人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法课时练习

【基础】5.5 数学归纳法-1课堂练习

一．填空题

1．已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，则其前15项和_____．

2．将三项式展开，当时，得到如下所示的展开式，抽取各项的系数可以排列为广义杨辉三角形：

据此规律可得，_________．

3．等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为_______.

4．在等比数列中，，当时，恒成立，则公比q的取值范围是______．

5．直线与直线相交于点．直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，，这样一直作下去，可得到一系列点．．．，，点的横坐标构成数列.那么，_______时，为周期数列；_______时，为等比数列．

6．已知.用数学归纳法证明，请补全证明过程：(1)当时，；(2)假设时命题成立，即，则当时，______，即当时，命题成立.综上所述，对任意，都有成立.

7．设数列有，则_______.

8．在数列中，且对任意大于1的正整数，点在直线上，则         .

9．数列中，且（是正整数），则数列的通项公式        ．

10．数列是等比数列，且，则______.

11．欲用数学归纳法证明“对于足够大的自然数，总有”，则验证不等式成立所取的第一个值，最小应当是________．

12．在等比数列中，，则______．

13．数列中，，是与的等差中项，则数列的通项公式为____．

14．用数学归纳法证明命题“凸n边形的内角和”时，第一步验证对初始值成立时，________．

15．已知数列满足，则的前10项之和为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】690

【解析】利用首项与公差结合等差数列的前项和公式，分别表示出即可求解出首项与公差，代入前项和公式即可求解的值.

详解：设该等差数列的首项为，公差为，则 即 解得 所以

故答案为：690

【点睛】

本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题.

2．【答案】

【解析】根据归纳推理可得，即可求出结论.

详解：法一：因为，

所以，

故．

法二：为的系数，个括号中，有两类选择．

选择一：有个括号选择，1个括号选择1，

方法数为：；

选择二：有个括号选择，2个括号选择，

方法数为：，共有种．

为的系数，个括号中，有两类选择，

选择一：有1个括号选择，个括号选择1，

方法数为：；

选择二：有2个括号选择，个括号选择1，

方法数为：，共有种．

故．

故答案为：

【点睛】

本题考查展开式的系数，利用归纳推理是解题的关键，属于基础题.

3．【答案】

【解析】根据，，求得，以及，利用导数研究其单调性，结合，即可容易求得其最小值.

详解：不妨设数列的公差为，

由，可得：

，整理得；

，整理得；

解方程组可得，

故可得，

故.

令，故可得，

故容易知当单调递减，在单调递增.

又因为，

故可得可能在或时取得最小值.

又当时，；

当时，；

故当时，取得最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列前项和的基本量的计算，利用导数求函数的最小值，属综合基础题.

4．【答案】

【解析】详解：解：在等比数列中，，

所以，，

当时，，数列递增，所以当时，恒成立.

故答案为：

【点睛】

考查数列中的不等式恒成立问题，通过数列的单调性求解；基础题.

5．【答案】1    2 

【解析】由题意依次计算．．．，，归纳出结论，再由周期数列和等比数列的定义求解．

详解：的方程是，的方程是，

则，，，，，，，…，

∴，

∴，

要使为周期数列，则存在且，，即，

∵，只有且为奇数时满足题意，故，

要使为等比数列，则，，∵，∴，此时，是等比数列．

故答案为：1；2.

【点睛】

本题考查周期数列与等比数列的概念，考查归纳推理．解题关键是是由归纳推理得出的表达式．也可由数列的前几项满足条件得出值，然后检验数列后面的项也满足条件即可．

6．【答案】

【解析】由已知得，进而，既得答案.

详解：因为

所以

所以当时，

当时，

故答案为：

【点睛】

本题考查数学归纳法由第k项到k+1项，注意已知表达式的使用，属于难题.

7．【答案】

【解析】根据对数性质化简计算即可.

详解：

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查利用对数性质进行化简，考查基本分析化简能力，属基础题.

8．【答案】 3n2    

【解析】9.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若，则＝         

【答案】

【解析】详解：若Sn是等差数列｛an｝的前n项和，

则也是等差数列；

所以也是等差数列，

由可设，则，

于是可得相邻三项和依次为，

即，

所以.

9．【答案】

【解析】由递推公式可得：，，，归纳可得：，所以答案应填：．

考点：归纳推理．

10．【答案】40

【解析】根据对数运算化简式子，结合等比数列的性质即可得解.

详解：数列是等比数列，且，

则，

由对数运算及等比数列的性质化简可知

，

故答案为：40.

【点睛】

本题考查了对数的运算性质，等比数列通项公式性质的简单应用，属于基础题.

11．【答案】

【解析】设，利用定义判断数列的单调性，找出使得成立的最小正整数的值，即为所求.

详解：设，则，

设，

则.

当时，；

当时，，即，此时数列单调递减.

所以，数列的最大项为，又，，，则当时，.

所以，当时，，此时数列单调递增；

当时，，此时数列单调递减.

，，，，，.

所以，当时，.

因此，验证不等式成立所取的第一个值，最小应当是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数学归纳法的应用，考查数列单调性的应用，属于中等题.

12．【答案】1

【解析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得，结合等比数列的通项公式，即可求解.

详解：由题意，设等比数列的公比为，

因为，可得，解得，

所以.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式和前项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

13．【答案】

【解析】先求出，再根据求出数列的通项公式.

详解：因为.

所以数列是等比数列，所以.

因为是与的等差中项，

所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查等比数列性质的判定和通项的求法，考查等差中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14．【答案】3

【解析】由凸n边形的最小边数即可求出.

详解：解：由凸n边形中，边数最小为3，故3.

故答案为:3.

【点睛】

本题考查了数学归纳法.

15．【答案】

【解析】由已知可求得，通过裂项求和即可求得结果.

详解：∵，且

∴

∴的前10项和为.

故答案为:.

【点睛】

本题主要考查裂项相消法求数列的和，常见的裂项技巧：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.