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专题08 期末复习（一）有理数课堂学案及配套作业（解析版 ）
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这是一份专题08 期末复习（一）有理数课堂学案及配套作业（解析版 ），共30页。试卷主要包含了把下列各数填在相应的大括号里，比较大小等内容，欢迎下载使用。
专题08 期末复习（一）有理数（解析版）
第一部分 学案
知识点一：有理数的概念、及其分类；
1．（盐城中考）如果收入50元，记作+50元，那么支出30元记作（ ）
A．+30元 B．﹣30元 C．+80元 D．﹣80元
思路引领：收入为“+”，则支出为“﹣”，由此可得出答案．
解：∵收入50元，记作+50元，
∴支出30元记作﹣30元．
故选：B．
总结升华：本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．（2021秋•宁国市校级月考）下列说法不正确的是（ ）
A．有最小的正整数，没有最小的负整数
B．一个整数不是奇数，就是偶数
C．如果a是有理数，2a就是偶数
D．正整数、负整数和零统称整数
思路引领：根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）．
解：A、有最小的正整数，没有最小的负整数，正确；
B、一个整数不是奇数，就是偶数，正确；
C、如果a是0.1，2a不是偶数，故本选项错误；
D、正确．
故选：C．
总结升华：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
3．（2016秋•鼓楼区校级月考）把下列各数填在相应的大括号里．
+8，0.275，﹣|﹣2|，0，﹣1.04，﹣（﹣10），0.1010010001…，﹣（﹣22），227，−13，+34，0.1⋅
正整数集合{ …}
整数集合{ …}
负整数集合{ …}
正分数集合{ …}
有理数集合{ …}
无理数集合{ …}．
思路引领：根据实数的分类有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数无理数进行分类即可．
解：正整数集合{+8，﹣（﹣10），﹣（﹣22）…}
整数集合{+8，﹣|﹣2|，0，﹣（﹣10），…，﹣（﹣22），…}
负整数集合{﹣|﹣2|…}
正分数集合{ 0.275，227，+34，0.1⋅，…}
有理数集合{+8，0.275，﹣|﹣2|，0，﹣1.04，﹣（﹣10），﹣（﹣22），227，−13，+34，0.1⋅⋯}
无理数集合{ 0.1010010001…，…}．
故答案为：+8，﹣（﹣10），﹣（﹣22）；+8，﹣|﹣2|，0，﹣（﹣10）；﹣（﹣22）；﹣|﹣2|；0.275，227，+34，0.1⋅；+8，0.275，﹣|﹣2|，0，﹣1.04，﹣（﹣10），﹣（﹣22），227，−13，+34，0.1⋅； 0.1010010001…．
总结升华：此题主要考查了实数，关键是掌握实数的分类．
知识点二：数轴及其应用；
4．（2021秋•寿光市期中）比较大小：
请将下列各数表示在数轴上，并用“＜”连接．
3，−12，0，﹣312，﹣3，﹣1.5，﹣4．
思路引领：首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来即可．
解：，
﹣4＜﹣312＜−3＜﹣1.5＜−12＜0＜3．
总结升华：此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，要熟练掌握．
5．（2021秋•浉河区校级月考）如图，A，B，C三点在数轴上，点A表示的数为﹣10，点B表示的数为14，点C到点A和点B之间的距离相等．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）求C点对应的数；
（3）甲、乙分别从A，B两点同时相向运动，甲的速度是每秒运动1个单位长度，乙的速度是每秒运动2个单位长度，求相遇点D对应的数．
思路引领：（1）由数轴直接求AB的距离即可；
（2）设C点对应的数是x，由CA＝CB，列出方程x﹣（﹣10）＝14﹣x，求出x即可求解；
（3）设相遇的时间是t秒，由题意可得t+2t＝24，求出t的值，即可知甲走了8个单位长度到D点，相遇点D对应的数为﹣2．
解：（1）∵点A表示的数为﹣10，点B表示的数为14，
∴AB＝|14﹣（﹣10）|＝24，
∴A，B两点之间的距离为24；
（2）设C点对应的数是x，
∵CA＝CB，
∴x﹣（﹣10）＝14﹣x，
解得x＝2，
∴C点对应的数是2；
（3）设相遇的时间是t秒，
由题意可得t+2t＝24，
解得t＝8，
∴甲走了8个单位长度到D点，相遇点D对应的数为﹣2．
总结升华：本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键．
知识点三：相反数
6．（瑞金市校级月考）﹣|﹣1|的相反数是 1 ，﹣（﹣318）的倒数是 825 ，绝对值是 318 ．
思路引领：利用倒数，相反数及绝对值的定义求解即可．
解：﹣|﹣1|的相反数是1，﹣（﹣318）的倒数是825，绝对值是318．
故答案为：1，825，318．
总结升华：本题主要考查了倒数，相反数及绝对值，解题的关键是熟记倒数，相反数及绝对值的定义．
7．（2021秋•青州市校级月考）有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，把﹣a，﹣b，﹣c用“＜”连接起来 ．
思路引领：根据图示，可得：b＜a＜c，据此把﹣a，﹣b，﹣c用“＜”连接起来即可．
解：根据图示，可得：b＜a＜c，
∴﹣c＜﹣a＜﹣b．
故答案为：﹣c＜﹣a＜﹣b．
总结升华：此题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
8．（2021•东河区二模）若−12的倒数与m+4互为相反数，那么m的值是（ ）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝2 D．m＝﹣2
思路引领：根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
解：−12的倒数与m+4互为相反数，得
m+4＝2，
解得m＝﹣2，
故选：D．
总结升华：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
9．（鞍山期末）已知a、b互为相反数，且|a﹣b|＝6，则|b﹣1|的值为（ ）
A．2 B．2或3 C．4 D．2或4
思路引领：根据互为相反数的两数和为0，又因为|a﹣b|＝6，可求得b的值，代入即可求得结果判定正确选项．
解：∵a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵|a﹣b|＝6，
∴b＝±3，
∴|b﹣1|＝2或4．
故选：D．
总结升华：此题把相反数和绝对值的运算结合求解．先根据相反数求出b的值，再确定绝对值符号中代数式的正负，去绝对值符号．
10．若a与2b互为相反数，试用含a的式子表示b为 −a2 ．
思路引领：根据相反数的定义列代数式．
解：依题意得：a+2b＝0，
则b=−a2．
故答案是：−a2．
总结升华：考查了列代数式．注意：含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
11．在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是12.8，则这两点所表示的数分别是 ， ．
思路引领：直接利用相反数的定义进而得出答案．
解：∵点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是12.8，
∴这两点所表示的数分别是：﹣6.4，6.4．
故答案为：﹣6.4，6.4．
总结升华：此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．
12．（2017秋•东台市月考）（1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值为2，求﹣2mn+a+bm−n−x2的值．
（2）如图所示，化简|a﹣c|+|a﹣b|+|c|．
思路引领：（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出a+b，mn以及x2的值，代入原式计算即可得到结果；
（2）根据数轴上点的位置确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
解：（1）根据题意得：a+b＝0，mn＝1，|x|＝2，则x2＝4，
所以原式＝﹣2+0﹣4＝﹣6；
（2）∵c＜a＜0＜b，
∴a﹣c＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝a﹣c﹣a+b﹣c＝b﹣2c．
总结升华：此题考查了整式数的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了代数式求值．
知识点四：绝对值
13．|a|＝2，|b|＝5，且a＞b，则a+b的值是（ ）
A．3或﹣3 B．﹣3或﹣7 C．﹣7 D．7
思路引领：首先利用绝对值的意义，由a＞b确定a，b的值，然后代入即可．
解：∵|a|＝2，|b|＝5，
∴a＝±2，b＝±5，
∵a＞b，
∴a＝±2，b＝﹣5，
当a＝2，b＝﹣5时，a+b＝﹣3；
当a＝﹣2，b＝﹣5时，a+b＝﹣7．
故选：B．
总结升华：本题主要考查了绝对值的意义，根据条件确定a，b的取值范围是解答此题的关键．
14．（2019秋•碑林区期中）【探索发现】由绝对值的定义可得，数轴上表示数a的点到原点的距离为|a|．小丽进一步探究发现，在数轴上，表示3和5的两点之间的距离为|5﹣3|＝2；表示﹣3和5的两点之间的距离为|﹣3﹣5|＝8；表示﹣3和﹣5的两点之间的距离为|﹣3﹣（﹣5）|＝2．
【概括总结】根据以上过程可以得出：数轴上，表示数a和数b的两点之间的距离为 ．
【问题解决】
（1）若|x﹣5|＝3，则x＝ ；
（2）若|x+3|+|x﹣5|＝10，则x＝ ；
（3）若|x+3|+23|x﹣5|＝10，则x＝ ．
思路引领：概括总结：根据求两点之间距离的方法可得答案；
（1）根据与5之间的距离是3的数，可得答案；
（2）根据数轴上的点到﹣3与到5之间的距离和为10可得答案；
（3）根据数轴上的点到﹣3与到5之间距离的23之和为10可得答案．
解：概括总结：数轴上，表示数a和数b的两点之间的距离为|a﹣b|，
故答案为：|a﹣b|；
（1）∵|x﹣5|＝3，
∴x与数轴上表示5的点的距离是3，
∴x＝2或8．
故答案为：2或8；
（2）∵|x+3|+|x﹣5|＝10，
∴x到﹣3与x到5的距离和为10，
∵﹣3与5之间的距离是8，
∴x＜﹣3或x＞5，
当x＜﹣3时，原式＝﹣x﹣3﹣x+5＝2﹣2x＝10，解得x＝﹣4；
当x＞5时，原式＝x+3+x﹣5＝2x﹣2＝10，解得x＝6．
故答案为：﹣4或6；
（3）由（2）得，x＜﹣3或x＞5，
当x＜﹣3时，原式＝﹣x﹣3−23x+103=13−53x＝10，解得x=−295；
当x＞5时，原式＝x+3+23x−103=53x−13=10，解得x=315．
故答案为：−295或315．
总结升华：此题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义，本题属于基础题型．
15．若a+1+|b−1|=0，则a+b＝ ．化简：(3−π)2= ．
思路引领：先根据非负数的性质求出ab的值，再求出a+b的值即可；先判断出3﹣π的符号，再把原式进行化简即可．
解：∵a+1+|b−1|=0，
∴a+1＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣1，b＝1，
∴+b＝﹣1+1＝0；
∵π≈3.14，
∴3﹣π＜0，
∴原式＝π﹣3．
故答案为：0，π﹣3．
总结升华：本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知π≈3.14是解答此题的关键．
16．（2021秋•海淀区校级期中）若|a|＝4，|b|＝2，且|a+b|＝a+b，那么a﹣b的值只能是（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．2或6
思路引领：根据|a|＝4，|b|＝2，且|a+b|＝a+b，即可确定a，b的值，从而求解．
解：∵|a|＝4，|b|＝2
∴a＝±4，b＝±2
又∵|a+b|＝a+b，则a+b≥0
∴a＝4，b＝2或a＝4，b＝﹣2
当a＝4，b＝2时，a﹣b＝4﹣2＝2；
当a＝4，b＝﹣2时，a﹣b＝4+2＝6．
故选：D．
总结升华：本题主要考查了绝对值的性质，若x≠0，且|x|＝a，则x＝±a，根据任何数的绝对值一定是非负数，正确确定a，b的值，是解决本题的关键．
17．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：
（1）当a＝ 4 时，|a﹣4|有最小值，此时最小值为 ．
（2）当a取何值时，|a﹣1|+3有最小值？这个最小值是多少？
（3）当a取何值时，4﹣|a|有最大值？这个最大值是多少？
思路引领：根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得a﹣4＝0时，|a﹣4|有最小值，由此即可求解；要使|a﹣1|+3有最小值，则|a﹣1|要取最小，即a﹣1＝0，由此即可求解；要使4﹣|a|有最大值，则|a|取最小值，结合|a|≥0即可求解．
解：任何数的绝对值都大于等于0．
（1）当a＝4时，|a﹣4|有最小值，此时最小值为0．
故答案为：4，0．
（2）当a＝1时，此时a﹣1＝0，则|a﹣1|+3有最小值，这个最小值是3；
（3）当a＝0时，4﹣|a|有最大值，这个最大值是4．
总结升华：本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键．
18．若3+|x﹣4|有最小值，则x＝ ；若4﹣|m﹣n|有最大值，则m，n的关系是 ．
思路引领：直接利用绝对值的性质分析得出答案．
解：3+|x﹣4|有最小值，则x﹣4＝0，故x＝4；
若4﹣|m﹣n|有最大值，则m﹣n＝0，故m，n的关系是：m＝n．
故答案为：4，m＝n．
总结升华：此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质分析是解题关键．
19．（广州期中）已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|．
思路引领：根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
解：∵c＞d＞0＞b＞a，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，
原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+2b+2c．
总结升华：此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
知识点五：比较有理数的大小
20. 比大小：
解：＜，＞，＞，＞，＜，＝
知识点六：科学记数法和近似数．
21．（2013•邵阳）据邵阳市住房公积金管理会透露，今年我市新增住房公积金11.2亿元，其中11.2亿元可用科学记数法表示为（ ）
A．11.2×108元 B．1.12×109元
C．11.2×1010元 D．11.2×107元
思路引领：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于11.2亿有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝9．
解：11.2亿＝1 120 000 000＝1.12×109．
故选：B．
总结升华：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
22．（2021秋•集贤县期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到0.0001）
思路引领：A、精确到0.1就是保留小数点后一位，因为小数点后第二位是5，进一得0.1；
B、精确到百分位，就是保留小数点后两位，因为小数点后第三位是0，舍，得0.05；
C、精确到千分位，就是保留小数点后三位，因为小数点后第四位是1，舍，得0.050；
D、精确到0.0001，就是保留小数点后四位，因为小数点后第五位是9，进一，得0.0502；
解：A、0.05019≈0.1（精确到0.1），所以此选项正确；
B、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以此选项正确；
C、0.05019≈0.050（精确到千分位），所以此选项错误；
D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以此选项正确；
本题选择错误的，故选：C．
总结升华：本题考查了根据精确度取近似数，精确度可以是“十分位（0.1）、百分位（0.01）、千分位（0.0010”等，按四舍五入取近似数，只看精确度的后一位数．
23．某市2021年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入法取近似值后为31.27亿元，那么这个数值（ ）
A．精确到亿位 B．精确到百分位
C．精确到百万位 D．精确到千万位
思路引领：近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，由此进一步判定得出答案即可．
解：∵31.27亿末尾数字7是百万位，
∴35.27亿精确到百万位．
故选：C．
总结升华：本题考查了近似数的确定，熟悉数位是解题的关键．
知识点七：有理数的基本计算
24．（2021秋•柳南区期末）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．|a|＞|b| D．a+b＞0
思路引领：本题依据实数的绝对值，相反数，加减运算的定义即可判断．
解：A、在数轴上的两个实数，右面的实数总是大于左面的实数．故A不符合题意．
B、﹣a即a的相反数在b的右面，所以﹣a＞b．故B不符合题意．
C、绝对值的实际意义为一个点距离远点的距离，明显a点距离远点更远，所以|a|＞|b|．故C符合题意．
D、a+b为异号两数相加，取绝对值较大数a的符号即a+b＜0．故D不符合题意．
故选：C．
总结升华：本题主要考查数值的大小比较，关键需要掌握数轴，相反数，绝对值的应用．
25．（2020秋•海淀区校级期中）如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数（ ）
A．都是负数
B．都是正数
C．一正一负，且负数的绝对值大
D．一正一负，且正数的绝对值大
思路引领：两个数的积为负数说明这两数异号，和也为负数说明这两数中负数的绝对值大．
解：∵两个数的积为负数，
∴这两数异号；
又∵和也为负数，
∴这两数中负数的绝对值较大．
故选：C．
总结升华：本题主要考查了有理数的加法与乘法的符号法则．
两数相乘，异号得负；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号．
26．（2022秋•江阴市期中）设m为一个有理数，则|m|+m一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
思路引领：m为有理数，则|m|≥0，由于m的值不确定，所以应分三种情况进行讨论．
解：∵m为有理数，
∴|m|≥0，
当m＞0，|m|+m＝m+m＝2m＞0；
当m＜0，|m|+m＝﹣m+m＝0；
当m＝0，|m|﹣m＝0﹣0＝0．
综上所述，当m为有理数时，|m|+m一定是非负数．
故选：C．
总结升华：本题通过求代数式的值考查了绝对值的代数意义，正数的绝对值等于其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于其相反数．
27．（2020秋•长安区校级期中）若a＝﹣2×32，b＝（﹣2×3）2，c＝﹣（2×4）2，则下列大小关系中正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
思路引领：先计算出各数的值，再比较出其大小即可．
解：a＝﹣2×32＝﹣18，b＝（﹣2×3）2＝36，c＝﹣（2×4）2＝﹣64，
∵﹣64＜﹣18＜36，
∴b＞a＞c．
故选：C．
总结升华：本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数比较大小的法则是解答此题的关键．
28．（2016秋•海淀区校级期中）计算（﹣2）11﹣（﹣2）10等于（ ）
A．﹣2 B．（﹣2）21 C．﹣3×210 D．﹣210
思路引领：根据幂的乘方和合并同类项可以解答本题．
解：（﹣2）11﹣（﹣2）10
＝（﹣2）11﹣210
＝（﹣2）×（﹣2）10﹣（﹣2）10
＝[（﹣2）﹣1]×（﹣2）10
＝﹣3×210
故选：C．
总结升华：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
29．填空：
（1）若a＞0，b＞0，那么a+b 0．
（2）若a＜0，b＜0，那么a+b 0．
（3）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，那么a+b 0．
（4）若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a+b 0．
（5）如果ab＞0，a+b＞0，则a ，b ．
思路引领：原式利用有理数的加法，乘法法则判断即可．
解：（1）若a＞0，b＞0，那么a+b＞0；
（2）若a＜0，b＜0，那么a+b＜0；
（3）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，那么a+b＞0；
（4）若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a+b＜0；
（5）如果ab＞0，a+b＞0，则a＞0，b＞0，
故答案为：（1）＞；（2）＜；（3）＞；（4）＜；（5）＞0，＞0
总结升华：此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
30．（2021秋•冷水滩区校级月考）如果a2＝16，那么a等于（ ）
A．4 B．﹣4 C．16 D．±4
思路引领：根据平方根的性质求解即可．
解：∵a2＝16，
∴a＝±4，
故选：D．
总结升华：本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
31．（2018春•香坊区校级期中）如果x＜0，y＞0且x2＝9，|y|＝2，那么x+y＝ ．
思路引领：直接利用平方的意义和绝对值的性质得出x，y的值，进而得出答案．
解：∵x＜0，y＞0且x2＝9，|y|＝2，
∴x＝﹣3，y＝2，
故x+y＝﹣3+2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
总结升华：此题主要考查了有理数的加法以及绝对值的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
知识点八：有理数混合运算
有理数混合运算顺序：1．先乘方，再乘除，最后加减；
2．同级运算，从左到右进行；
3．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行
32．（2017秋•昌平区校级期中）（1）（﹣1.5）+414+2.75+(−512)
（2）312−(−13)+223+(−12)
（3）(−56+23−34)÷112
（4）1÷（﹣3）×（−13）
（5）（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4
（6）﹣14﹣（1﹣0.5）×13×[2−(−3)2]．
思路引领：（1）运用加法的交换律和结合律简便计算即可；
（2）运用加法的交换律和结合律简便计算即可；
（3）除法转化为乘法后，利用乘法分配律计算可得；
（4）除法转化为乘法，再计算乘法即可得；
（5）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（6）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
解：（1）原式＝﹣1.5+4.25+2.75﹣5.5
＝﹣7+7
＝0；
（2）原式＝312−12+13+223
＝3+3
＝6；
（3）原式＝（−56+23−34）×12
＝﹣10+8﹣9
＝﹣11；
（4）原式＝1×（−13）×（−13）=19；
（5）原式＝1×2+（﹣8）÷4
＝2﹣2
＝0；
（6）原式＝﹣1−12×13×（﹣7）
＝﹣1+76
=16．
总结升华：本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
有理数运算应用
33．（2021秋•宣威市校级月考）某商店以32元的价格购进30个茶杯，针对不同的顾客，30个茶杯的售价不完全相同，若以47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表所示：
售出个数
7
6
3
5
4
5
售价（元）
+3
+2
+1
0
﹣1
﹣2
该超市售完这30个茶杯后，赚了多少钱？
思路引领：首先求出总售价的变化，再求出按标准售价进行出售所赚的钱数，加在一起就是最后赚的钱数．
解：7×3+6×2+3×1+5×0+4×（﹣1）+5×（﹣2）
＝21+12+3+0﹣4﹣10
＝22（元），
（47﹣32）×30+22
＝15×30+22
＝472（元）．
答：该超市售完这30个茶杯后，赚了472元．
总结升华：本题主要考查了正数与负数的意义，让学生理解正数与负数只是一种“记法”，理解“记法”与原数之间的关系是解题的关键，注意认真总结．
34．（2017秋•鼓楼区校级期中）探究题：定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[﹣π]＝﹣4
（1）如果[a]＝﹣2，那么a可以是 ．
A．﹣1.5 B．﹣2.5 C．﹣3.5 D．﹣4.5
（2）如果[x+12]＝3，则整数x＝ ．
（3）如果[﹣1.6−16[x+12]]＝﹣3，满足这个方程的整数x共有 个．
思路引领：（1）根据新定义解答即可得；
（2）由新定义得出3≤x+12＜4，解之可得答案；
（3）令[x+12]＝y，得[﹣1.6−16y]＝﹣3，即﹣3≤﹣1.6−16y＜﹣2，解之得出整数y的值，从而有[x+12]＝3、4、5、6、7、8，再进一步求解可得．
解：（1）根据题意知，[a]＝﹣2表示不超过a的最大整数，
∴a可以是﹣1.5，
故选：A；
（2）根据题意得3≤x+12＜4，
解得：5≤x＜7，
则整数x＝5或6，
故答案为：5或6；
（3）令[x+12]＝y，
则原方程可变形为[﹣1.6−16y]＝﹣3，
∴﹣3≤﹣1.6−16y＜﹣2，
解得：2.4＜y≤8.4，
则y可取的整数有3、4、5、6、7、8，
若y＝3，则3≤x+12＜4，解得：5≤x＜7，其整数解有5、6；
若y＝4，则4≤x+12＜5，解得：7≤x＜9，其整数解有7、8；
若y＝5，则5≤x+12＜6，解得：9≤x＜11，其整数解有9、10；
若y＝6，则6≤x+12＜7，解得：11≤x＜13，其整数解有11、12；
若y＝7，则7≤x+12＜8，解得：13≤x＜15，其整数解有13、14；
若y＝8，则8≤x+12＜9，解得：15≤x＜17，其整数解有15、16；
∴满足这个方程的整数x共有12个，
故答案为：12．
总结升华：本题主要考查解一元一次不等式组，理解新定义将方程转化为不等式组求解是解题的关键．
35．（ 西城区校级期中）阅读理解题：
对于任意由0，1组成的一列数．将原有的每个1变成01，并将每个原有的0变成10称为一次变换．如101经过一次变换成为011001．请你经过思考、操作回答下列问题：
（1）将11变换两次后得到 ；
（2）若100101101001是由某数列两次变换后得到．则这个数列是 ；
（3）一个10项的数列经过两次变换后至少有多少对两个连续相等的数对（即1100）？请证明你的结论；
（4）01经过10次操作后连续两项都是0的数对个数有 个．
思路引领：（1）根据变换规则解答即可得；
（2）逆用变换规则，反向推理可得答案；
（3）由0经过两次变换后得到0110、1经过两次变换后得到1001知10项的数列至少有10对连续相等的数对，根据0101010101经过两次变换后得到0110100101101001…恰有10对连续相等的数对，得出答案；
（4）记数列01为A0，k次变换后数列为Ak，连续两项都是0的数对个数为lk，设Ak中有bk个01数对，Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，可得lk+1＝bk，Ak+1中的01数对有2种产生途径：①由Ak中的1得到；②由Ak中的00得，由此得出k为偶数时，lk关于k的函数表达式，将k＝10代入即可得．
解：（1）将11一次变换得0101，再次变换得10011001，
故答案为：10011001；
（2）100101101001一次变换的原数是011001，再次变换的原数是101，
故答案为：101；
（3）经过两次变换后至少有10对两个连续相等的数对，
∵0经过两次变换后得到0110，1经过两次变换后得到1001，
∴10项的数列至少有10对连续相等的数对，
又∵0101010101经过两次变换后得到0110100101101001…恰有10对连续相等的数对，
∴一个10项的数列经过两次变换后至少有10对两个连续相等的数对；
（4）记数列01为A0，k次变换后数列为Ak，连续两项都是0的数对个数为lk，
设Ak中有bk个01数对，Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，
∴lk+1＝bk，Ak+1中的01数对有2种产生途径：①由Ak中的1得到；②由Ak中的00得到；
根据题意知，Ak中的0和1的个数总是相等，且共有2k+1个，
∴bk+1＝lk+2k，
∴lk+2＝lk+2k，
由A0：0、1可得A1：1、0、0、1，A2：0、1、1、0、1、0、0、1，
∴l1＝1、l2＝2，
当k≥3时，
若k为偶数，lk＝lk﹣2+2k﹣2、lk﹣2＝lk﹣4+2k﹣4、…、l4＝l2+22，
上述各式相加可得lk＝1+22+24+…+2k﹣2=1⋅(1−4k2)1−4=13（2k﹣1），
经检验，k＝2时也满足lk=13（2k﹣1），
∴当k＝10时，l10=13（210﹣1）＝341，
故答案为：341．
总结升华：本题主要考查数列的变化规律及有理数的运算，解题时要认真审题，注意新定义的准确理解，解题时要合理地挖掘题设中的隐含条件，恰当地进行等价转化．
第二部分 配套作业
1．（盐城中考）﹣2、0、1、﹣3四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣3
思路引领：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可．
解：﹣2、0、1、﹣3四个数中，最小的数是﹣3；
故选：D．
总结升华：本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
2．（2022•川汇区一模）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．−12 C．12 D．﹣2
思路引领：根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变﹣2前面的符号，即可得﹣2的相反数，再与每个选项比较得出答案．
解：由相反数的意义得，﹣2的相反数是2，
故选：A．
总结升华：本题考查了相反数的意义．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
3．（2021秋•博兴县月考）在数轴上，A、B两点所表示的数分别为﹣2、3，若移动A点到B点，应把A点（ ）个单位长度．
A．向左移动5 B．向右移动5
C．向右移动4 D．向左移动1或向右移动5
思路引领：先根据两点间的距离公式确定移动的距离，再确定移动分析即可求解．
解：3﹣（﹣2）＝5，
故若移动A点到B点，应把A点向右移动5个单位长度．
故选：B．
总结升华：本题考查了数轴的有关内容，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
4．（孝感中考）如图所示，数轴上两点A，B分别表示实数a，b，则下列四个数中最大的一个数是（ ）
A．a B．b C．1a D．1b
思路引领：由于负数小于正数，所以a，1a比b，1b小，在区间（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．
解：∵负数小于正数，
∴1a＜a＜b＜1b，
在区间（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．
所以1b＞b．
故选：D．
总结升华：本题考查知识点为：负数小于正数，在区间（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．
5．已知a，b是两个有理数，那么a﹣b与a比较，必定是（ ）
A．a﹣b＞a B．a﹣b＜a
C．a﹣b＞﹣a D．大小关系取决于b
思路引领：本题是对减法法则的考查，减去一个数等于加上它的相反数．
解：a﹣b﹣a＝﹣b，
当b＜0时，﹣b＞0，那么a﹣b＞a；
当b＞0时，﹣b＜0，那么a﹣b＜a．
故选：D．
总结升华：本题是求差的问题．因为减数可能是正数，也可能是负数，所以差与被减数的关系由减数决定．
6．（朝阳区校级期末）已知|m|＝5，|n|＝2，|m﹣n|＝n﹣m，则m+n的值是（ ）
A．7 B．﹣3 C．﹣7或﹣3 D．以上都不对
思路引领：首先根据绝对值的性质可得m＝±5，n＝±2，再根据|m﹣n|＝n﹣m，可得n＞m，进而确定出m、n的值，再计算出答案．
解：∵|m|＝5，|n|＝2，
∴m＝±5，n＝±2，
∵|m﹣n|＝n﹣m，
∴n＞m，
∴①m＝﹣5，n＝2，m+n＝﹣3，
②m＝﹣5，n＝﹣2，m+n＝﹣7，
故选：C．
总结升华：此题主要考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握绝对值的性质，互为相反数的两个数绝对值相等．
7．（2018秋•博山区期中）代数式|x﹣2|+3的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．5
思路引领：根据非负数的性质得出|x﹣2|≥0，得出代数式|x﹣2|+3的最小值．
解：∵|x﹣2|≥0，
∴|x﹣2|+3≥3，
∴代数式|x﹣2|+3的最小值是3，
故选：C．
总结升华：本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
8．（2021秋•涿州市期末）下列各对数中，数值相等的是（ ）
A．（﹣1）3和|﹣1|5 B．（﹣1）2与21 C．（﹣5）2与﹣52 D．﹣35与（﹣3）5
思路引领：根据乘方的意义计算各组式子的值，然后进行判断．
解：A、（﹣1）3＝﹣1，|﹣1|5＝1，所以A选项错误；
B、（﹣1）2＝1，21＝2，所以B选项错误；
C、（﹣5）2＝25，﹣52＝﹣25，所以C选项错误；
D、﹣35＝﹣243，（﹣3）5＝﹣243，所以D选项正确．
故选：D．
总结升华：本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
9．（2021秋•青羊区校级月考）下列计算错误的有（ ）个
（1）（12）2=14（2）﹣52＝25（3）425=1625（4）﹣（−17）2=149（5）（﹣1）9＝﹣1（6）﹣（﹣0.1）3＝0.001
A．3 B．4 C．5 D．6
思路引领：根据有理数的乘方的定义进行解答即可
解：（1）（12）2=14，正确；
（2）﹣52＝﹣25，错误；
（3）425=165，错误；
（4）﹣（−17）2=−149，错误；
（5）（﹣1）9＝﹣1，正确；
（6）﹣（﹣0.1）3＝0.001，正确；
故选：A．
总结升华：本题考查的是有理数的乘方，熟知有理数乘方的法则是解答此题的关键．
10．（2019春•惠安县期中）有理数a、b、c的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．a+b+c＞0 B．|a+b|＜c C．|a﹣c|＝|a|+c D．|b﹣c|＞|c﹣a|
思路引领：由数轴可知a、b为负数，c为正数，根据绝对值的意义，逐一判断．
解：根据数轴可知，
A、a+b+c＜0，本选项错误；
B、|a+b|＞c，本选项错误；
C、|a﹣c|表示数a的点与数c的点之间的距离，可以用|a|+c表示，本选项正确；
D、|b﹣c|＜|c﹣a|，本选项错误．
故选：C．
总结升华：本题考查了绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
11．（2022秋•小店区校级月考）设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则c−ba的值（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
思路引领：先求出a，b，c的值，再代入计算即可．
解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝0，
∴c−ba=0−−11=0+1＝1，
故选：A．
总结升华：本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握最小的正整数，最大的负整数，绝对值最小的数等概念，求出a，b，c的值．
12．（2021秋•常州期中）在数轴上，与表示数﹣2的点的距离是3的点表示的数是（ ）
A．1 B．5 C．±3 D．1或﹣5
思路引领：设该点为x，再根据数轴上两点间的距离公式进行解答即可．
解：设该点为x，则|x+2|＝3，
解得x＝1或﹣5．
故选：D．
总结升华：本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
13．一种零件的内径尺寸在图纸上是9±0.05（单位：mm），表示这种零件的标准尺寸是9mm，加工要求最大不超过标准尺寸多少？最小不小于标准尺寸多少？
思路引领：根据正、负数的意义列式计算即可得解．
解：加工要求最大不超过标准尺寸0.05mm，为9.05mm，最小不小于标准尺寸0.05mm，为8.95mm．
总结升华：此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
14．−29与绝对值等于43的数的和等于 109或−149 ．
思路引领：先求出绝对值是的43数，再求−29与绝对值等于的43数的和．
解：绝对值等于43的数±43，
①−29+43=109
②−29+（−43．）=−149．
故答案为：109或−149．
总结升华：本题考查绝对值的概念，难度层次为中等题，注意已知一个数的绝对值要求这个数，有两种情况，因为互为相反数的两个数的绝对值相等．
15．（北京校级期中）绝对值大于2.1而小于4.9的所有整数有 ．
思路引领：首先根据有理数大小比较的方法，判断出绝对值大于2.1而小于4.9的所有整数的绝对值等于3或4；然后根据绝对值的含义和求法，可得绝对值大于2.1而小于4.9的所有整数有﹣4、﹣3、3、4，据此解答即可．
解：∵绝对值大于2.1而小于4.9的所有整数的绝对值等于3或4，
∴绝对值大于2.1而小于4.9的所有整数有﹣4、﹣3、3、4．
故答案为：﹣4、﹣3、3、4．
总结升华：（1）此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
16．近似数3.895×106的准确值用a表示，则a的范围是 ．
思路引领：根据四舍五入取近似数的方法，即当万分位大于或等于5时，则应进1；当万分位小于5时，则应舍去，从而得出答案．
解：近似数3.895×106的准确值用a表示，则a的范围是3.8945×106≤a＜3.8955×106；
故答案为：3.8945×106≤a＜3.8955×106．
总结升华：本题考查了近似数，准确数在约数减去比原来的约数多一位小数的最末位为5的小数和约数加上比原来的约数多一位小数的最末位为5的小数之间，包括小数，不包括大数．
17．（2016秋•宜兴市期中）一列数a1，a2，a3，…，其中a1=12，an=11−an−1（n为不小于2的整数），则a2016的值为（ ）
A．12 B．2 C．﹣2 D．﹣1
思路引领：根据通项公式可以依次求出前几个数，发现每三个数为一个循环，依次为12、2、﹣1，用2016÷3根据商和余数确定结果，如果余数为1，是12；如果余数为2，是2，如果整除是﹣1，从而得出结论．
解：由通项公式a1=12，an=11−an−1依次代入得：
a1=12，
a2=11−12=2，
a3=11−2=−1，
a4=11−(−1)=12，
a5=11−12=2，
…
发现，每三个数为一个循环，
2016÷3＝672，
则a2016的值为﹣1；
故选：D．
总结升华：本题是数字类的变化规律题，认真观察、仔细思考，注意从第一个数开始依次计算，善用联想是解决这类问题的方法．
18．（2019秋•泰安期中）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式a+ba+b−c+m2−cd的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
思路引领：根据a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，可以求得所求式子的值．
解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m2＝4，
∴a+ba+b−c+m2−cd
=00−c+4−1
＝0+4﹣1
＝3，
故选：C．
总结升华：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
19．若m＜0，n＞0，且m+n＜0，比较m、n、﹣m、﹣n、m﹣n、n﹣m的大小（用“＜”号连接）
思路引领：由于m＜0，n＞0，且m+n＜0，则|m|＞n，易得m＜﹣n，﹣m＞n，m﹣n＜m，n﹣m＞n．
解：∵m＜0，n＞0，且m+n＜0，
∴|m|＞n，
∴m＜﹣n，﹣m＞n，
∴m﹣n＜m，n﹣m＞n，
∴m、n、﹣m、﹣n、m﹣n、n﹣m的大小关系为m﹣n＜m＜﹣n＜n＜﹣m＜n﹣m．
总结升华：本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
20．（2022秋•句容市月考）计算：
（1）（﹣1.6）+（﹣2.5）+（﹣2.3）+2.5；
（2）14﹣25+11−16；
（3）（﹣2）×（﹣5）÷（﹣5）+9；
（4）﹣5+6÷（﹣2）×13；
（5）（1−16+34）×（﹣48）；
（6）18×（23）+13×23−4×23；
（7）14÷（5）×53（0.81）；
（8）−991819×5．
思路引领：（1）利用加法的运算律解答即可；
（2）利用加法的运算律解答即可；
（3）先算乘除，再算加法；
（4）先算乘除，再算加法；
（5）利用乘法的分配律解答即可；
（6）利用乘法的分配律解答即可；
（7）将乘除法统一成乘法，利用乘法法则运算即可；
（8）将带分数适当变形后利用乘法的分配律解答即可．
解：（1）原式＝（﹣2.5+2.5）+（﹣1.6﹣2.3）
＝0+（﹣3.9）
＝﹣3.9；
（2）原式＝（14+11﹣25）﹣16
＝0﹣16
＝﹣16；
（3）原式＝10÷（﹣5）+9
＝﹣2+9
＝7；
（4）原式＝﹣5+（﹣3）×13
＝﹣5+（﹣1）
＝﹣6；
（5）原式＝1×（﹣48）−16×（﹣48）+34×（﹣48）
＝﹣48+8﹣36
＝﹣（48+36）+8
＝﹣84+8
＝﹣76；
（6）原式=23×（18+13﹣4）
=23×27
＝18；
（7）原式＝14×15×53×81100
=18950；
（8）原式＝（﹣100+119）×5
＝﹣100×5+119×5
＝﹣500+519
＝﹣4991419．
总结升华：本题主要考查了有理数的混合运算，正确利用有理数的混合运算的法则解答是解题的关键．
21．（2015秋•庐江县期末）去年“十•一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）
日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
人数变化（万人）
+1.6
+0.8
+0.4
﹣0.4
﹣0.8
+0.2
﹣1.4
（1）请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？
（2）若9月30日游客人数为3万人，门票每人次200元，2%的游客符合免费条件，8%的游客符合减半收费条件，求该风景区7天门票总收入是多少万元？
思路引领：（1）根据有理数的加减法，即可解答；
（2）计算出7天的总人数，再根据有理数的乘法，即可解答．
解：（1）根据题意，10月3日游客最多，比9月30日多：1.6+0.8+0.4＝2.8（万人），
10月7日游客最少，比9月30日多，
1.6+0.8+0.4﹣0.4﹣0.8+0.2﹣1.4＝0.4（万人），
最多与最少相差：2.8﹣0.4＝2.4（万人）．
（2）根据题意10月1日至10月7日游客人数分别是：
3+1.6＝4.6（万人），4.6+0.8＝5.4（万人），5.4+0.4＝5.8（万人），5.8﹣0.4＝5.4（万人），5.4﹣0.8＝4.6（万人），4.6+0.2＝4.8（万人），
4.8﹣1.4＝3.4（万人），
7天游客的总数是：4.6+5.4+5.8+5.4+4.6+4.8+3.4＝34（万人），
7天门票的总收入是：100×34×8%+200×34×90%＝6392（万元）．
总结升华：本题考查了正数和负数，解决本题的关键是利用有理数的加法进行计算．
22．（2015秋•庆元县校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A．B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|．（思考一下，为什么？），利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是 （列式表示），如果|AB|＝2，那么x的值为 ；
（3）说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义 ，该式取的最小值是： ．
思路引领：（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．
（3）根据绝对值的性质，可得到一个一元一次不等式组，通过求解，就可得出x的取值范围．
解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|＝3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|＝3．数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|＝4．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3．
（3）|x+1|+|x+2|表示的几何意义是：数轴上表示的点x到﹣1和﹣2两点的距离和，
当﹣2≤x≤﹣1时，代数式|x+1|十|x+2|＝﹣x﹣1+x+2＝1，则最小值为1．
故答案为：3，3，4；|x+1|，1或﹣3；数轴上表示的点x到﹣1和﹣2两点的距离和，1．
总结升华：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，数形结合是解答此题的关键．
23．（江岸区校级期中）已知实数a、b、c满足（a+b）（b+c）（c+a）＝0且abc＜0．则代数式a|a|+b|b|+c|c|的值是 ．
思路引领：根据（a+b）（b+c）（c+a）＝0可得a+b＝0或b+c＝0或a+c＝0，再由abc＜0得abc中有一个或三个负数，从而得出答案．
解：∵（a+b）（b+c）（c+a）＝0，
∴a+b＝0或b+c＝0或a+c＝0，
即a＝﹣b或b＝﹣c或c＝﹣a；
∵abc＜0，且a，b，c中一定有正数，
∴abc中负因数的个数为1，
∴a|a|+b|b|+c|c|=1；
故答案为：1．
总结升华：本题考查了代数式的值，绝对值的计算，是基础知识要熟练掌握．
24．（2021•云南模拟）观察下列算式：1×5+4＝32，2×6+4＝42，3×7+4＝52，4×8+4＝62，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空： × + ＝502，第n个式子呢？ ．
思路引领：观察一系列等式，归纳总结即可得到结果．
解：∵1×5+4＝32，2×6+4＝42，3×7+4＝52，4×8+4＝62，
∴48×52+4＝502；
∴第n个式子为：n（n+4）+4＝n2+4n+4＝（n+2）2．
故答案为：48；52；4；n（n+4）+4＝（n+2）2．
总结升华：此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
专题08 期末复习（一）有理数（解析版）
第一部分 学案
知识点一：有理数的概念、及其分类；
1．（盐城中考）如果收入50元，记作+50元，那么支出30元记作（ ）
A．+30元 B．﹣30元 C．+80元 D．﹣80元
思路引领：收入为“+”，则支出为“﹣”，由此可得出答案．
解：∵收入50元，记作+50元，
∴支出30元记作﹣30元．
故选：B．
总结升华：本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．（2021秋•宁国市校级月考）下列说法不正确的是（ ）
A．有最小的正整数，没有最小的负整数
B．一个整数不是奇数，就是偶数
C．如果a是有理数，2a就是偶数
D．正整数、负整数和零统称整数
思路引领：根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）．
解：A、有最小的正整数，没有最小的负整数，正确；
B、一个整数不是奇数，就是偶数，正确；
C、如果a是0.1，2a不是偶数，故本选项错误；
D、正确．
故选：C．
总结升华：认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
3．（2016秋•鼓楼区校级月考）把下列各数填在相应的大括号里．
+8，0.275，﹣|﹣2|，0，﹣1.04，﹣（﹣10），0.1010010001…，﹣（﹣22），227，−13，+34，0.1⋅
正整数集合{ …}
整数集合{ …}
负整数集合{ …}
正分数集合{ …}
有理数集合{ …}
无理数集合{ …}．
思路引领：根据实数的分类有理数整数正整数0负整数分数正分数负分数无理数进行分类即可．
解：正整数集合{+8，﹣（﹣10），﹣（﹣22）…}
整数集合{+8，﹣|﹣2|，0，﹣（﹣10），…，﹣（﹣22），…}
负整数集合{﹣|﹣2|…}
正分数集合{ 0.275，227，+34，0.1⋅，…}
有理数集合{+8，0.275，﹣|﹣2|，0，﹣1.04，﹣（﹣10），﹣（﹣22），227，−13，+34，0.1⋅⋯}
无理数集合{ 0.1010010001…，…}．
故答案为：+8，﹣（﹣10），﹣（﹣22）；+8，﹣|﹣2|，0，﹣（﹣10）；﹣（﹣22）；﹣|﹣2|；0.275，227，+34，0.1⋅；+8，0.275，﹣|﹣2|，0，﹣1.04，﹣（﹣10），﹣（﹣22），227，−13，+34，0.1⋅； 0.1010010001…．
总结升华：此题主要考查了实数，关键是掌握实数的分类．
知识点二：数轴及其应用；
4．（2021秋•寿光市期中）比较大小：
请将下列各数表示在数轴上，并用“＜”连接．
3，−12，0，﹣312，﹣3，﹣1.5，﹣4．
思路引领：首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来即可．
解：，
﹣4＜﹣312＜−3＜﹣1.5＜−12＜0＜3．
总结升华：此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及在数轴上表示数的方法，要熟练掌握．
5．（2021秋•浉河区校级月考）如图，A，B，C三点在数轴上，点A表示的数为﹣10，点B表示的数为14，点C到点A和点B之间的距离相等．
（1）求A，B两点之间的距离；
（2）求C点对应的数；
（3）甲、乙分别从A，B两点同时相向运动，甲的速度是每秒运动1个单位长度，乙的速度是每秒运动2个单位长度，求相遇点D对应的数．
思路引领：（1）由数轴直接求AB的距离即可；
（2）设C点对应的数是x，由CA＝CB，列出方程x﹣（﹣10）＝14﹣x，求出x即可求解；
（3）设相遇的时间是t秒，由题意可得t+2t＝24，求出t的值，即可知甲走了8个单位长度到D点，相遇点D对应的数为﹣2．
解：（1）∵点A表示的数为﹣10，点B表示的数为14，
∴AB＝|14﹣（﹣10）|＝24，
∴A，B两点之间的距离为24；
（2）设C点对应的数是x，
∵CA＝CB，
∴x﹣（﹣10）＝14﹣x，
解得x＝2，
∴C点对应的数是2；
（3）设相遇的时间是t秒，
由题意可得t+2t＝24，
解得t＝8，
∴甲走了8个单位长度到D点，相遇点D对应的数为﹣2．
总结升华：本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键．
知识点三：相反数
6．（瑞金市校级月考）﹣|﹣1|的相反数是 1 ，﹣（﹣318）的倒数是 825 ，绝对值是 318 ．
思路引领：利用倒数，相反数及绝对值的定义求解即可．
解：﹣|﹣1|的相反数是1，﹣（﹣318）的倒数是825，绝对值是318．
故答案为：1，825，318．
总结升华：本题主要考查了倒数，相反数及绝对值，解题的关键是熟记倒数，相反数及绝对值的定义．
7．（2021秋•青州市校级月考）有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，把﹣a，﹣b，﹣c用“＜”连接起来 ．
思路引领：根据图示，可得：b＜a＜c，据此把﹣a，﹣b，﹣c用“＜”连接起来即可．
解：根据图示，可得：b＜a＜c，
∴﹣c＜﹣a＜﹣b．
故答案为：﹣c＜﹣a＜﹣b．
总结升华：此题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
8．（2021•东河区二模）若−12的倒数与m+4互为相反数，那么m的值是（ ）
A．m＝1 B．m＝﹣1 C．m＝2 D．m＝﹣2
思路引领：根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
解：−12的倒数与m+4互为相反数，得
m+4＝2，
解得m＝﹣2，
故选：D．
总结升华：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
9．（鞍山期末）已知a、b互为相反数，且|a﹣b|＝6，则|b﹣1|的值为（ ）
A．2 B．2或3 C．4 D．2或4
思路引领：根据互为相反数的两数和为0，又因为|a﹣b|＝6，可求得b的值，代入即可求得结果判定正确选项．
解：∵a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵|a﹣b|＝6，
∴b＝±3，
∴|b﹣1|＝2或4．
故选：D．
总结升华：此题把相反数和绝对值的运算结合求解．先根据相反数求出b的值，再确定绝对值符号中代数式的正负，去绝对值符号．
10．若a与2b互为相反数，试用含a的式子表示b为 −a2 ．
思路引领：根据相反数的定义列代数式．
解：依题意得：a+2b＝0，
则b=−a2．
故答案是：−a2．
总结升华：考查了列代数式．注意：含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
11．在数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是12.8，则这两点所表示的数分别是 ， ．
思路引领：直接利用相反数的定义进而得出答案．
解：∵点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是12.8，
∴这两点所表示的数分别是：﹣6.4，6.4．
故答案为：﹣6.4，6.4．
总结升华：此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．
12．（2017秋•东台市月考）（1）已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x的绝对值为2，求﹣2mn+a+bm−n−x2的值．
（2）如图所示，化简|a﹣c|+|a﹣b|+|c|．
思路引领：（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出a+b，mn以及x2的值，代入原式计算即可得到结果；
（2）根据数轴上点的位置确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
解：（1）根据题意得：a+b＝0，mn＝1，|x|＝2，则x2＝4，
所以原式＝﹣2+0﹣4＝﹣6；
（2）∵c＜a＜0＜b，
∴a﹣c＞0，a﹣b＜0，
∴原式＝a﹣c﹣a+b﹣c＝b﹣2c．
总结升华：此题考查了整式数的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了代数式求值．
知识点四：绝对值
13．|a|＝2，|b|＝5，且a＞b，则a+b的值是（ ）
A．3或﹣3 B．﹣3或﹣7 C．﹣7 D．7
思路引领：首先利用绝对值的意义，由a＞b确定a，b的值，然后代入即可．
解：∵|a|＝2，|b|＝5，
∴a＝±2，b＝±5，
∵a＞b，
∴a＝±2，b＝﹣5，
当a＝2，b＝﹣5时，a+b＝﹣3；
当a＝﹣2，b＝﹣5时，a+b＝﹣7．
故选：B．
总结升华：本题主要考查了绝对值的意义，根据条件确定a，b的取值范围是解答此题的关键．
14．（2019秋•碑林区期中）【探索发现】由绝对值的定义可得，数轴上表示数a的点到原点的距离为|a|．小丽进一步探究发现，在数轴上，表示3和5的两点之间的距离为|5﹣3|＝2；表示﹣3和5的两点之间的距离为|﹣3﹣5|＝8；表示﹣3和﹣5的两点之间的距离为|﹣3﹣（﹣5）|＝2．
【概括总结】根据以上过程可以得出：数轴上，表示数a和数b的两点之间的距离为 ．
【问题解决】
（1）若|x﹣5|＝3，则x＝ ；
（2）若|x+3|+|x﹣5|＝10，则x＝ ；
（3）若|x+3|+23|x﹣5|＝10，则x＝ ．
思路引领：概括总结：根据求两点之间距离的方法可得答案；
（1）根据与5之间的距离是3的数，可得答案；
（2）根据数轴上的点到﹣3与到5之间的距离和为10可得答案；
（3）根据数轴上的点到﹣3与到5之间距离的23之和为10可得答案．
解：概括总结：数轴上，表示数a和数b的两点之间的距离为|a﹣b|，
故答案为：|a﹣b|；
（1）∵|x﹣5|＝3，
∴x与数轴上表示5的点的距离是3，
∴x＝2或8．
故答案为：2或8；
（2）∵|x+3|+|x﹣5|＝10，
∴x到﹣3与x到5的距离和为10，
∵﹣3与5之间的距离是8，
∴x＜﹣3或x＞5，
当x＜﹣3时，原式＝﹣x﹣3﹣x+5＝2﹣2x＝10，解得x＝﹣4；
当x＞5时，原式＝x+3+x﹣5＝2x﹣2＝10，解得x＝6．
故答案为：﹣4或6；
（3）由（2）得，x＜﹣3或x＞5，
当x＜﹣3时，原式＝﹣x﹣3−23x+103=13−53x＝10，解得x=−295；
当x＞5时，原式＝x+3+23x−103=53x−13=10，解得x=315．
故答案为：−295或315．
总结升华：此题综合考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值的有关内容，解题的关键是正确理解题意给出的距离的定义，本题属于基础题型．
15．若a+1+|b−1|=0，则a+b＝ ．化简：(3−π)2= ．
思路引领：先根据非负数的性质求出ab的值，再求出a+b的值即可；先判断出3﹣π的符号，再把原式进行化简即可．
解：∵a+1+|b−1|=0，
∴a+1＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣1，b＝1，
∴+b＝﹣1+1＝0；
∵π≈3.14，
∴3﹣π＜0，
∴原式＝π﹣3．
故答案为：0，π﹣3．
总结升华：本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知π≈3.14是解答此题的关键．
16．（2021秋•海淀区校级期中）若|a|＝4，|b|＝2，且|a+b|＝a+b，那么a﹣b的值只能是（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．2或6
思路引领：根据|a|＝4，|b|＝2，且|a+b|＝a+b，即可确定a，b的值，从而求解．
解：∵|a|＝4，|b|＝2
∴a＝±4，b＝±2
又∵|a+b|＝a+b，则a+b≥0
∴a＝4，b＝2或a＝4，b＝﹣2
当a＝4，b＝2时，a﹣b＝4﹣2＝2；
当a＝4，b＝﹣2时，a﹣b＝4+2＝6．
故选：D．
总结升华：本题主要考查了绝对值的性质，若x≠0，且|x|＝a，则x＝±a，根据任何数的绝对值一定是非负数，正确确定a，b的值，是解决本题的关键．
17．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题：
（1）当a＝ 4 时，|a﹣4|有最小值，此时最小值为 ．
（2）当a取何值时，|a﹣1|+3有最小值？这个最小值是多少？
（3）当a取何值时，4﹣|a|有最大值？这个最大值是多少？
思路引领：根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得a﹣4＝0时，|a﹣4|有最小值，由此即可求解；要使|a﹣1|+3有最小值，则|a﹣1|要取最小，即a﹣1＝0，由此即可求解；要使4﹣|a|有最大值，则|a|取最小值，结合|a|≥0即可求解．
解：任何数的绝对值都大于等于0．
（1）当a＝4时，|a﹣4|有最小值，此时最小值为0．
故答案为：4，0．
（2）当a＝1时，此时a﹣1＝0，则|a﹣1|+3有最小值，这个最小值是3；
（3）当a＝0时，4﹣|a|有最大值，这个最大值是4．
总结升华：本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键．
18．若3+|x﹣4|有最小值，则x＝ ；若4﹣|m﹣n|有最大值，则m，n的关系是 ．
思路引领：直接利用绝对值的性质分析得出答案．
解：3+|x﹣4|有最小值，则x﹣4＝0，故x＝4；
若4﹣|m﹣n|有最大值，则m﹣n＝0，故m，n的关系是：m＝n．
故答案为：4，m＝n．
总结升华：此题主要考查了非负数的性质，正确利用绝对值的性质分析是解题关键．
19．（广州期中）已知a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|．
思路引领：根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
解：∵c＞d＞0＞b＞a，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，
原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+2b+2c．
总结升华：此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
知识点五：比较有理数的大小
20. 比大小：
解：＜，＞，＞，＞，＜，＝
知识点六：科学记数法和近似数．
21．（2013•邵阳）据邵阳市住房公积金管理会透露，今年我市新增住房公积金11.2亿元，其中11.2亿元可用科学记数法表示为（ ）
A．11.2×108元 B．1.12×109元
C．11.2×1010元 D．11.2×107元
思路引领：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于11.2亿有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝9．
解：11.2亿＝1 120 000 000＝1.12×109．
故选：B．
总结升华：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
22．（2021秋•集贤县期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到千分位） D．0.0502（精确到0.0001）
思路引领：A、精确到0.1就是保留小数点后一位，因为小数点后第二位是5，进一得0.1；
B、精确到百分位，就是保留小数点后两位，因为小数点后第三位是0，舍，得0.05；
C、精确到千分位，就是保留小数点后三位，因为小数点后第四位是1，舍，得0.050；
D、精确到0.0001，就是保留小数点后四位，因为小数点后第五位是9，进一，得0.0502；
解：A、0.05019≈0.1（精确到0.1），所以此选项正确；
B、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以此选项正确；
C、0.05019≈0.050（精确到千分位），所以此选项错误；
D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以此选项正确；
本题选择错误的，故选：C．
总结升华：本题考查了根据精确度取近似数，精确度可以是“十分位（0.1）、百分位（0.01）、千分位（0.0010”等，按四舍五入取近似数，只看精确度的后一位数．
23．某市2021年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入法取近似值后为31.27亿元，那么这个数值（ ）
A．精确到亿位 B．精确到百分位
C．精确到百万位 D．精确到千万位
思路引领：近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，由此进一步判定得出答案即可．
解：∵31.27亿末尾数字7是百万位，
∴35.27亿精确到百万位．
故选：C．
总结升华：本题考查了近似数的确定，熟悉数位是解题的关键．
知识点七：有理数的基本计算
24．（2021秋•柳南区期末）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．|a|＞|b| D．a+b＞0
思路引领：本题依据实数的绝对值，相反数，加减运算的定义即可判断．
解：A、在数轴上的两个实数，右面的实数总是大于左面的实数．故A不符合题意．
B、﹣a即a的相反数在b的右面，所以﹣a＞b．故B不符合题意．
C、绝对值的实际意义为一个点距离远点的距离，明显a点距离远点更远，所以|a|＞|b|．故C符合题意．
D、a+b为异号两数相加，取绝对值较大数a的符号即a+b＜0．故D不符合题意．
故选：C．
总结升华：本题主要考查数值的大小比较，关键需要掌握数轴，相反数，绝对值的应用．
25．（2020秋•海淀区校级期中）如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数（ ）
A．都是负数
B．都是正数
C．一正一负，且负数的绝对值大
D．一正一负，且正数的绝对值大
思路引领：两个数的积为负数说明这两数异号，和也为负数说明这两数中负数的绝对值大．
解：∵两个数的积为负数，
∴这两数异号；
又∵和也为负数，
∴这两数中负数的绝对值较大．
故选：C．
总结升华：本题主要考查了有理数的加法与乘法的符号法则．
两数相乘，异号得负；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号．
26．（2022秋•江阴市期中）设m为一个有理数，则|m|+m一定是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
思路引领：m为有理数，则|m|≥0，由于m的值不确定，所以应分三种情况进行讨论．
解：∵m为有理数，
∴|m|≥0，
当m＞0，|m|+m＝m+m＝2m＞0；
当m＜0，|m|+m＝﹣m+m＝0；
当m＝0，|m|﹣m＝0﹣0＝0．
综上所述，当m为有理数时，|m|+m一定是非负数．
故选：C．
总结升华：本题通过求代数式的值考查了绝对值的代数意义，正数的绝对值等于其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于其相反数．
27．（2020秋•长安区校级期中）若a＝﹣2×32，b＝（﹣2×3）2，c＝﹣（2×4）2，则下列大小关系中正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
思路引领：先计算出各数的值，再比较出其大小即可．
解：a＝﹣2×32＝﹣18，b＝（﹣2×3）2＝36，c＝﹣（2×4）2＝﹣64，
∵﹣64＜﹣18＜36，
∴b＞a＞c．
故选：C．
总结升华：本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数比较大小的法则是解答此题的关键．
28．（2016秋•海淀区校级期中）计算（﹣2）11﹣（﹣2）10等于（ ）
A．﹣2 B．（﹣2）21 C．﹣3×210 D．﹣210
思路引领：根据幂的乘方和合并同类项可以解答本题．
解：（﹣2）11﹣（﹣2）10
＝（﹣2）11﹣210
＝（﹣2）×（﹣2）10﹣（﹣2）10
＝[（﹣2）﹣1]×（﹣2）10
＝﹣3×210
故选：C．
总结升华：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
29．填空：
（1）若a＞0，b＞0，那么a+b 0．
（2）若a＜0，b＜0，那么a+b 0．
（3）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，那么a+b 0．
（4）若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a+b 0．
（5）如果ab＞0，a+b＞0，则a ，b ．
思路引领：原式利用有理数的加法，乘法法则判断即可．
解：（1）若a＞0，b＞0，那么a+b＞0；
（2）若a＜0，b＜0，那么a+b＜0；
（3）若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，那么a+b＞0；
（4）若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a+b＜0；
（5）如果ab＞0，a+b＞0，则a＞0，b＞0，
故答案为：（1）＞；（2）＜；（3）＞；（4）＜；（5）＞0，＞0
总结升华：此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
30．（2021秋•冷水滩区校级月考）如果a2＝16，那么a等于（ ）
A．4 B．﹣4 C．16 D．±4
思路引领：根据平方根的性质求解即可．
解：∵a2＝16，
∴a＝±4，
故选：D．
总结升华：本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．
31．（2018春•香坊区校级期中）如果x＜0，y＞0且x2＝9，|y|＝2，那么x+y＝ ．
思路引领：直接利用平方的意义和绝对值的性质得出x，y的值，进而得出答案．
解：∵x＜0，y＞0且x2＝9，|y|＝2，
∴x＝﹣3，y＝2，
故x+y＝﹣3+2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
总结升华：此题主要考查了有理数的加法以及绝对值的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
知识点八：有理数混合运算
有理数混合运算顺序：1．先乘方，再乘除，最后加减；
2．同级运算，从左到右进行；
3．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行
32．（2017秋•昌平区校级期中）（1）（﹣1.5）+414+2.75+(−512)
（2）312−(−13)+223+(−12)
（3）(−56+23−34)÷112
（4）1÷（﹣3）×（−13）
（5）（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4
（6）﹣14﹣（1﹣0.5）×13×[2−(−3)2]．
思路引领：（1）运用加法的交换律和结合律简便计算即可；
（2）运用加法的交换律和结合律简便计算即可；
（3）除法转化为乘法后，利用乘法分配律计算可得；
（4）除法转化为乘法，再计算乘法即可得；
（5）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（6）根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
解：（1）原式＝﹣1.5+4.25+2.75﹣5.5
＝﹣7+7
＝0；
（2）原式＝312−12+13+223
＝3+3
＝6；
（3）原式＝（−56+23−34）×12
＝﹣10+8﹣9
＝﹣11；
（4）原式＝1×（−13）×（−13）=19；
（5）原式＝1×2+（﹣8）÷4
＝2﹣2
＝0；
（6）原式＝﹣1−12×13×（﹣7）
＝﹣1+76
=16．
总结升华：本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
有理数运算应用
33．（2021秋•宣威市校级月考）某商店以32元的价格购进30个茶杯，针对不同的顾客，30个茶杯的售价不完全相同，若以47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表所示：
售出个数
7
6
3
5
4
5
售价（元）
+3
+2
+1
0
﹣1
﹣2
该超市售完这30个茶杯后，赚了多少钱？
思路引领：首先求出总售价的变化，再求出按标准售价进行出售所赚的钱数，加在一起就是最后赚的钱数．
解：7×3+6×2+3×1+5×0+4×（﹣1）+5×（﹣2）
＝21+12+3+0﹣4﹣10
＝22（元），
（47﹣32）×30+22
＝15×30+22
＝472（元）．
答：该超市售完这30个茶杯后，赚了472元．
总结升华：本题主要考查了正数与负数的意义，让学生理解正数与负数只是一种“记法”，理解“记法”与原数之间的关系是解题的关键，注意认真总结．
34．（2017秋•鼓楼区校级期中）探究题：定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[﹣π]＝﹣4
（1）如果[a]＝﹣2，那么a可以是 ．
A．﹣1.5 B．﹣2.5 C．﹣3.5 D．﹣4.5
（2）如果[x+12]＝3，则整数x＝ ．
（3）如果[﹣1.6−16[x+12]]＝﹣3，满足这个方程的整数x共有 个．
思路引领：（1）根据新定义解答即可得；
（2）由新定义得出3≤x+12＜4，解之可得答案；
（3）令[x+12]＝y，得[﹣1.6−16y]＝﹣3，即﹣3≤﹣1.6−16y＜﹣2，解之得出整数y的值，从而有[x+12]＝3、4、5、6、7、8，再进一步求解可得．
解：（1）根据题意知，[a]＝﹣2表示不超过a的最大整数，
∴a可以是﹣1.5，
故选：A；
（2）根据题意得3≤x+12＜4，
解得：5≤x＜7，
则整数x＝5或6，
故答案为：5或6；
（3）令[x+12]＝y，
则原方程可变形为[﹣1.6−16y]＝﹣3，
∴﹣3≤﹣1.6−16y＜﹣2，
解得：2.4＜y≤8.4，
则y可取的整数有3、4、5、6、7、8，
若y＝3，则3≤x+12＜4，解得：5≤x＜7，其整数解有5、6；
若y＝4，则4≤x+12＜5，解得：7≤x＜9，其整数解有7、8；
若y＝5，则5≤x+12＜6，解得：9≤x＜11，其整数解有9、10；
若y＝6，则6≤x+12＜7，解得：11≤x＜13，其整数解有11、12；
若y＝7，则7≤x+12＜8，解得：13≤x＜15，其整数解有13、14；
若y＝8，则8≤x+12＜9，解得：15≤x＜17，其整数解有15、16；
∴满足这个方程的整数x共有12个，
故答案为：12．
总结升华：本题主要考查解一元一次不等式组，理解新定义将方程转化为不等式组求解是解题的关键．
35．（ 西城区校级期中）阅读理解题：
对于任意由0，1组成的一列数．将原有的每个1变成01，并将每个原有的0变成10称为一次变换．如101经过一次变换成为011001．请你经过思考、操作回答下列问题：
（1）将11变换两次后得到 ；
（2）若100101101001是由某数列两次变换后得到．则这个数列是 ；
（3）一个10项的数列经过两次变换后至少有多少对两个连续相等的数对（即1100）？请证明你的结论；
（4）01经过10次操作后连续两项都是0的数对个数有 个．
思路引领：（1）根据变换规则解答即可得；
（2）逆用变换规则，反向推理可得答案；
（3）由0经过两次变换后得到0110、1经过两次变换后得到1001知10项的数列至少有10对连续相等的数对，根据0101010101经过两次变换后得到0110100101101001…恰有10对连续相等的数对，得出答案；
（4）记数列01为A0，k次变换后数列为Ak，连续两项都是0的数对个数为lk，设Ak中有bk个01数对，Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，可得lk+1＝bk，Ak+1中的01数对有2种产生途径：①由Ak中的1得到；②由Ak中的00得，由此得出k为偶数时，lk关于k的函数表达式，将k＝10代入即可得．
解：（1）将11一次变换得0101，再次变换得10011001，
故答案为：10011001；
（2）100101101001一次变换的原数是011001，再次变换的原数是101，
故答案为：101；
（3）经过两次变换后至少有10对两个连续相等的数对，
∵0经过两次变换后得到0110，1经过两次变换后得到1001，
∴10项的数列至少有10对连续相等的数对，
又∵0101010101经过两次变换后得到0110100101101001…恰有10对连续相等的数对，
∴一个10项的数列经过两次变换后至少有10对两个连续相等的数对；
（4）记数列01为A0，k次变换后数列为Ak，连续两项都是0的数对个数为lk，
设Ak中有bk个01数对，Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，
∴lk+1＝bk，Ak+1中的01数对有2种产生途径：①由Ak中的1得到；②由Ak中的00得到；
根据题意知，Ak中的0和1的个数总是相等，且共有2k+1个，
∴bk+1＝lk+2k，
∴lk+2＝lk+2k，
由A0：0、1可得A1：1、0、0、1，A2：0、1、1、0、1、0、0、1，
∴l1＝1、l2＝2，
当k≥3时，
若k为偶数，lk＝lk﹣2+2k﹣2、lk﹣2＝lk﹣4+2k﹣4、…、l4＝l2+22，
上述各式相加可得lk＝1+22+24+…+2k﹣2=1⋅(1−4k2)1−4=13（2k﹣1），
经检验，k＝2时也满足lk=13（2k﹣1），
∴当k＝10时，l10=13（210﹣1）＝341，
故答案为：341．
总结升华：本题主要考查数列的变化规律及有理数的运算，解题时要认真审题，注意新定义的准确理解，解题时要合理地挖掘题设中的隐含条件，恰当地进行等价转化．
第二部分 配套作业
1．（盐城中考）﹣2、0、1、﹣3四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．﹣3
思路引领：根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小）比较即可．
解：﹣2、0、1、﹣3四个数中，最小的数是﹣3；
故选：D．
总结升华：本题考查了对有理数的大小比较法则的应用，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
2．（2022•川汇区一模）﹣2的相反数是（ ）
A．2 B．−12 C．12 D．﹣2
思路引领：根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变﹣2前面的符号，即可得﹣2的相反数，再与每个选项比较得出答案．
解：由相反数的意义得，﹣2的相反数是2，
故选：A．
总结升华：本题考查了相反数的意义．解题的关键是掌握相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
3．（2021秋•博兴县月考）在数轴上，A、B两点所表示的数分别为﹣2、3，若移动A点到B点，应把A点（ ）个单位长度．
A．向左移动5 B．向右移动5
C．向右移动4 D．向左移动1或向右移动5
思路引领：先根据两点间的距离公式确定移动的距离，再确定移动分析即可求解．
解：3﹣（﹣2）＝5，
故若移动A点到B点，应把A点向右移动5个单位长度．
故选：B．
总结升华：本题考查了数轴的有关内容，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
4．（孝感中考）如图所示，数轴上两点A，B分别表示实数a，b，则下列四个数中最大的一个数是（ ）
A．a B．b C．1a D．1b
思路引领：由于负数小于正数，所以a，1a比b，1b小，在区间（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．
解：∵负数小于正数，
∴1a＜a＜b＜1b，
在区间（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．
所以1b＞b．
故选：D．
总结升华：本题考查知识点为：负数小于正数，在区间（0，1）上的实数的倒数比实数本身大．
5．已知a，b是两个有理数，那么a﹣b与a比较，必定是（ ）
A．a﹣b＞a B．a﹣b＜a
C．a﹣b＞﹣a D．大小关系取决于b
思路引领：本题是对减法法则的考查，减去一个数等于加上它的相反数．
解：a﹣b﹣a＝﹣b，
当b＜0时，﹣b＞0，那么a﹣b＞a；
当b＞0时，﹣b＜0，那么a﹣b＜a．
故选：D．
总结升华：本题是求差的问题．因为减数可能是正数，也可能是负数，所以差与被减数的关系由减数决定．
6．（朝阳区校级期末）已知|m|＝5，|n|＝2，|m﹣n|＝n﹣m，则m+n的值是（ ）
A．7 B．﹣3 C．﹣7或﹣3 D．以上都不对
思路引领：首先根据绝对值的性质可得m＝±5，n＝±2，再根据|m﹣n|＝n﹣m，可得n＞m，进而确定出m、n的值，再计算出答案．
解：∵|m|＝5，|n|＝2，
∴m＝±5，n＝±2，
∵|m﹣n|＝n﹣m，
∴n＞m，
∴①m＝﹣5，n＝2，m+n＝﹣3，
②m＝﹣5，n＝﹣2，m+n＝﹣7，
故选：C．
总结升华：此题主要考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握绝对值的性质，互为相反数的两个数绝对值相等．
7．（2018秋•博山区期中）代数式|x﹣2|+3的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．5
思路引领：根据非负数的性质得出|x﹣2|≥0，得出代数式|x﹣2|+3的最小值．
解：∵|x﹣2|≥0，
∴|x﹣2|+3≥3，
∴代数式|x﹣2|+3的最小值是3，
故选：C．
总结升华：本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
8．（2021秋•涿州市期末）下列各对数中，数值相等的是（ ）
A．（﹣1）3和|﹣1|5 B．（﹣1）2与21 C．（﹣5）2与﹣52 D．﹣35与（﹣3）5
思路引领：根据乘方的意义计算各组式子的值，然后进行判断．
解：A、（﹣1）3＝﹣1，|﹣1|5＝1，所以A选项错误；
B、（﹣1）2＝1，21＝2，所以B选项错误；
C、（﹣5）2＝25，﹣52＝﹣25，所以C选项错误；
D、﹣35＝﹣243，（﹣3）5＝﹣243，所以D选项正确．
故选：D．
总结升华：本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
9．（2021秋•青羊区校级月考）下列计算错误的有（ ）个
（1）（12）2=14（2）﹣52＝25（3）425=1625（4）﹣（−17）2=149（5）（﹣1）9＝﹣1（6）﹣（﹣0.1）3＝0.001
A．3 B．4 C．5 D．6
思路引领：根据有理数的乘方的定义进行解答即可
解：（1）（12）2=14，正确；
（2）﹣52＝﹣25，错误；
（3）425=165，错误；
（4）﹣（−17）2=−149，错误；
（5）（﹣1）9＝﹣1，正确；
（6）﹣（﹣0.1）3＝0.001，正确；
故选：A．
总结升华：本题考查的是有理数的乘方，熟知有理数乘方的法则是解答此题的关键．
10．（2019春•惠安县期中）有理数a、b、c的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．a+b+c＞0 B．|a+b|＜c C．|a﹣c|＝|a|+c D．|b﹣c|＞|c﹣a|
思路引领：由数轴可知a、b为负数，c为正数，根据绝对值的意义，逐一判断．
解：根据数轴可知，
A、a+b+c＜0，本选项错误；
B、|a+b|＞c，本选项错误；
C、|a﹣c|表示数a的点与数c的点之间的距离，可以用|a|+c表示，本选项正确；
D、|b﹣c|＜|c﹣a|，本选项错误．
故选：C．
总结升华：本题考查了绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
11．（2022秋•小店区校级月考）设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则c−ba的值（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2
思路引领：先求出a，b，c的值，再代入计算即可．
解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝0，
∴c−ba=0−−11=0+1＝1，
故选：A．
总结升华：本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握最小的正整数，最大的负整数，绝对值最小的数等概念，求出a，b，c的值．
12．（2021秋•常州期中）在数轴上，与表示数﹣2的点的距离是3的点表示的数是（ ）
A．1 B．5 C．±3 D．1或﹣5
思路引领：设该点为x，再根据数轴上两点间的距离公式进行解答即可．
解：设该点为x，则|x+2|＝3，
解得x＝1或﹣5．
故选：D．
总结升华：本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
13．一种零件的内径尺寸在图纸上是9±0.05（单位：mm），表示这种零件的标准尺寸是9mm，加工要求最大不超过标准尺寸多少？最小不小于标准尺寸多少？
思路引领：根据正、负数的意义列式计算即可得解．
解：加工要求最大不超过标准尺寸0.05mm，为9.05mm，最小不小于标准尺寸0.05mm，为8.95mm．
总结升华：此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
14．−29与绝对值等于43的数的和等于 109或−149 ．
思路引领：先求出绝对值是的43数，再求−29与绝对值等于的43数的和．
解：绝对值等于43的数±43，
①−29+43=109
②−29+（−43．）=−149．
故答案为：109或−149．
总结升华：本题考查绝对值的概念，难度层次为中等题，注意已知一个数的绝对值要求这个数，有两种情况，因为互为相反数的两个数的绝对值相等．
15．（北京校级期中）绝对值大于2.1而小于4.9的所有整数有 ．
思路引领：首先根据有理数大小比较的方法，判断出绝对值大于2.1而小于4.9的所有整数的绝对值等于3或4；然后根据绝对值的含义和求法，可得绝对值大于2.1而小于4.9的所有整数有﹣4、﹣3、3、4，据此解答即可．
解：∵绝对值大于2.1而小于4.9的所有整数的绝对值等于3或4，
∴绝对值大于2.1而小于4.9的所有整数有﹣4、﹣3、3、4．
故答案为：﹣4、﹣3、3、4．
总结升华：（1）此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
（2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
16．近似数3.895×106的准确值用a表示，则a的范围是 ．
思路引领：根据四舍五入取近似数的方法，即当万分位大于或等于5时，则应进1；当万分位小于5时，则应舍去，从而得出答案．
解：近似数3.895×106的准确值用a表示，则a的范围是3.8945×106≤a＜3.8955×106；
故答案为：3.8945×106≤a＜3.8955×106．
总结升华：本题考查了近似数，准确数在约数减去比原来的约数多一位小数的最末位为5的小数和约数加上比原来的约数多一位小数的最末位为5的小数之间，包括小数，不包括大数．
17．（2016秋•宜兴市期中）一列数a1，a2，a3，…，其中a1=12，an=11−an−1（n为不小于2的整数），则a2016的值为（ ）
A．12 B．2 C．﹣2 D．﹣1
思路引领：根据通项公式可以依次求出前几个数，发现每三个数为一个循环，依次为12、2、﹣1，用2016÷3根据商和余数确定结果，如果余数为1，是12；如果余数为2，是2，如果整除是﹣1，从而得出结论．
解：由通项公式a1=12，an=11−an−1依次代入得：
a1=12，
a2=11−12=2，
a3=11−2=−1，
a4=11−(−1)=12，
a5=11−12=2，
…
发现，每三个数为一个循环，
2016÷3＝672，
则a2016的值为﹣1；
故选：D．
总结升华：本题是数字类的变化规律题，认真观察、仔细思考，注意从第一个数开始依次计算，善用联想是解决这类问题的方法．
18．（2019秋•泰安期中）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式a+ba+b−c+m2−cd的值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
思路引领：根据a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，可以求得所求式子的值．
解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，
∴a+b＝0，cd＝1，m2＝4，
∴a+ba+b−c+m2−cd
=00−c+4−1
＝0+4﹣1
＝3，
故选：C．
总结升华：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
19．若m＜0，n＞0，且m+n＜0，比较m、n、﹣m、﹣n、m﹣n、n﹣m的大小（用“＜”号连接）
思路引领：由于m＜0，n＞0，且m+n＜0，则|m|＞n，易得m＜﹣n，﹣m＞n，m﹣n＜m，n﹣m＞n．
解：∵m＜0，n＞0，且m+n＜0，
∴|m|＞n，
∴m＜﹣n，﹣m＞n，
∴m﹣n＜m，n﹣m＞n，
∴m、n、﹣m、﹣n、m﹣n、n﹣m的大小关系为m﹣n＜m＜﹣n＜n＜﹣m＜n﹣m．
总结升华：本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
20．（2022秋•句容市月考）计算：
（1）（﹣1.6）+（﹣2.5）+（﹣2.3）+2.5；
（2）14﹣25+11−16；
（3）（﹣2）×（﹣5）÷（﹣5）+9；
（4）﹣5+6÷（﹣2）×13；
（5）（1−16+34）×（﹣48）；
（6）18×（23）+13×23−4×23；
（7）14÷（5）×53（0.81）；
（8）−991819×5．
思路引领：（1）利用加法的运算律解答即可；
（2）利用加法的运算律解答即可；
（3）先算乘除，再算加法；
（4）先算乘除，再算加法；
（5）利用乘法的分配律解答即可；
（6）利用乘法的分配律解答即可；
（7）将乘除法统一成乘法，利用乘法法则运算即可；
（8）将带分数适当变形后利用乘法的分配律解答即可．
解：（1）原式＝（﹣2.5+2.5）+（﹣1.6﹣2.3）
＝0+（﹣3.9）
＝﹣3.9；
（2）原式＝（14+11﹣25）﹣16
＝0﹣16
＝﹣16；
（3）原式＝10÷（﹣5）+9
＝﹣2+9
＝7；
（4）原式＝﹣5+（﹣3）×13
＝﹣5+（﹣1）
＝﹣6；
（5）原式＝1×（﹣48）−16×（﹣48）+34×（﹣48）
＝﹣48+8﹣36
＝﹣（48+36）+8
＝﹣84+8
＝﹣76；
（6）原式=23×（18+13﹣4）
=23×27
＝18；
（7）原式＝14×15×53×81100
=18950；
（8）原式＝（﹣100+119）×5
＝﹣100×5+119×5
＝﹣500+519
＝﹣4991419．
总结升华：本题主要考查了有理数的混合运算，正确利用有理数的混合运算的法则解答是解题的关键．
21．（2015秋•庐江县期末）去年“十•一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）
日期
10月1日
10月2日
10月3日
10月4日
10月5日
10月6日
10月7日
人数变化（万人）
+1.6
+0.8
+0.4
﹣0.4
﹣0.8
+0.2
﹣1.4
（1）请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？
（2）若9月30日游客人数为3万人，门票每人次200元，2%的游客符合免费条件，8%的游客符合减半收费条件，求该风景区7天门票总收入是多少万元？
思路引领：（1）根据有理数的加减法，即可解答；
（2）计算出7天的总人数，再根据有理数的乘法，即可解答．
解：（1）根据题意，10月3日游客最多，比9月30日多：1.6+0.8+0.4＝2.8（万人），
10月7日游客最少，比9月30日多，
1.6+0.8+0.4﹣0.4﹣0.8+0.2﹣1.4＝0.4（万人），
最多与最少相差：2.8﹣0.4＝2.4（万人）．
（2）根据题意10月1日至10月7日游客人数分别是：
3+1.6＝4.6（万人），4.6+0.8＝5.4（万人），5.4+0.4＝5.8（万人），5.8﹣0.4＝5.4（万人），5.4﹣0.8＝4.6（万人），4.6+0.2＝4.8（万人），
4.8﹣1.4＝3.4（万人），
7天游客的总数是：4.6+5.4+5.8+5.4+4.6+4.8+3.4＝34（万人），
7天门票的总收入是：100×34×8%+200×34×90%＝6392（万元）．
总结升华：本题考查了正数和负数，解决本题的关键是利用有理数的加法进行计算．
22．（2015秋•庆元县校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A．B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|．（思考一下，为什么？），利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A、B之间的距离是 （列式表示），如果|AB|＝2，那么x的值为 ；
（3）说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义 ，该式取的最小值是： ．
思路引领：（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．
（3）根据绝对值的性质，可得到一个一元一次不等式组，通过求解，就可得出x的取值范围．
解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|＝3，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣（﹣5）|＝3．数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣（﹣3）|＝4．
（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3．
（3）|x+1|+|x+2|表示的几何意义是：数轴上表示的点x到﹣1和﹣2两点的距离和，
当﹣2≤x≤﹣1时，代数式|x+1|十|x+2|＝﹣x﹣1+x+2＝1，则最小值为1．
故答案为：3，3，4；|x+1|，1或﹣3；数轴上表示的点x到﹣1和﹣2两点的距离和，1．
总结升华：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，数形结合是解答此题的关键．
23．（江岸区校级期中）已知实数a、b、c满足（a+b）（b+c）（c+a）＝0且abc＜0．则代数式a|a|+b|b|+c|c|的值是 ．
思路引领：根据（a+b）（b+c）（c+a）＝0可得a+b＝0或b+c＝0或a+c＝0，再由abc＜0得abc中有一个或三个负数，从而得出答案．
解：∵（a+b）（b+c）（c+a）＝0，
∴a+b＝0或b+c＝0或a+c＝0，
即a＝﹣b或b＝﹣c或c＝﹣a；
∵abc＜0，且a，b，c中一定有正数，
∴abc中负因数的个数为1，
∴a|a|+b|b|+c|c|=1；
故答案为：1．
总结升华：本题考查了代数式的值，绝对值的计算，是基础知识要熟练掌握．
24．（2021•云南模拟）观察下列算式：1×5+4＝32，2×6+4＝42，3×7+4＝52，4×8+4＝62，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空： × + ＝502，第n个式子呢？ ．
思路引领：观察一系列等式，归纳总结即可得到结果．
解：∵1×5+4＝32，2×6+4＝42，3×7+4＝52，4×8+4＝62，
∴48×52+4＝502；
∴第n个式子为：n（n+4）+4＝n2+4n+4＝（n+2）2．
故答案为：48；52；4；n（n+4）+4＝（n+2）2．
总结升华：此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
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