专题4.1 与线段有关的动点问题（压轴题专项讲练）-七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

专题4.1  与线段有关的动点问题

【典例1】已知，线段AB上有三个点C、D、E，，，D、E为动点（点D在点E的左侧），并且始终保持．

（1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长；

（2）如图2，点F为线段BC的中点，，求AE的长；

（3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位，当运动时间t为多少秒时，使AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．

【思路点拨】

（1）由，，求解，再利用E为BC中点，求解 再求解 最后利用，从而可得答案；

（2）由点F为线段BC的中点，求解，再求解，，再利用，即可得到答案；

（3）如图3，以为原点建立数轴，则分别表示先确定的最长运动时间，再在运动后，表示对应的数为 对应的数为 求解，再分两种情况列方程即可得到答案．

【解题过程】

解：（1）如图1，

，，

E为BC中点时，

,

（2）如图2，

点F为线段BC的中点，

，

（3）如图3，以为原点建立数轴，则分别表示

由运动开始前：

的最长运动时间为：

运动后，由题意可得：对应的数为 对应的数为

当时，

，

经检验：符合题意，

当时，

经检验：符合题意，

综上：当或时，AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．

1．（2022·贵州黔西·七年级期末）如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（   ）

A．秒或秒 B．秒或秒或或秒

C．3秒或7秒 D．3秒或或7秒或秒

2．（2021·河北·平山县外国语中学七年级期末）如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝BQ时，t＝12，其中正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（2022·广东·南联学校七年级阶段练习）线段，点从点开始向点以每秒1个单位长度的速度运动，点从点开始向点以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当时，的值为________．

4．（2022·全国·七年级专题练习）如图直线l上有AB两点，，点O是线段AB上的一点，，若点C是射线AB上一点，且满足，则OC＝______cm．

5．（2022·辽宁·辽阳市第一中学七年级期中）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．

(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．

①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；

②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；

(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．

6．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．

(1)P在线段AB上运动，当时，求x的值．

(2)当P在线段AB上运动时，求的值．

(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．

7．（2022·全国·七年级专题练习）如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．

（1）若，则DE的长为_____________；

（2）若，求DE的长；

（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？

8．（2021·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）

（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：

（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．

（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．

9．（2022·全国·七年级专题练习）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧．若，，线段在线段上移动．

(1)如图1，当为中点时，求的长；

(2)点（异于，，点）在线段上，，，求的长．

10．（2022·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；

（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？

11．（2022·浙江·七年级专题练习）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．

（1）若AC=2，求AB的长；

（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系；

【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；

（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．

12．（2021·安徽蚌埠·七年级期末）如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足．

（1）点表示的数是___________，点表示的数是____________．

（2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？

（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？

13．（2022·全国·七年级课时练习）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．

（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______；

（2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．

①当点D在线段AB上运动，求的值；

②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．

14．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．

（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；

（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；

②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；

（3）当___时，、两点到点的距离相等．

15．（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．

（1）则OA＝　　cm，OB＝　　cm；

（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；

（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．

①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为　　；此时，Q点所到的点表示的数为　　．（用含t的代数式表示）

②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．

16．（2022·全国·七年级专题练习）（理解新知）

如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，

（1）线段的中点     这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）

（2）（初步应用）

如图②，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则      ；

（3）（解决问题）

如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”．

17．（2022·全国·七年级单元测试）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）

(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．

(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM．

(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．

18．（2022·全国·七年级课时练习）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．

(1)当t＝1时，PQ＝　   　cm；

(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？

(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．

19．（2022·全国·七年级课时练习）点在线段上，．

(1) 如图1，，两点同时从，出发，分别以，的速度沿直线向左运动；

①在还未到达点时，的值为                ；

②当在右侧时(点与不重合)，取中点，的中点是，求的值；

(2) 若是直线上一点，且．则的值为                ．

20．（2021·辽宁大连·七年级期末）如图1所示，已知线段，点为线段上一点（不与、重合），，两点分别从、同时出发沿射线向右运动，点的运动速度为/秒，点运动速度为/秒，设运动时间为秒．

（1）若，

①时，则的长为______；

②点、在移动过程中，线段、之间是否存在某种确定的的数量关系，判断并说明理由；

（2）如图2所示，点、在射线上移动，若，，直接写出的值．