选择性必修 第三册第五章 数列5.4 数列的应用巩固练习

【优编】5.4 数列的应用-1课时练习

一．填空题

1．已知数列满足.且，设，则数列的前100项和为__________;

2．已知为数列的前n项和，，平面内三个不共线的向量满足，若点在同直线上，则_____.

3．已知数列的前项和，数列满足，则数列的前n项和为___________.

4．已知的前项是首项为，公比为的等比数列，当时，．若数列中的项满足，则的前项和为______．

5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱令上二人所得与下三人等问各得几何.”其意思为：已知甲．乙．丙．丁．戊五人分5钱，甲．乙两人所得之和与丙．丁．戊三人所得之和相同，若甲．乙．丙．丁．戊每人所得依次成等差数列问五人各得多少钱?（“钱”是古代的一种重量单位），则丁所得为________钱

6．已知数列，则数列的前项和___________.

7．已知首项大于0的等差数列的公差，且，则_______．

8．已知正项数列的前项和为，若，，则________．

9．已知函数若对于正数，直线与函数的图象恰有个不同的交点，则数列的前n项和为________.

10．计算______.

11．计算___________.

12．已知数列满足：，，(且)，等比数列公比，则数列的前项和___________.

13．在数列中，，且，则数列的前项和为__________.

14．等差数列中，，，若为的前项和，则使取最小值时的值为______．

15．若数列对任意正整数，有(其中，为常数，且)，则称数列是以为周期，以为周期公比的类周期性等比数列.已知类周期性等比数列的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列前21项的和为_______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据递推关系，构造等差数列求出通项公式，进而求得的通项公式，再求和；

详解：由，得，则，

所以数列是为首项，1为公差的等差数列，

则，所以，

则，

所以数列的前100项和为，

故答案为：.

【点睛】

根据递推关系构造等差数列是求解本题的关键，同时数列求和时用到裂项相消法.

2．【答案】6

【解析】分析：先由三点共线得到相邻项关系，再依次求出前几项得到数列为周期数列，再根据周期性求和即可.

详解：因为，点在同直线上，

所以，即，因为，所以数列为：2，4，2，-2，-4，-2，2，4，2，-2，-4，-2.

即数列是周期为6的周期数列，前六项依次为2，4，2，-2，-4，-2，和为0.

因为为数列的前n项和，，所以.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了向量共线的应用和数列递推公式及周期数列求和的应用，属于中档题.

3．【答案】

【解析】分析：首先根据数列与的关系，先求的通项公式，即可的数列的通项公式，再利用裂项相消法求和.

详解：∵，∴，两式相减得：，∵，∴是首项为2，公比为2的等比数列，即，所以，所以，所以的前n项和为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查求数列通项公式，以及数列求和，本题的关键是利用公式，求数列的通项公式.

4．【答案】

【解析】分析：根据已知条件先分析数列的单调性，然后通过最小值函数确定出数列的前项，最后通过分组求和法求解出结果.

详解：由题意，当时，数列单调递减；当时，数列单调递减．

又，，故，故数列单调递减，

则的前项和为．

故答案为：．

【点睛】

思路点睛：分段数列的单调性分析和分段函数的单调性分析类似，首先需要分析每一段数列的的单调性，其次是对于分段点处的取值大小的分析：对于函数而言，分段点处比较函数值的大小时，所取的自变量相同，但对于分段数列而言，分段点处比较项的大小时，所取的的值不同（相邻的正整数），其原因是从函数的角度看数列时，其定义域为.

5．【答案】

【解析】设出甲．乙．丙．丁．戊所得钱，根据题意列方程组求解，代入即可求得丁所得钱.

详解：根据题意，设甲．乙．丙．丁．戊所得钱分别为，

则，即，

又，则，

所以丁所得为钱.

故答案为：

【点睛】

本题考查等差数列的应用，属于基础题.

6．【答案】

【解析】分析：首先讨论数列的正负项，再以零点分解，求数列的前项和.

详解：设数列的前项和为，

当，，解得：，

当时，，当 ，

当时， ，

当时，，

所以.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查含绝对值数列的前项和，本题的关键是判断数列正负项，从而分段讨论与的关系.

7．【答案】

【解析】分析：利用求得数列的首项，从而求得数列通项，再利用裂项相消求和法即可得出答案.

详解：因为，所以由，得，得，得，得，解得或（舍去），所以．

故，则．

故答案为：.

8．【答案】

【解析】分析：先利用求通项公式，再用裂项相消法求和.

详解：解：当时，；当时，，相减得，即，时也满足．

故是首项为2公差d=1的等差数列，所以，，则．

故答案为：．

【点睛】

（1）数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式；

（2）数列求和常用方法：

①公式法； ②倒序相加法；③裂项相消法； ④错位相减法．

9．【答案】

【解析】根据函数的性质和周期得到函数图象，根据图象知，直线与第个半圆相切，则，再利用裂项相消法求和得到答案.

详解：当时，，即，；

当时，函数周期为，画出函数图象，如图所示：

与函数恰有个不同的交点，

根据图象知，直线与第个半圆相切，故，

故，

数列的前n项和为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了数列求和，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力，画出图象是解题的关键.

10．【答案】2

【解析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．

【详解】

解：

故答案为：2.

【点睛】

本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基础题．

11．【答案】-2

【解析】分式的分子．分母同时除以，再取极限即得.

详解：,

.

故答案为：-2.

【点睛】

本题考查极限值的求法，注意当时， ，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：由递推关系可得，解方程即可求出，代入递推关系式可得，证明数列为等差数列，即可求解，根据错位相减法求和即可.

详解：因为，，(且)，①

当时，，即，

由等比数列的的公比为，

即，解得，

所以，

当时，，即，

解得，

又(，且)，②

①-②可得，，

即，化为，

又，

所以为等差数列，且公差，

则，

所以

，

，

上面两式相减可得

，

所以.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：由递推关系式可得出，再由递推关系式得出为等差数列是解题的关键，求出后利用错位相减法求和，属于难题.

13．【答案】

【解析】分析：将已知数列的递推关系式化简可得，通过累加法和等差数列的求和公式得出数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可．

详解：，

，

即，

，

，

，

将以上各式累加，可得，

将代入，可得，

，

则，

数列的前项和为.

故答案为：.

14．【答案】5

【解析】分析：用裂项相消法求得公差，求出前项和，得的表达式，利用导数知识求最小值即得．

详解：设的公差为，则

所以，解得，

，

，

时，，时，，

，

设，则，

时，，递减，时，，递增，所以，

因为，，，

所以时，取得最小值．

故答案为：5.

15．【答案】1090

【解析】分析：数列（），是等比数列，因此可分组求和．

详解：由题意可知，，，且，所以．

故答案为：1090.

【点睛】

方法点睛：数列求和的常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等．本题中数列是部分项成等比数列，因此按成等比数列的项进行分组求和．