初中数学人教版八年级下册第十九章 一次函数19.1 变量与函数19.1.1 变量与函数精品课件ppt

教学目标

1.进一步体会运动变化过程中的数量变化；从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念.

2.能确定简单实际问题中函数的自变量的取值范围.

3.会初步分析简单实际问题中的函数关系，讨论变量的变化情况.

4.经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展抽象思维能力.

教学重难点

重点：1.理解函数的概念.

2.根据题目中的情境，列出函数解析式.

难点：1.正确理解函数概念中的“唯一对应”关系.

2.确定简单实际问题中函数的自变量的取值范围.

教学过程

导入新课

教师：我们来回顾一下，上节课所研究的每个问题中是否各有两个变量？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？

这将是我们这节课研究的内容.

探究新知

教师：首先回顾一下上节课中的问题（多媒体出示上节课中的问题）.思考每个问题中是否有两个变量，同一个问题中的变量之间存在什么联系.

师生活动：学生先独立思考后小组交流讨论，请学生代表回答.

（1）在情景问题中，观察填出的表格，可以发现：t和s是两个变量，每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应.例如t＝1，则s＝60；t＝2，则s＝120；…；t＝5，则s＝300.

（2）在活动1中，经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值.例如第一场x＝150，则y＝1 500；第二场，x＝205，则y＝2 050；第三场x＝310，则y＝3 100.

（3）在例1中，可以发现：r和S是两个变量，每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与其对应.它们的关系式为S＝πr2.据此可以算出r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，S分别为100π cm2，400π cm2，900π cm2.

（4）在例2中，可以发现：x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应.它们的关系式为y＝5-x.据此可以算出x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，y分别为2 m，1.5 m，1 m，0.5 m.

由以上回顾我们可以归纳出这样的结论：

上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.

其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系.我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答：

（1）图1是某人体检时的心电图.其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？

图1

（2）下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量x与y.对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？

中国人口数统计表

师生活动：学生分组讨论后派学生代表回答.

通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y.

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independent　variable），y是x的函数（function）.如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.

可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，路程s是t的函数.t＝1时的函数值s＝60，t＝2时的函数值s＝120，t＝2.5时的函数值s＝150，….同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏部位的生物电流y是x的函数；在人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数.当x＝2010时，函数值y＝13.71.

新知应用

例1　一辆汽车油箱中现有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.

（1）写出表示y与x的函数关系的式子.

（2）指出自变量x的取值范围.

（3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？

师生活动：学生独立解决，请学生代表板演，做完后一起点评指正.

解：（1）行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数.行驶路程x时耗油量为0.1x ，油箱中剩余油量为50-0.1x，所以函数关系式为y＝50-0.1x.

（2）仅从式子y＝50-0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶路程，所以不能取负数.行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，所以0.1x≤50，即x≤500.

因此自变量x的取值范围是0≤x≤500.

（3）汽车行驶200 km时，油箱中的汽油量是函数y＝50-0.1x在x＝200时的函数值，将x＝200代入y＝50-0.1x，得y＝50-0.1×200＝30.

汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L汽油.

教师总结：像y＝50-0.1x，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式.

例2　东东同学在劳动技术课上，用一根长30 cm的铁丝围成一个等腰三角形.他发现等腰三角形的腰长和底边长都可以变化.（1）请写出底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数解析式，（2）写出自变量x的取值范围.

师生活动：小组合作探究，完成后请学生代表回答，教师点拨归纳.

解：（1）y＝30-2x.

（2）根据题意，得解得7.5<x<15.

所以自变量x的取值范围是7.5<x<15.

例3　求下列函数中的自变量x的取值范围.

（1）y＝3x-1；（2）y＝2x2+7；

（3）（江苏宿迁中考）函数y＝中， 自变量x的取值范围是（　　）

A.x≠0 B.x<1 C.x>1 D.x≠1；

（4）y＝；

（5）（贵州安顺中考）函数y＝中自变量x的取值范围是　　　　；

（6）（贵州安顺中考）函数y＝中自变量x的取值范围是　　　　.

解：（1）x为任意实数.

（2）x为任意实数.

（3）由题意，得x-1≠0，解得x≠1.故选D.

（4）根据题意，得x-2≥0，则x≥2.

（5）根据题意，得x-1≥0且x-2≠0，解得x≥1且x≠2.

（6）根据题意，得x+1>0，解得x>-1.

教师提示：用数学式子表示的函数，一般来说，自变量的取值范围是使式子有意义的值.

归纳：在例1中，像y＝50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式.

师生活动：学生独立学习这个定义.

（1）在变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量.

（2）函数解析式中自变量的取值范围必须使函数解析式有意义.可分为下列几种情况：

（师生活动：教师引导，学生合作探究完成.）

（教师板书：学生代表归纳总结.）

①当函数解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数.

②当函数解析式是分式时，自变量的取值范围要使分母不为零.

③当函数解析式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数是非负数.

④在实际问题中，自变量的取值范围除了使函数解析式有意义外，还要使实际问题有意义.

⑤自变量的取值范围可以是有限或无限的，也可以是几个数或单独的一个数.如：y＝中，自变量z的取值范围是z＝0；y＝+中，自变量x的取值范围是x＝2.

教师说明：函数解析式是等式，指明了哪个是自变量，哪个是函数，书写函数解析式是有顺序的.例如y＝x-4表示y是x的函数；若x＝y+5，则表示x是y的函数，也就是说，求y关于x的函数解析式，必须用含自变量x的代数式表示y，即等式的左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式.

课堂小结

本节课我们通过回顾思考、观察讨论，认识了自变量、函数及函数值的概念，让同学们对函数意义有了初步了解，学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法，会求函数值，提高了用函数解决实际问题的能力.

布置作业

教材第81~82页习题第3，4，5题.

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