（3）设超市获得的利润为元，则．

，

随的增大而增大，

当时，取得最大值，最大值为．

2．（2020秋•开福区校级期中）为更好地推进长沙市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，2019年12月17日，长沙市政府召开了长沙市生活垃圾分类推进会，意味着长沙垃圾分类战役的全面打响．某小区准备购买、两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需540元，购买2个型垃圾箱比购买3个型垃圾箱少用160元．

（1）每个型垃圾箱和型垃圾箱分别是多少元？

（2）若该小区物业计划用低于2150元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且至少购买6个型垃圾箱，请问有几种购买方案？

【解答】解：（1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，

依题意，得：，

解得：．

答：每个型垃圾箱100元，每个型垃圾箱120元．

（2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，

依题意，得：，

解得：．

又为整数，

可以为6，7，

有2种购买方案．

知识点2 表格图形类问题

在不等式组的应用问题中，表格图形类问题也是常考的重点，与实际应用问题类似，这类问题只是把一些条件用表格或者图形的形式展示出来，在做题过程中，我们需要先转换条件，再计算.

【典例】

例1（2020春•昭通期末）某工厂计划生产，两种产品共10件，其生产成本和利润如表：

（1）若工厂计划获利13万元，问，两种产品应分别生产多少件？

（2）若工厂投入资金不超过45万元，且获利不少于15万元，问该工厂有哪几种生产方案？

（3）在（2）条件下，求出最大利润．

【解答】解：（1）设种产品应生产件，种产品应生产件，

由题意，得．

解得．

答：产品生产7件，产品生产3件．

（2）设生产种产品件，则种产品为件，

依题意得．

解得．

为正整数，

，4，5．

该工厂有以下三种生产方案：

方案一：产品生产3件，产品生产7件；

方案二：产品生产4件，产品生产6件；

方案三：产品生产5件，产品生产5件．

（3）方案一的利润：（万元）；

方案二的利润：（万元）；

方案三的利润：（万元），

最大利润是17万元．

【方法总结】

本题考查一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是学会构建方程或不等式解决问题，属于中考常考题型．

例2 （2020春•阜平县期末）某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂，两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节型货厢，按此要求安排，两种货厢的节数，有哪几种运输方案？（先填写表格，再设计方案）．

设用型货厢节，则用型货厢节．

【解答】解：甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节型货厢，

节型货厢共装吨乙种货物，节型货厢共装吨甲种货物、吨乙种货物．

依题意，得：，

解得：．

为正整数，

可以取28，29，30，

相应的的值为22，21，20，

共有3种运输方案，方案1：用型货厢28节，型货厢22节；方案2：用型货厢29节，型货厢21节；方案3：用型货厢30节，型货厢20节．

故答案为：；；．

【方法总结】

本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•昆明期末）某县为了推进“厕所革命”，改善农村生活卫生条件，雨甸村委会计划为400户居民修建、两种型号的三级污水处理厕所共25个，预计使用资金60万元（资金由政府出资一部分，其余由各户筹集）．

三级污水处理厕所的型号、修建费用、可供使用的户数如下表：

（1）按计划可以修建、两种型号的三级污水处理厕所各几个？

（2）如果政府批给该村委会修建型三级污水处理厕所不超过7个，求出满足要求的所有修建方案．

（3）在（2）的所有方案中，哪种方案最省钱？如果政府出资39万元，每户居民平均至少应筹集多少钱？

【解答】解：（1）设按计划可以修建型厕所个，型厕所个，

依题意得：．

解得．

答：按计划可以修建型厕所10个，型厕所15个；

（2）设可修建型厕所个，则可修建型厕所个，

依题意得：．

解不等式组得：．

因为是自然数，所以，6，，19，18．

共有三种修建方案．

方案一：修建型厕所5个，则可修建型厕所20个；

方案二：修建型厕所6个，则可修建型厕所19个；

方案三：修建型厕所7个，则可修建型厕所18个；

（3）在（2）的三种方案中，方案一最省钱．

（万元）（元

答：每户居民平均至少应筹集400元．

2．（2020春•潜山市期末）为举办蔬菜博览会，某地有关部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配、两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉情况如下表所示：

结合上述信息，解答下列问题

（1）设需要搭配个种造型，则需要搭配　　个种造型；

（2）符合题意的搭配方案有哪几种？

（3）若搭配一个种造型的成本为1000元，搭配一个种造型的成本为1200元，试说明选用（1）中哪种方案成本最低？

【解答】解：（1）设需要搭配个种造型，则需要搭配个种造型；

故答案为：；

（2）依题意有，

解得，

所以或31或32．

第一方案：种造型32个，种造型18个；

第二种方案：种造型31个，种造型19个；

第三种方案：种造型30个，种造型20个．

（3）总成本为：，

显然当取最大值32时成本最低，为．

答：第一种方案成本最低，最低成本是53600．

知识点3 新定义类问题

【典例】

例1 （2020秋•袁州区校级月考）按图中程序进行计算

（1）若运算进行一次就停止，求出的取值范围；

（2）若运算进行二次才停止，求出的取值范围．

【解答】解：（1）依题意，得：，

解得：．

答：的取值范围为．

（2）依题意，得：，

解得：．

答：的取值范围为．

【方法总结】

本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

例2 （2020春•朝阳区期末）在近几年的两会中，有多位委员不断提出应在中小学开展编程教育，2019年3月教育部公布的《2019年教育信息化和网络安全工作要点》中也提出将推广编程教育．某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示．

按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．

（1）若，直接写出该程序需要运行多少次才停止；

（2）若该程序只运行了2次就停止了，求的取值范围．

【解答】解：（1），，，，

，，

若，该程序需要运行4次才停止．

（2）依题意，得：，

解得：．

答：若该程序只运行了2次就停止了，的取值范围为．

【方法总结】

本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•广丰区校级期末）设为实数，我们用表示不小于的最小整数，如：，．在此规定下，任一实数都能写成的形式．

（1）若，则　0.2　；

（2）直接写出、与这三者的大小关系：　　；

（3）满足的的取值范围是　　；满足的的取值是　　．

【解答】解：（1），

，

解得；

（2），

理由：，其中，

，

，

；

（3）依题意有，

解得：；

依据题意有且为整数，

解得：，

，

整数为，，

解得：或．

故答案为：0.2；；，或．

综合运用

1．（2020春•丛台区校级期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销，某药店售出一批口罩．已知3包儿童口罩和2包成人口罩共26个，5包儿童口罩和3包成人口罩共40个．

（1）求儿童口罩和成人口罩的每包各是多少个？

（2）某家庭欲购进这两种型号的口罩共5包，为使其中口罩总数量不低于26个，且不超过34个，

①有哪几种购买方案？

②若每包儿童口罩8元，每包成人口罩25元，哪种方案总费用最少？

【解答】解：（1）设儿童口罩每包个，成人口罩每包个，根据题意得，

，

解得，，

儿童口罩每包2个，成人口罩每包10个；

（2）①设购买儿童口罩包，则购买成人口罩包，根据题意得，

，

解得，，

为整数，

或，

共有两种购买方案：方案一：购买儿童口罩2包，则购买成人口罩3包；方案二：购买儿童口罩3包，则购买成人口罩2包．

②方案一的总费用为：元；

方案二的总费用为：元．

，

方案二的总费用最少．

2．（2020春•古丈县期末）2020年4月23日是第25个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，我县某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”“阅读梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《曾国藩家书》12套和“凡尔纳三部曲”6套，总费用为810元；八年级订购《曾国藩家书》9套和“凡尔纳三部曲”7套，总费用为795元．

（1）求《曾国藩家书》和“凡尔纳三部曲”每套各是多少元？

（2）学校准备再购买《曾国藩家书》和“凡尔纳三部曲”共26套，总费用不超过1230元，购买《曾国藩家书》的数量不超过“凡尔纳三部曲”的3倍，问学校有几种购买方案，请你设计出来．

【解答】解：（1）设《曾国藩家书》每套元，“凡尔纳三部曲”每套元，根据题意，得：

，

解得，

答：《曾国藩家书》每套30元，“凡尔纳三部曲”每套75元；

（2）设学校决定购买《曾国藩家书》套，则购买“凡尔纳三部曲” 套．

由题意，得，

解得，，

取整数，即，17，18，19，

该学校共有四种购买方案：

方案1：购买《曾国藩家书》16套，“凡尔纳三部曲”为10套；

方案2：购买《曾国藩家书》17套，“凡尔纳三部曲”为9套；

方案3：购买《曾国藩家书》18套，“凡尔纳三部曲”为8套；

方案4：购买《曾国藩家书》19套，“凡尔纳三部曲”为7套．

3．（2020•三明二模）某服装店计划购进一批甲、乙两种款式的运动服进行销售，进价和售价如下表所示：

若购进两种款式的运动服共300套，且投入资金不超过26800元．

（Ⅰ）该服装店应购进甲款运动服至少多少套？

（Ⅱ）若服装店购进甲款运动服的进价每套降低元，并保持这两款运动服的售价不变，且最多购进240套甲款运动服．如果这批运动服售出后，服装店刚好获利18480元，求的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）设该服装店应购进甲款运动服套，由题意得，

，

解得，

至少要购进甲款运动服160套；

（Ⅱ）设购进甲款运动服套，由题意，得

，

．

，

，

．

．

．

4．（2020•于都县模拟）按图中程序进行计算：

规定：程序运行到“结果是否大于10”为一次运算．

（1）若运算进行一次就停止，求出的取值范围；

（2）若运算进行二次才停止，求出的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意可得：，

，

（2）根据题意可得：

解得：

5．（2020春•海淀区校级期中）先阅读材料在回答问题．

材料：对于三个数，，，，，表示这三个数的平均数，计算方法为，，，，，表示，，这三个数中最小的数，，，表示，，这三个数中最大的数，例如：

，3，，，3，，，3，．

，3，，，3，，，3，．

，3，，，3，，，3，解决下列问题：

（1）填空：，，　　；

若，则，，　　；

若，，，则的取值范围是　　；

（2）①若，，，，，那么　　；

②根据①，你发现结论“若，，，，，那么　　”（请，，的大小关系）；

③运用②的结论填空：

若，，，，，则　　．

【解答】解：（1），，0中最小的数是，

，，；

若，则，

，，；

，，，

，

．

（2）①当，，，，，

则，

解得：；

②．

证明：，，，

不妨假设，，，那么，

且，

，，，，，

，

，

，，即（其它两种情况同理）；

③依题意有，

解得，，

则．

故答案为：；；；1；；4．