第1章 平行线辅导讲义5：平行线的性质及平移(提高) 知识讲解(含答案)

平行线的性质及平移（提高）知识讲解

撰稿：孙景艳   责编：吴婷婷

【学习目标】

1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；

2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；

3．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和区别，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.

【要点梳理】

要点一、平行线的性质

    性质1：两直线平行，同位角相等；

    性质2：两直线平行，内错角相等；

    性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．

 (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点二、两条平行线间的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线

间的距离．

要点诠释：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线间的距离．

(2)两条平行线间的距离处处相等．

要点三、图形的平移

1. 定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．

要点诠释：图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．

2. 性质：

（1）平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.

（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行（或在同一条直线上）且相等.

要点诠释：

（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．

(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.

3. 作图：

平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．

   (1)定：确定平移的方向和距离；

   (2)找：找出表示图形的关键点；

   (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；

   (4)连：按原图形顺次连接对应点．

【典型例题】

类型一、平行线的性质 

1.如图，已知AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数.

【答案与解析】

解：作PM∥AB，交AC于点M，如图：

∵AB∥CD

∴∠CAB+∠ACD=180°

∵PA平分∠CAB，PC平分∠ACD

∴∠1+∠4=90°

∵AB∥PM∥CD

∴∠1=∠2，∠3=∠4

∴∠2+∠3=90°

∴∠APC=90°

【总结升华】平行线与角的关系非常密切，平行线的性质都是以角的关系来体现，在求角度的过程中，如果能够适时运用平行线的性质，将会使问题的解决显得简便快捷．

举一反三：

【变式】(广安)如图所示，已知a∥b∥c，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是(   )

    A．75°    B．65°    C．55°    D．50°

 【答案】B 

类型二、两平行线间的距离

2.下面两条平行线之间的三个图形，图    ③的面积最大，图      ②的面积最小．
 

【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小.

【答案】图3，图2

【解析】

解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；
所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.
【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.

举一反三：

【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是       厘米.

【答案】35

类型三、图形的平移

3.如图所示，①、②两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到?

【答案与解析】

 解：图①DE和AC平行，但不相等，DE和BC相等，但不平行，不符合平移的特征，无论怎样平移其中一个三角形也得不到另一个三角形．图②符合平移的特征，三角形PQR沿射线PM方向移动PM长即可得到三角形MNO．

   所以，图②中一个三角形可以经过另一个三角形平移得到．

【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动，它的形状、大小都不发生变化，否则就不是平移变换．

举一反三：

【变式】下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是          (填写序号)．

（1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；

（4）摇动的大绳；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）．

【答案】（2）（6）．

解：（1）摆动的钟摆，方向发生改变，不属于平移；
（2）在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，属于平移；
（3）随风摆动的旗帜，形状发生改变，不属于平移；
（4）摇动的大绳，方向发生改变，不属于平移；
（5）汽车玻璃上雨刷的运动，方向发生改变，不属于平移；
（6）从楼顶自由落下的球沿直线运动，属于平移．
∴可以看成平移的是（2）（6）．

4. (苏州中考模拟)如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．

【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解．

【答案与解析】

解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，

显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．

【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解．

举一反三：

【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为    (    )

    A．600m2    B．551m2    C．550m2    D．500m2

  【答案】B

5.如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.

（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝         ；

（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的结论；

（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的结论.

【答案与解析】

解：（1）75°；

（2）结论：∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND

证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.

又∵ AB∥CD，∴ ∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.

∴ ∠AMP1+∠P1 P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1 P2+∠P2ND.

（3）∠BMP1+∠P1 P2P3+∠P3 ND＝∠MP1 P2+∠P2 P3N.

【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.

举一反三：

【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是(   ) ．

A．120°    B．130°    C．140°    D．150°

【答案】D；提示：如图，过点B作BE∥AM．