人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.2 导数及其几何意义练习

【名师】6.1.2 导数及其几何意义-1优选练习

一．填空题

1．已知函数，则在处的切线方程为________.

2．已知曲线在处的切线方程为，则实数_____

3．曲线在点处的切线的斜率为_____.

4．已知且满足1，则的最小值为_____.

5．函数的图像在处的切线方程为__________．

6．曲线在处的切线方程为_______________.

7．已知函数．则曲线在点处的切线方程为______．

8．若函数f(x)=ax+lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则f(x)的最大值为_____.

9．若一汽车在公路上做加速运动，设秒时的速度为，则该车在时的加速度为_________．

10．已知位移和时间的关系是，则时的瞬时速度是_______

11．函数=2lnx+在x=1处的切线方程是_____

12．已知函数是定义在的单调函数，对定义域内任意，均有，则函数在点处切线的纵截距为______.

13．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

14．直线与曲线相切，则的值为________．

15．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：先对函数求导，然后令，求出的值，代入原函数和导函数中，再计算出的值，再利用点斜式求出直线方程.

详解：解：由，得，

令，则，解得，

所以，，

所以 ，

所以所求的切线方程为，即

故答案为：

【点睛】

此题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属于基础题.

2．【答案】

【解析】分析：根据切线斜率为2，结合导函数求解，写出切线方程即可得解.

详解：由题曲线在处的切线方程为，

所以，，所以，

所以切点为，切线方程为，即，

所以b=.

故答案为：

【点睛】

此题考查根据曲线在某点处的切线方程求解参数的取值，关键在于熟练掌握导数的几何意义，根据导数值与切线斜率建立等量关系求解.

3．【答案】

【解析】分析：先求出函数的导数,然后求出切点处的导数值即可.

详解：由已知得,

所以k＝y′|x＝1＝﹣1.

故答案为：﹣1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义．导数的计算.属于基础题.

4．【答案】ln2

【解析】将，分别看成函数与上任意一点，问题转化为曲线上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题.

详解：因为，

所以可将，分别看成函数与上任意一点，

问题转化为曲线上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题，

设是曲线的切点，因为

故点M处的切斜的斜率，

由题意可得，解得，

也即当切线与已知直线平行时，此时切点到已知直线的距离最近，

最近距离，

也即.

故答案为：ln2

【点睛】

本题考查导数的几何意义．两点间的距离公式．曲线的切线，考查函数与方程思想．转化与化归思想．数形结合思想，考查逻辑推理能力．运算求解能力.

5．【答案】

【解析】本题首先可以根据题意求出导函数以及的值，然后根据以及直线的点斜式方程即可得出结果.

详解：因为，所以，，

因为，

所以函数在处的切线方程为，即，

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数在某一点处的切线方程的求法，考查导数的几何意义，函数在某一点处的导数即函数在这点处的切线斜率，考查计算能力，是简单题.

6．【答案】

【解析】求导得到，再利用切线方程公式计算得到答案.

详解：，当时，，.

故切线方程为：，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

7．【答案】

【解析】求出，即可求出切线的点斜式方程，化简得出结论.

详解：,

所以曲线在点处的切线方程是，

即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，注意已知点是否为切点，属于基础题.

8．【答案】

【解析】分析：先利用切点处切线与x轴平行，求出a的值，然后利用导数研究函数的单调性，求出最大值.

详解：，∴=a+1=0，∴a=﹣1.

∴f(x)=lnx﹣x，(x>0)

∵，

易知，x∈(0，1)时，，f(x)递增；x∈(1，+∞)时，，f(x)递减.

∴f(x)max=f（1）=﹣1.

故答案为：﹣1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的最值.求切线时，抓住切点满足的两个条件列方程是关键.属于基础题.

9．【答案】

【解析】由速度函数的导函数即为加速度可知，求导代值即可.

详解：根据加速度等于速度的导数可知：

该车在时的加速度为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数的意义，属于基础题.

10．【答案】17

【解析】分析：先求导，再根据导数的定义求得时的瞬时速度是，得解.

详解：，

则时的瞬时速度

故答案为：17

【点睛】

本题考查导数的定义在物理中的应用

函数在处的瞬时变化率称函数在处的导数.

11．【答案】

【解析】欲求在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

详解：，，

，当时，,得切线的斜率为；

所以曲线在点处的切线方程为：

，即．

故答案为：．

【点睛】

本小题主要考查直线的斜率．导数的几何意义．利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

12．【答案】

【解析】分析：由题意得是定值，令，得到，求出的值，从而求出的表达式，求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，再令，计算可得所求纵截距．

详解：解：函数对定义域内的任意，均有，

则是定值，

不妨令，

则，

由在递增，且，

可得的解为，

，

则，

在点处切线的斜率为，切点为，

则在点处切线方程为，

可令，可得．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查函数的解析式的求法和方程的解法，注意运用函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

13．【答案】

【解析】分析：

设，，分两种情况进行讨论，当的右支，即与相切时，根据导数的几何意义，得出，根据题意，结合图象，得出满足题意，当的左支，即与相交于点，由，确定的值，根据题意，结合图象，得出满足题意，综合两种情况，得出实数的取值范围.

详解：

令，

①当的右支，即与相切时

其图象如下图所示

设切点为，，

因为，所以，

，解得，此时

要使得在上恒成立，则

②当的左支，即与相交于点，其图象如下图所示

由，解得

要使得在上恒成立，则

综上，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的应用，属于较难题.

14．【答案】

【解析】求出原函数的导函数，设直线与曲线相切于，得到函数在处的导数，再由题意列关于与的方程组求解．

详解：解：由，得，

设直线与曲线相切于，

则．

，解得．

的值为2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．

15．【答案】

【解析】根据倾斜角的范围可以得出曲线C在点P处斜率的范围，从而得到点P横坐标的取值范围.

详解：由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.

∵曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为

∴0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解决本题的关键是函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处的切线的斜率．