专题5.1 一元一次方程中的综合（压轴题专项讲练）-七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

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专题5.1 一元一次方程中的综合

【典例1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程2x−1=3和x+1=0为“美好方程”．
（1）请判断方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是否互为“美好方程”；
（2）若关于x的方程x2+m=0与方程3x−2=x+4是“美好方程”，求m的值；
（3）若关于x方程12022x−1=0与12022x+1=3x+k是“美好方程”，求关于y的方程12022(y+2)+1=3y+k+6的解．
【思路点拨】
（1）分别解出两个方程，再根据“美好方程”的定义，即可求解；
（2）分别解出两个方程，再根据“美好方程”的定义，即可求解；
（3）先求出12022x−1=0的解为x=2022，根据“美好方程”的定义，可得方程12022x+1=3x+k的解为：x=−2021，然后把12022(y+2)+1=3y+k+6化为12022(y+2)+1=3(y+2)+k，可得y+2=−2021，即可求解．
【解题过程】
解：（1）是，理由如下：
由4x−(x+5)=1解得x=2；
由−2y−y=3解得：y=−1．
∵−1+2=1
∴方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是“美好方程”．
（2）解：由3x−2=x+4解得x=3；
由x2+m=0解得x=−2m．
∵方程3x−2=x+4与方程x2+m=0是“美好方程”
∴−2m+3=1，
解得m=1．
（3）解：由12022x−1=0解得x=2022；
∵方程12022x−1=0与方程12022x+1=3x+k是“美好方程”
∴方程12022x+1=3x+k的解为：x=1−2022=−2021，
又12022(y+2)+1=3y+k+6可化为12022(y+2)+1=3(y+2)+k
∴y+2=−2021，
解得：y=−2023．


1．（2022·浙江·七年级单元测试）满足方程x+23+x−43=2的整数x有（    ）个
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路点拨】
分类讨论：x≥43，x≤−23，−23 【解题过程】
当x≥43时，原方程为： x+23+x−43=2，得x=43，不合题意舍去；
当x≤−23时，原方程为： −x−23+43−x=2，得x=−23，不合题意舍去；
当−23 故选：C.
2．（2022·河北·邢台市开元中学七年级阶段练习）方程x3+x15+x35…+x2021×2023=1的解是x=（    ）．
A．20212023 B．20232021 C．20231011 D．10112023
【思路点拨】
由13=121−13，115=13×15=1213−15，135=15×17=1215−17，可以得到12n−12n+1=1212n−1−12n+1，然后把方程左边利用拆项法变形后，计算即可求出解．
【解题过程】
解：∵13=121−13，115=13×15=1213−15，135=15×17=1215−17，
∴12n−12n+1=1212n−1−12n+1，
方程变形得：12x1−13+13−15+…+12021−12023=1
即12x1−12023=1，
去分母得：20222023x=2，
解得：x=20231011
故选C．
3．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的一元一次方程3x−5m2−x−m3=19的解，比关于x的一元一次方程﹣2（3x﹣4m）＝1﹣5（x﹣m）的解大15，则m＝（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【思路点拨】
分别求出方程3x−5m2−x−m3=19的解为x=114+13m7，方程−23x−4m=1−5x−m的解为x=3m−1，然后根据题意得到114+13m7=3m−1+15，由此求解即可．
【解题过程】
解：3x−5m2−x−m3=19
去分母得：33x−5m−2x−m=114，
去括号得：9x−15m−2x+2m=114，
移项得：9x−2x=114+15m−2m，
合并得：7x=114+13m，
系数化为1得：x=114+13m7；
−23x−4m=1−5x−m
去括号得：−6x+8m=1−5x+5m，
移项得：−6x+5x=1+5m−8m，
合并得：−x=1−3m，
系数化为1得：x=3m−1；
∵关于x的一元一次方程3x−5m2−x−m3=19的解，比关于x的一元一次方程−23x−4m=1−5x−m的解大15，
∴114+13m7=3m−1+15，
∴114+13m=21m+98，
解得m=2，
故选A．
4．（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程x−38−ax3=x2−1有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ）
A．−11 B．−26 C．−28 D．−30
【思路点拨】
先解方程可得x=703+2a（a≠−32），根据方程的解是负整数可得703+2a是负整数，进而可求解满足条件的所有非负整数a的值，即可求解．
【解题过程】
解：解关于x的方程x−38−ax3=x2−1
得x=703+2a（a≠−32），
∵关于x的方程x−38−ax3=x2−1的解是负整数，
∴703+2a是负整数，
∴2a+3=−1 或2a+3=−5或2a+3=−7或2a+3=−35
即满足条件的所有整数a为-2、-4、-5、-19，
∴满足条件的所有整数a的值的和为-2+（-4）+（-5）+（-19）＝-30，
故答案为：D．
5．（2022·全国·七年级课时练习）若关于x的方程2kx+m3=x−nk6+2，无论k为任何数时，它的解总是x=1，那么m+n=_______．
【思路点拨】
先将x=1代入原方程得，根据无论k为任何数时(4+n)k=13−2m恒成立，可得k的系数为0，由此即可求出答案．
【解题过程】
解：将x=1代入2kx+m3=x−nk6+2，
∴ 2k+m3=1−nk6+2，
∴(4+n)k=13−2m，
由题意可知：无论k为任何数时(4+n)k=13−2m恒成立，
∴n+4=0，
∴n=−4，m=132，
∴m+n=52，
故答案为：52
6．（2022·浙江·七年级专题练习）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号max{a,b,c}表示a，b，c三个数中较大的数，例如max{2,3,4}=4.按照这个规定则方程max{x,−x,0}=3x−2的解为_________．
【思路点拨】
分x<0时，x>0时和x=0时三种情况讨论，列出方程求解即可．
【解题过程】
解：当x<0时，max{x,−x,0}=−x，
即3x−2=−x，解得x=12（不符合题意，舍去）；
当x>0时，max{x,−x,0}=x，
即3x−2=x，解得x=1，
当x=0时，max{x,−x,0}=0，
即3x−2=0，解得x=23（不符合题意，舍去），
综上所述，x=1，
故答案为：x=1．
7．（2022·河北保定·七年级期末）已知关于x的一元一次方程x2020+a=2020x的解为x=2020，那么关于y的一元一次方程1−y2020=2020(1−y)+a的解为________.
【思路点拨】
方程x2020+a=2020x整理得：x2020−2020x=−a，该方程的解是：x=2020；
方程1−y2020=2020(1−y)+a整理得：1−y2020−2020(1−y)=a，令1−y=n，得n=−2020，
得到关于y的一元一次方程可解得答案.
【解题过程】
根据题意得：
方程x2020+a=2020x整理得：x2020−2020x=−a
该方程的解是：x=2020
方程1−y2020=2020(1−y)+a整理得：1−y2020−2020(1−y)=a
令1−y=n
则原方程可以整理得：n2020−2020n=a
则n=−2020，
即1−y=−2020
解得：y=2021
故答案是：2021
8．（2022·全国·七年级课时练习）解关于x的一元一次方程x1×3+x3×5+⋯+x2019×2021=2020．
【思路点拨】
先裂项相消，再根据一元一次方程的解法求解．
【解题过程】
解：x121−13+13−15+⋯+12019−12021=2020，
x121−13+13−15+⋯+12019−12021=2020，
x121−12021=2020，
10102021⋅x=2020，
x=4042．
9．（2022·上海·七年级专题练习）解关于x的方程：（k+1）（k﹣1）x﹣2（k+1）（k+2）＝0．
【思路点拨】
将k看作已知数，按一元一次方程的解法步骤求解即可．
【解题过程】
解：移项，（k+1）（k﹣1）x＝2（k+1）（k+2），
当k+1≠0，且k﹣1≠0，
即当k≠±1时，系数化为1，得x＝2k+1k+2k+1k−1 ，
化简，得x＝2k+4k−1．
当k=1时，方程无解．
当k=-1时，方程有无数解．
10．（2022·全国·七年级课时练习）解方程：|x-3x+1|＝4．
【思路点拨】
利用绝对值的性质，将方程转化为x﹣3x+1＝4或x﹣3x+1＝﹣4，再分情况讨论： 当3x+1＞0时可得到|3x+1|=3x+1；当3x+1＜0时可得到|3x+1|=-3x-1，分别求出对应的方程的解即可．
【解题过程】
解：原方程式化为x-3x+1＝4或x﹣3x+1＝-4，
当3x+1＞0时，即x＞﹣13，
由x-3x+1＝4得
x-3x-1＝4，
∴x＝﹣52 与x＞﹣13 不相符，故舍去；
由x-3x+1＝-4得
x﹣3x﹣1＝﹣4，
∴x＝32，符合题意；
当3x+1＜0时，即x＜﹣13，
由x-3x+1＝4得
x+3x+1＝4，
∴x＝34 与x＜﹣13不相符，故舍去；
由x-3x+1＝-4得
x+3x+1＝﹣4，
∴x＝﹣54，符合题意；
故原方程的解是x＝32或x＝﹣54．
11．（2022·全国·七年级课时练习）如果方程 3x−42−7=2x+13−1 的解与方程 4x−(3a+1)=6x+2a−1 的解相同，求式子 a2−a+1 的值．
【思路点拨】
先解关于x的方程得出x=10，将其代入方程4x-（3a+1）=6x+2a-1求得a的值，继而代入计算可得．
【解题过程】
3x−42−7=2x+13−1
33x−4−42=22x+1−6
9x−12−42=4x+2−6
5x=−4+12+42
x=10
将x=10代入方程 4x−(3a+1)=6x+2a−1
40-（3a+1）=60+2a-1，
解得a=-4．
即a2-a+1=（-4）2-（-4）+1=21．
12．（2022·江苏·七年级单元测试）嘉淇在解关于x的一元一次方程3x−12+¨＝3时，发现正整数¨被污染了；
(1)嘉淇猜¨是2，请解一元一次方程3x−12+2=3；
(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
【思路点拨】
（1）由题意得方程3x−12+2=3，按解一元一次方程的一般步骤求解即可；
（2）设被污染的正整数为m，得方程3x−12+m=3，求解得x=7−2m3，再根据解是正整数求解即可．
【解题过程】
（1）解：3x−12+2=3，
去分母，得3x−1+4=6；
移项，合并同类项，得3x=3；
系数化为1，得x=1．
（2）解：设被污染的正整数为m，
则有3x−12+m=3，
解之得，x=7−2m3，
∵7−2m3是正整数，且m为正整数，
∴m=2．
13．（2021·吉林松原·七年级期末）某同学在解关于y的方程3y−a4−5y−7a6=1去分母时、忘记将方程右边
的1乘以12，从而求得方程的解为y＝10．
（1）求a的值；
（2）求方程正确的解．
【思路点拨】
（1）按照该同学去分母的方法得到3(3y−a)−2(5y−7a)=1，把y=10代入方程，再去括号，移项，合并同类项，把系数化“1”，即可得到答案；
（2）把a=1代入原方程，再按照解一元一次方程的步骤解方程即可.
【解题过程】
解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12，
则原方程变为3(3y−a)−2(5y−7a)=1，
此时方程的解为y=10，
代入得3(30−a)−2(50−7a)=1  
整理得：11a=11,
解得a=1
（2）将a=1代入方程3y−a4−5y−7a6=1，
得3y−14−5y−76=1
去分母：3(3y−1)−2(5y−7)=12
去括号：9y−3−10y+14=12
整理得：−y=1
解得y=−1
即原方程的解为y=−1
14．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）一题多解是培养发散思维的重要方法，方程“6(4x−3)+2(3−4x)=3(4x−3)+5”可以有多种不同的解法．
(1)观察上述方程，假设y=4x−3，则原方程可变形为关于y的方程：_________ ，通过先求y的值，从而可得x=_____；
(2)利用上述方法解方程：3(x−1)−13(x−1)=2(x−1)−12(x+1)．
【思路点拨】
（1）把原方程化为6(4x−3)−2(4x−3)=3(4x−3)+5，再把y=4x−3整体代入求解y，再求解x即可；
（2）把原方程整理为：3(x−1)−13(x−1)=2(x−1)−12(x−1+2)，设x−1=y, 则原方程化为：3y−13y=2y−12(y+2),先求解y，再求解x即可．
【解题过程】
(1)解：设y=4x−3，则原方程可变形为
6y−2y=3y+5,
解得：y=5,
∴4x−3=5,
解得：x=2.
故答案为：6y−2y=3y+5,2
(2)解：3(x−1)−13(x−1)=2(x−1)−12(x+1)
设x−1=y, 则原方程化为：
3y−13y=2y−12(y+2),
去分母得：18y−2y=12y−3(y+2),
整理得：y=−67,
∴x−1=−67,
解得：x=17.
15．（2022·全国·七年级专题练习）解关于x的方程x3+x5+x7＝0，我们也可以这样来解：
（13+15+17）x＝0，
因为13+15+17≠0．
所以方程的解：x＝0．
请按这种方法解下列方程：
(1)x−13+x−15+x−17+x−19＝0；
(2)x−232+x−194+x−156+x−118+x−710＝10．
【思路点拨】
（1）利用乘法的分配律得到（x﹣1）(13+15+17+19)＝0，然后根据等式的性质解方程；
（2）先变形为x−272+x−274+x−276+x−278+x−2710＝0，然后与（1）一样解方程．
【解题过程】
（1）解：∵（x﹣1）(13+15+17+19)＝0，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1；
（2）解：∵x−232+x−194+x−156+x−118+x−710=10，
∴x−232+x−194+x−156+x−118+x−710-10=0，
∴x−232−2+x−194−2+x−156−2+x−118−2+x−710−2＝0，
即x−272+x−274+x−276+x−278+x−2710＝0，
∴（x﹣27）(12+14+16+18+110)＝0，
∴x﹣27＝0，
∴x＝27．
16．（2022·河南·南阳市第九中学校七年级阶段练习）仔细观察下面的解法，请回答为问题．
解方程：3x−12=4x+25−1
解：15x﹣5＝8x+4﹣1，
15x﹣8x＝4﹣1+5，
7x＝8，
x=78．
(1)上面的解法错误有　 　处．
(2)若关于x的方程3x−12=4x+25＋a，按上面的解法和正确的解法得到的解分别为x1，x2，且x2−1x1为非零整数，求|a|的最小值．
【思路点拨】
（1）找出解方程中错误的地方即可；
（2）利用错误的解法与正确的解法求出x1，x2，根据题意确定出a的值，即可得到结果．
【解题过程】
（1）解：正确解法为：3x−12=4x+25−1
去分母得，15x﹣5＝8x+4﹣10，
移项得，15x﹣8x＝4﹣10+5，
合并同类项得，7x＝﹣1，
系数化为1得，x=−17．
可知上面的解法错误有2处；
故答案为：2；
（2）3x−12=4x+25+a，
错误解法为：15x﹣5＝8x+4+a，
移项得：15x﹣8x＝4＋a+5，
合并同类项得：7x＝9+a，
解得：x=79+a，即x1 =79+a；
正确解法为：
去分母得：15x﹣5＝8x+4+10a，
移项合并得：7x＝9+10a，
解得：x=9+10a7，即x2 =9+10a7，
根据题意得：x2 −1x1=9+10a7−9+a7=9a7，
由9a7为非零整数，得到|a|最小值为79．

17．（2021·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学七年级阶段练习）已知，对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定了一种运算：|a bc d|＝ad﹣bc，例如|1 02 −2|＝1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当|2x+1 −4x−1 3|＝19时，求x的值．
【思路点拨】
由新定义得3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，解一元一次方程即可．
【解题过程】
解：∵|abcd|＝ad﹣bc，|2x+1−4x−1 3|＝19，
∴3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，
∴6x+3+4x﹣4＝19，
∴10x＝20，
∴x＝2．
18．（2022·全国·七年级专题练习）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若x0是关于x的一元一次方程的解，y0是关于y的方程的一个解，且x0，y0满足x0+y0=424，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程4x=5x−400的解是x=400，方程y=24的解是y=24或y=−24，当y=24时，满足x0+y0=400+24=424，所以关于y的方程y=24是关于x的一元一次方程4x=5x−400的“航天方程”．
(1)试判断关于y的方程y−1=20是否是关于x的一元一次方程x+403=2x的“航天方程”？并说明理由；
(2)若关于y的方程y−1−3=13是关于x的一元一次方程x−2x−2a3=2a+1的“航天方程”，求a的值．
【思路点拨】
（1）根据新定义的概念进行分析计算；
（2）分别求得两个方程的解，然后根据新定义概念分情况讨论求解．
【解题过程】
解：（1）是，理由如下：x+403=2x，解得：x=403，
y−1=20，解得：y=21或y=−19，
∵403+21=424，
∴关于y的方程y−1=20是关于x的一元一次方程x+403=2x的“航天方程”；
（2）x−2x−2a3=2a+1，
解得：x=4a+3，
y−1−3=13，
解得：y=17或y=−15，
∵关于y的方程y−1−3=13是关于x的一元一次方程x−2x−2a3=2a+1的“航天方程”，
①当4a+3+17=424时，解得：a=101；
②当4a+3−15=424时，解得：a=109，
综上，a的值为101或109．
19．（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 　；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
【思路点拨】
（1 ）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
（2 ）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣12（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再结合x＝n，即可求出m，n的值；
（ 3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝−92，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算即可．
【解题过程】
（1）解：（1 ）解方程3x+k＝0得：
x＝﹣k3，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
∴﹣k3＝3﹣k，
解得：k＝92；
（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：
x＝﹣12（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
∴﹣12（mn+n）＝﹣2+mn+n，
∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，
解得：n＝﹣23，
把n＝﹣23代入mn＝2得：m×（﹣23）＝2，
解得：m＝﹣3；
（3）解：解方程3x＝mn+n得：
x＝mn+n3，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
∴mn+n3＝3+mn+n，
∴mn+n＝−92，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
＝2×（−92）
＝﹣9．
20．（2022·福建福州·七年级期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”．
(1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；
(2)若关于x的方程x﹣x−2m3＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值；
(3)若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的式子表示k．
【思路点拨】
（1）分别解出两个方程，再根据新定义，即可求解；
（2）分别解出两个方程，再根据新定义，得到−3m−4mn2=m，再根据m为正数，即可求解；
（3）分别解出两个方程，再根据新定义，得到m=k−12 ，即可求解．
【解题过程】
（1）解：是，理由如下：
2x＝5x﹣12，
解得：x=4 ，
3（y﹣1）﹣y＝1，
去括号得：3y−3−y=1 ，
解得：y=2 ，
∴x−y=4−2=2 ，
∴关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是“2差解方程”；
（2）解：x﹣x−2m3＝n﹣1，
去分母得：3x−x+2m=3n−3 ，
解得：x=3n−2m−32 ，
2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m
去括号得：2y−4mn−3n+3=m ，
解得：y=4mn+3n+m−32 ，
∵关于x的方程x﹣x−2m3＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，
∴3n−2m−32−4mn+3n+m−32=m，
即−3m−4mn2=m ，
∴−3m−4mn2=m 或−3m−4mn2=−m，
即5m=−4mn 或m=−4mn
∵m为正数，
∴n=−54 或n=−14 ；
（3）解：sx+t＝h，解得：x=ℎ−ts ，
s（y﹣k+1）＝h﹣t，解得：y=ℎ−ts+k−1 ，
∵关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，
∴ℎ−ts+k−1−ℎ−ts=2m，
解得：m=k−12 ，
即m=1±2k．