第十六章 二次根式重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（人教版）

第十六章：二次根式重点题型复习

题型一 求二次根式的值/参数

【例1】（1）______.

（2）______．

【答案】（1）1；（2）

【解析】（1）

（2）

【变式1-1】当时，二次根式的值是______.

【答案】

【解析】把代入得，. 故答案为.

【变式1-2】已知是正整数，是整数，则的最小值为_________．

【答案】18

【解析】∵122＝144，132＝169，

∴，∴．

【变式1-3】按一定规律排列的一列数：，，，，……其中第5个数为______，第个数为_______（为正整数）．

【答案】     ，    

【解析】将转换成之后，可发现各项的分母依次为1，2，3，4，，

可以得出第项的分母就是，故第5项的分母为5；

同时各项的分子中根号内的值依次为3，8，15，24，，

不难发现第项的分子中根号内的值应是，

所以第5项的分子应是，则第个数分子为，

故第5个数为，第个数为.

【变式1-4】若的值为零，则的值为______．

【答案】2

【解析】∵分式的值为零，

∴=0且，

即=0且，解得：．

题型二 二次根式有意义的条件

【例2】求下列二次根式中字母的取值范围．

（1）． （2）． （3）． （4）．

【答案】（1）；（2）为任意实数；（3）；（4）．

【解析】（1），解得：；

（2），解得：为任意实数；

（3）且，解得；

（4），解得．

【变式2-1】当满足_________时，式子有意义．

【答案】

【解析】由题意可得：，

解得：．

【变式2-2】等式成立的条件是___________．

【答案】，

【解析】∵，

∴，．

【变式2-3】若，则=_____________．

【答案】

【解析】 ， ， ，

由，得，即，

，．

【变式2-4】设 ， 均为实数，且 ，求的值．

【答案】

【解析】由题意得 ，，，

解得 ． ．

 ．

题型三 化为最简二次根式

【例3】把下列二次根式化为最简二次根式：

（1）； （2）； （3）； （4）； （5）2（均大于0）．

【答案】（1）  （2）  （3） （4） （5）

【解析】（1）

（2）

（3）

（4）

（5）∵均大于0 ∴．

【变式3-1】下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵是最简二次根式，，，，

∴化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是．故选：C

【变式3-2】已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】根据题意可知，解得：，

∴．故选D．

【变式3-3】化简：化成最简二次根式为______．

【答案】

【解析】∵，

∴，

∴.

【变式3-4】我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（　　）

A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数

【答案】B

【解析】，

所以是型无理数，故选：B．

题型四 已知最简二次根式求参数

【例4】若与最简二次根式能合并成一项，则________．

【答案】

【解析】∵，它与最简二次根式能合并成一项，

∴，

∴．

【变式4-1】化简后与最简二次根式的被开方数相等，则_________.

【答案】5

【解析】，其中被开方数为6；的被开方数为 ，

故有：，则．

【变式4-2】最简二次根式与是同类最简二次根式，则________．

【答案】2

【解析】根据题意得：∴

∵最简二次根式与是同类最简二次根式

∴

∴

∴．

【变式4-3】如果，那么的取值范围是_______．

【答案】

【解析】∵==，

∴，且，

解得.

【变式4-4】若与的小数部分分别为，则______．

【答案】1

【解析】∵，

∴，，

∴，

∴．

题型五 二次根式的乘除运算

【例5】计算：

（1）÷ 

（2）÷ 

（3） 

（4）．

【答案】（1） （2） （3） （4）

【变式5-1】计算：．

【答案】

【解析】解：

，

根据与得：，

∴原式

【变式5-2】=____________；

【答案】

【解析】

；

【变式5-3】比较与的大小（作商法）

【答案】

【解析】解：∵

，

又∵，，

∴．

【变式5-4】观察下面的规律：．

（1）______；

（2）若则______．

【答案】         

【解析】（1），

.

（2），

.

题型六 二次根式的加减运算

【例6】计算

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）（2） （3）

【解析】（1）解：

（2）解：

（3）解：

【变式6-1】计算：

【答案】0

【解析】解：

【变式6-2】若，则的结果是（　　）

A． B．  C． D．

【答案】A

【解析】∵，

∴

．

【变式6-3】已知 ，，则 的值为____（结果精确到 ）．

【答案】

【解析】

=

=

=

.

题型七 二次根式的混合运算

【例7】计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【答案】（1）（2）（3）0（4）

【变式7-1】若，则____________．

【答案】2

【解析】当时，

原式=

=

=

=2.

【变式7-2】化简：．

【答案】

【解析】解：原式

当时，原式

，

当时，原式

．

【变式7-3】已知，求代数式．

【答案】

【解析】解：∵，

∴，

把，代入得：

．

【变式7-4】当时，多项式的值为（    ）

A．3 B． C．1 D．

【答案】D

【解析】 ，

，

，

，

多项式

.

题型八 二次根式的化简求值

【例8】先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【解析】解：原式=

=

=

=

当时，原式=．

【变式8-1】已知x、y为实数，且，则__________．

【答案】

【解析】根据题意得，

，，

∴，，即，，

∴，故答案是.

【变式8-2】若，则化简______ ．

【答案】

【解析】由，得，

∴．

【变式8-3】已知，求下列各式的值；

（1）；

（2）．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）解；∵，

∴，，

∴；

（2）解：∵，

∴．

【变式8-4】已知，，则的值为___________．

【答案】

【解析】∵，，

∴，

∴

.

题型九 二次根式的应用

【例9】如图．从一个大正方形中裁去面积为m2和cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（   ）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2

【答案】D

【解析】∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，

∴大正方形边长为：，

∴大正方形面积为（5）2=50，

∴留下的阴影部分面积和为：50-8-18=24（cm2），故选：D．

【变式9-1】已知一个矩形相邻的两边长分别为a，b，且，．

（1）求此矩形的周长；

（2）求此矩形的面积；

（3）求与此矩形面积相等的正方形的对角线的长．

【答案】（1）（2）4（3）

【解析】（1）解：矩形的周长为：

；

（2）解：矩形的面积：；

（3）解：设正方形的边长为x，则，

∴对角线长为．

【变式9-2】如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．

（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；

（2）求阴影部分的面积．

【答案】（1）正方形ABCD的边长为2，正方形ECFG的边长为4

（2）阴影部分的面积为12

【解析】（1）解：∵正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32，

∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为．

（2）阴影部分的面积为：

.

【变式9-3】若面积为S的矩形两条邻边比为2：3，求矩形的长和宽（用含S的代数式表示）．

【答案】矩形的长为，宽为

【解析】解：设矩形的长为3x，宽为2x．

由题意，得：3x•2x=S

6x2=S

x2．

x1，x2（舍去）．

3x，2x

答：矩形的长为，宽为．

【变式9-4】一个三角形的三边长、、

（1）求它的周长（要求结果化简）

（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．

【答案】（1）；（2）当时，周长

【解析】解：（1）周长

．

（2）当时，周长．