高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数导学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

4.3.2　对数的运算

【课前预习】

知识点一

(1)logaM+logaN　(2)logaM-logaN　(3)nlogaM

诊断分析

1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　[解析] (1)loga=logax-logay(其中a>0,且a≠1,x>0,y>0).

(2)loga(xy)=logax+logay(其中a>0,且a≠1,x>0,y>0).

(3)当x<0时,2log2x没有意义.

(4)公式应为logaM+logaN=loga(MN)(a>0且a≠1,M>0,N>0).

2.解:不一定成立.例如,对于(-2)×(-3)>0,loga(-2)和loga(-3)没有意义.

知识点二

诊断分析

1.(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)对数的底数必须是大于0且不等于1的数.

(2)log4a===.

(3)log68==.

【课中探究】

探究点一

例1　(1)⑥⑦⑧　(2)①logax+2logay　②logax+logay　③logax-logay-logaz　(3)①1　②0　③2　④　[解析] (1)对于①,取x=4,y=2,a=2,则log24×log22=2×1=2,而log2(4+2)=log26≠2,故logax·logay=loga(x+y)不恒成立;

对于②,取x=8,y=4,a=2,则log28-log24=1,而log2(8-4)=2≠1,故logax-logay=loga(x-y)不恒成立;

对于③,取x=4,y=2,a=2,则log2(4×2)=log28=3,而log24×log22=2×1=2≠3,故loga(xy)=logax·logay不恒成立;

对于④,取x=4,y=2,a=2,则=2,而log2=1≠2,故=loga不恒成立;

对于⑤,取x=4,a=2,n=3,则(log24)3=8,而log243=6≠8,故(logax)n=logaxn不恒成立;

对于⑥,由于-loga=-logax-1=loga(x-1)-1=logax,故logax=-loga恒成立;

对于⑦,由于loga=loga=logax,故=loga恒成立;

对于⑧,由于loga=loga-1=-loga,故loga=-loga恒成立.故填⑥⑦⑧.

(2)①loga(xy2)=logax+logay2=logax+2logay.

②loga(x)=logax+loga=logax+logay.

③loga=loga=[logax-loga(yz2)]=(logax-logay-2logaz)=logax-logay-logaz.

(3)①===1.

②方法一:lg 14-2lg+lg 7-lg 18

=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)

=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.

方法二:lg 14-2lg+lg 7-lg 18

=lg 14-lg2+lg 7-lg 18=lg=lg 1=0.

③log2+log2

=log2(×)=log2=log24=2.

④lg-lg+lg+

=(5lg 2-2lg 7)-2lg 2+(2lg 7+lg 5)+2×3

=lg 2+lg 5+6=+6=.

变式　解:(1)原式=log3+lg(25×4)+2+log24=-+2+2+2=.

(2)log525+lg+ln+=2-2++3=.

(3)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2+lg 5+lg 2=3.

探究点二

例2　(1)C　(2)A　[解析] (1)log524====.故选C.

(2)∵2x=3y=k,∴x=log2k,y=log3k,∴=logk2,=logk3,∴1=+=logk2+logk3=logk6,即k=6,故选A.

例3　解:(1)原式=3-×+lg×4=3-×+lg 10=3-1+1=3.

(2)原式=··==-12.

(3)由题意,得··==,所以lg m=lg 3=lg ,所以m=.

变式　解:方法一:设ax=by=cz=t,

则x=logat,y=logbt,z=logct,

所以++=++=logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,

所以abc=1.

方法二:因为a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz,

所以可设ax=by=cz=t>0,

则x=,y=,z=,

所以++=++=,

又++=0,且lg t≠0,

所以lg a+lg b+lg c=lg(abc)=0,故abc=1.

探究点三

例4　解:因为a'=a·e-kt,所以=e-kt,两边同时取以10为底的对数,得lg=-ktlg e.因为14C的半衰期是5730年,即当t=5730时,=,所以lg=-5730klg e,所以klg e=,所以t=-·lg,将≈0.879代入,得t≈-·lg 0.879≈1066,所以这个古植物约生活在1066年前.

变式　解:由题意,可知树叶沙沙声的强度I1=1×10-12 W/m2,

则=1,故=10·lg 1=0,

即树叶沙沙声的强度水平为0分贝.

耳语的强度I2=1×10-10 W/m2,则=102,

故=10lg 102=20,即耳语的强度水平为20分贝.

同理,恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.

【课堂评价】

1.A　[解析] log62+log63=log6(2×3)=log66=1.故选A.

2.C　[解析] 原式=log6-log62=log6=log6.

3.A　[解析] log38-2log36=log323-2log32-2log33=log32-2=a-2.

4.C　[解析] ∵lg 2=a,lg 3=b,∴lg 120=lg(10×4×3)=lg 10+2lg 2+lg 3=1+2a+b.故选C.

5.2　[解析] 原式=··=2.