2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：10.3 几何概型

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：10.3 几何概型，共7页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记2个知识点
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的①________(②________或③________)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为④________.
2．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)＝⑤
________________________________________________________________________.
二、必明2个易误点
1．计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题．
2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( )
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )
(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．( )
二、教材改编
2．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
3．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A.eq \f(8,27) B.eq \f(1,27) C.eq \f(26,27) D.eq \f(15,27)
三、易错易混
4．[2021·福建莆田质检]从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是( )
A.eq \f(π,8) B.eq \f(π,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
5．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．

四、走进高考
6．[2017·全国卷Ⅰ]如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(π,8) C.eq \f(1,2) D.eq \f(π,4)
eq \x(考点一) 与长度、角度有关的几何概型
[自主练透型]
1．[2016·全国卷Ⅱ]某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.eq \f(7,10) B.eq \f(5,8) C.eq \f(3,8) D.eq \f(3,10)
2．[2021·广东佛山调研]将一根长为6 m的绳子剪成两段，则其中一段大于另一段的2倍的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(2,5) D.eq \f(3,5)
3．[2017·江苏卷]记函数f(x)＝eq \r(6＋x－x2)的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
悟·技法
解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.
考点二 与体积有关的几何概型[自主练透型]
4.
[2021·湖南衡阳八中模拟]如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )
A．1－eq \f(π,4) B.eq \f(π,12) C.eq \f(π,4) D．1－eq \f(π,12)
5．[2021·山东青岛调研]有一底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点A，则点A到点O的距离大于1的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,4)
悟·技法
与体积有关的几何概型
对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.
考点三 与面积有关的几何概型[互动讲练型]
[例1]
(1)[2021·南昌市高三年级摸底测试卷]如图是某光纤电缆的截面图，其中七个大小相同的小圆外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，该点恰好在小圆内的概率为( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(7,8) C.eq \f(2π,7) D.eq \f(2π,27)
(2)[2018·全国卷Ⅰ]右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
悟·技法
1.几何概型与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路
利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．
2．几何概型与线性规划交汇问题的解题思路
先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
1．[2021·湖北省四校联考]如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
2．[2021·长沙市高三年级统一模拟考试]
在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆为该正方形的内切圆，图中的圆弧为以正方形的顶点为圆心，正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(π,2) C.eq \f(π,2)－1 D．2－eq \f(π,2)
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[2021·广州市五校联考]ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A.eq \f(π,4) B．1－eq \f(π,4) C.eq \f(π,8) D．1－eq \f(π,8)
4.
[2021·山东省潍坊市模拟]如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
[拓展练]——(着眼于迁移应用)
5．[2021·湖北黄冈、黄石等八市联考]若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(7,9)
第三节 几何概型
【知识重温】
①长度 ②面积 ③体积 ④几何概型
⑤eq \f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积)
【小题热身】
1．答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．解析：试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P＝eq \f(2,5).
答案：C
3．解析：根据题意，安全飞行的区域为棱长为1的正方体，
∴P＝eq \f(构成事件A的区域体积,试验的全部结果所构成的区域体积)＝eq \f(1,27).故选B.
答案：B
4．解析：任取的两个数记为x，y，所在区域是正方形OABC内部，而符合题意的x，y位于阴影区域内(不包括x，y轴)，故所求概率P＝eq \f(\f(1,4)π×12,1×1)＝eq \f(π,4).
答案：B
5．解析：[－1,2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以概率是eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
6．解析：不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝eq \f(1,2)S圆＝eq \f(π,2)，所以由几何概型知所求概率P＝eq \f(S黑,S正方形)＝eq \f(\f(π,2),4)＝eq \f(π,8).故选B.
答案：B
课堂考点突破
考点一
1．解析：因为红灯持续时间为40秒，
所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq \f(40－15,40)＝eq \f(5,8)，故选B.
答案：B
2．解析：绳子的长度为6 m，剪成两段后，设其中一段的长度为x m，则另一段的长度为(6－x) m，记“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”为事件A，则A＝{x|eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(026－x或6－x>2x))}＝{x|0答案：B
3．解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为eq \f(3－－2,5－－4)＝eq \f(5,9).
答案：eq \f(5,9)
考点二
4.
解析：正方形ABCD的面积为22＝4，圆锥的底面圆的面积为π，
所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是eq \f(4－π,4)＝1－eq \f(π,4)，故选A.
答案：A
5．解析：设点A到点O的距离小于或等于1的概率为P1，则P1＝eq \f(V半球,V圆柱)＝eq \f(\f(2π,3)×13,π×12×2)＝eq \f(1,3)，故点A到点O的距离大于1的概率P＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
答案：B
考点三
例1 解析：(1)设每个小圆的半径为1，则大圆的半径为3，所以从大圆内任取一点，该点恰好在小圆内的概率P＝eq \f(7π×12,π×32)＝eq \f(7,9)，故选A.
(2)∵ S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为eq \f(1,2)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2)))2＝eq \f(π,8)AB2，
以AC为直径的半圆的面积为
eq \f(1,2)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2)))2＝eq \f(π,8)AC2，
以BC为直径的半圆的面积为
eq \f(1,2)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BC,2)))2＝eq \f(π,8)BC2，
∴＝eq \f(1,2)AB·AC，＝eq \f(π,8)BC2－eq \f(1,2)AB·AC，
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)AB2＋\f(π,8)AC2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)BC2－\f(1,2)AB·AC))＝eq \f(1,2)AB·AC.
∴＝.由几何概型概率公式得＝，＝.
∴＝.故选A.
答案：(1)A (2)A
同类练
1．解析：设六角星的中心为点O，分别将点O与两个等边三角形的六个交点连接起来，则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝eq \f(1,2)，故选C.
答案：C
2．解析：设正方形的边长为2，则题图中阴影部分的面积S＝4×2×(eq \f(1,4)π×12－eq \f(1,2)×1×1)＝2π－4，故点M恰好取自阴影部分的概率P＝eq \f(2π－4,4)＝eq \f(π,2)－1，故选C.
答案：C
变式练
3.
解析：如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P＝eq \f(S阴影,S长方形ABCD)＝eq \f(2－\f(π,2),2)＝1－eq \f(π,4).
答案：B
4．解析：设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC＝1，则BG＝CG，∠BGC＝120°，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cs 120°，得BG＝eq \f(\r(3),3)，所以S△BCG＝eq \f(1,2)×BG×BG×sin 120°＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),12)，因为S六边形ABCDEF＝S△BOC×6＝eq \f(1,2)×1×1×sin 60°×6＝eq \f(3\r(3),2)，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1－eq \f(6S△BCG,S六边形ABCDEF)＝eq \f(2,3).
答案：C
拓展练
5．解析：设第一天工作的时间为x小时，第二天工作的时间为y小时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6≤x≤9，,6≤y≤9，))因为连续两天平均工作时间不少于7小时，所以eq \f(x＋y,2)≥7，即x＋y≥14，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6≤x≤9，,6≤y≤9))表示的区域面积为9，其中满足x＋y≥14的区域面积为9－eq \f(1,2)×2×2＝7，∴张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是eq \f(7,9)，故选D.
答案：D