高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用学案

4.3　一元二次不等式的应用

利用不等式解决实际问题的一般步骤是什么？

1．分式不等式的解法

对于分式不等式的其他类型，可仿照上述方法求解．

已知集合A＝，则集合∁RA与相等吗？

[提示]　　不相等，∁RA＝.

2．建立一元二次不等式模型的步骤

(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．

(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．

(3)解不等式(或求函数的最值)．

(4)回扣实际问题.

类型1　分式不等式的解法

【例1】　解不等式≤3.

[解]　 原不等式可化为－3≤0，即≤0，

∴≥0，

∴ 解得x≥或x<0.

故原不等式的解集为{x|x≥或x<0}．

分式不等式一般解题步骤

(1)移项并通分，不等式右侧化为“0”；

(2)转化为同解的整式不等式；

(3)解整式不等式．

1．不等式≥0的解集是(　　)

A．[2，＋∞) B．(－∞，1]∪(2，＋∞)

C．(－∞，1) D．(－∞，1)∪[2，＋∞)

D　[原不等式可化为

解得x≥2或x＜1，

故原不等式的解集为(－∞，1)∪[2，＋∞)．]

类型2　不等式恒成立问题

【例2】　若x2－x＋3<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，原不等式可化为2x－6<0，

解得x<3，不符合题意，应舍去．

当m＋1≠0时，

若x2－x＋3<0对任何实数x恒成立，则有

解得m<－.

综上所述，实数m的取值范围是.

一元二次不等式在R上的恒成立问题

(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是

(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是

(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是

(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是

注意：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或

2．已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．

[解]　原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数x恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，

从而有

整理得所以

所以a＞2.

故a的取值范围是(2，＋∞)．

类型3　一元二次不等式的实际应用

【例3】　某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．

(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

　[解]　(1)降低税率后的税率为%，农产品的收购量为a万担，收购总金额为200a(1＋2x%)．

依题意：y＝200a%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．

(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．

依题意得：a≥20a×83.2%，

化简得，x2＋40x－84≤0，

∴－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2.

∴x的取值范围是{x|0<x≤2}.

解不等式应用题的步骤

3．某种商品原来定价为每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成(x成即，0<x≤10)，每月卖出数量将减少y成，而售货金额变成原来的z倍．若y＝x, 探求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．

　[解]　依题意，涨价后的售货金额为npz＝p·n·，∴np > np.

∵n＞0，p＞0，y＝x，

∴＞1.

整理得x2－5x＜0，解得0＜x＜5.

又∵0＜x≤10，∴0＜x＜5.

故x的取值范围是{x|0＜x＜5}.

1．不等式≥0的解集为(　　)

A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}

C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2或x≤1}

D　[由题意可知，不等式等价于

∴x>2或x≤1.故选D.]

2．不等式≥1的解集是(　　)

A．{x|x<－1或－1<x≤2} B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x≤2} D．{x|－1<x≤2}

D　[∵≥1，∴－1≥0，∴≥0，即≤0，等价于(x－2)(x＋1)<0或x－2＝0，故－1<x≤2.]

3．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为(　　)

A．12元 B．16元

C．12元到16元之间 D．10元到14元之间

C　[设售价定为每件x元，利润为y，

则y＝(x－8)[100－10(x－10)]，

依题意有(x－8)[100－10(x－10)]>320，

即x2－28x＋192<0，解得12<x<16，

所以每件售价应定为12元到16元之间．]

4．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________．

{x|x>－a或x<b}　[原不等式等价于

(x＋a)(b－x)<0⇔(x－b)(x＋a)>0.

又a＋b<0，所以b<－a.

所以原不等式的解集为{x|x>－a或x<b}．]

5．某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．

{t|3≤t≤5}　[设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，

则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．

令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.]