高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 事件的独立性学案

§4　事件的独立性

1．当事件A，B满足什么条件时，事件A与B相互独立？

2．相互独立事件有哪些性质？

3．如何求相互独立事件同时发生的概率？

4．相互独立事件与互斥事件的区别是什么？

相互独立事件的概念和性质

(1)事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？

(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？

[提示]　(1)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．

(2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

1.袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(　　)

A．A与B，A与C均相互独立

B．A 与B相互独立，A与C互斥

C．A与B，A与C均互斥

D．A与B互斥，A与C相互独立

A　[由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.]

2.两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是(　　)

A．0.56　 B．0.92　

C．0.94　 D．0.96

C　[∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴目标被击中的概率为1－0.06＝0.94.]

类型1　相互独立事件的判断

【例1】　判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．

(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”；

(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．

[解]　(1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件．

(2)样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，

∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)．

故事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此A，B不是互斥事件．

判断事件是否相互独立的方法

(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)．

(2)利用性质：A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．

1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)

A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立

C．相互独立且互斥  D．既不相互独立也不互斥

A　[对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．]

类型2　相互独立事件概率的计算

【例2】　甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．

(1)求3人同时被选中的概率；

(2)求3人中至少有1人被选中的概率．

[解]　设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.

(1)3人同时被选中的概率

P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.

(2)3人中有2人被选中的概率

P2＝P(AB∪A C∪BC)

＝××＋××＋××＝.

3人中只有1人被选中的概率

P3＝P(A  ∪ B ∪  C)＝××＋××＋××＝.

故3人中至少有1人被选中的概率为P1＋P2＋P3＝＋＋＝.

1．(变设问)保持条件不变，求三人均未被选中的概率．

[解]　法一：三人均未被选中的概率

P＝P(  )＝××＝.

法二：由例(2)知，三人至少有1人被选中的概率为，

∴三人均未被选中的概率P＝1－＝.

2．(变条件，变设问)若条件“3人能被选中的概率分别为，，”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率．

[解]　设甲被选中的概率为P(A)，乙被选中的概率为P(B)，

则P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝，①

P(A)P(B)＝，②

由①②知P(A)＝，P(B)＝，

故恰有2人被选中的概率

P＝P(AB )＋P(A  C)＋P( BC)＝.

1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：

(1)首先确定各事件之间是相互独立的；

(2)确定这些事件可以同时发生；

(3)求出每个事件的概率，再求积．

2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．

2．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：

(1)两个人都译出密码的概率；

(2)两个人都译不出密码的概率；

(3)恰有1个人译出密码的概率．

[解]　记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝.

(1)2个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.

(2)两个人都译不出密码的概率为

P( )＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝×＝.

(3)恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为

P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.

类型3　相互独立事件概率的实际应用

【例3】　三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．

[解]　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.

不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，

∴不发生故障的概率为

P＝P[(A2∪A3)A1]

＝P(A2∪A3)·P(A1)

＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)

＝×＝.

求较为复杂事件的概率的方法

(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；

(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；

(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；

(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．

3．电路从A到B共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是(　　)

A． B．

C． D．

B　[由题意知A与C之间未连通的概率是2＝，连通的概率是1－＝.E与F之间连通的概率是2＝，未连通的概率是1－＝，故C与B之间未连通的概率是2＝，故C与B之间连通的概率是1－＝，故A与B之间连通的概率是×＝，故选B.]

4．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．求该选手被淘汰的概率．

[解]　记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.

法一：该选手被淘汰的概率为

P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)

＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)

＝＋×＋××＝.

法二：该选手被淘汰的概率为

1－P(A1A2A3)＝1－××＝.

不同赛制的可靠性探究

乒乓球比赛规则如下：

在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10分平后，先多得2分的一方为胜方；

1场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；

一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任何一方运动员都有权要求不超过1分钟的休息时间．

某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．

[问题探究]

1．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？

[提示]　甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用三局两胜制时，甲获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲最终获胜的概率为P1＝0.62＋2×0.62×(1－0.6)＝0.648.

2．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用五局三胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？

[提示]　甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由独立事件的概率公式，得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P2＝0.63＋3×0.63(1－0.6)＋6×0.63(1－0.6)2＝0.682 56.

3．两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同)

[提示]　甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率P>.采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的概率为P3＝p2＋2p2(1－p)．

采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P4＝p3＋3p3(1－p)＋6p3(1－p)2.而P4－P3＝p2(6p3－15p2＋12p－3)＝3p2(p－1)2(2p－1)．

因为P>，所以P4>P3，即五局三胜制下甲最终获胜的可能性更大．

所以五局三胜制更能选拔出最强的选手.

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．(　　)

(2)必然事件与任何一个事件相互独立．(　　)

(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．(　　)

[提示]　(1)正确．不可能事件的发生与任何一个事件的发生都没有影响．

(2)正确．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．

(3)错误．因为两个事件互斥，所以二者不能同时发生，所以这两个事件不相互独立．

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

2．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，则A1与A2是(　　)

A．互斥事件 B．相互独立事件

C．对立事件 D．不相互独立事件

D　[由于事件A1是否发生对事件A2发生的概率有影响，所以A1与A2是不相互独立事件．]

3．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是(　　)

A． B．

C． D．

C　[两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.]

4．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．

　[由题意知P＝×＋×＝.]

5．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，则至少有一个气象台预报准确的概率是________．

　[记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.

至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝.]