初中数学3.1 平面直角坐标系精品课件ppt

教学目标

1.理解平面直角坐标系及相关概念.

2.能画出平面直角坐标系，能根据点的位置写出点的坐标，能由点的坐标确定点的位置.掌握各象限内点的坐标符号的特点.

3.知道平面直角坐标系内点与坐标是一一对应的.

教学重难点

重点：平面直角坐标系的相关概念.能由点的位置写出点的坐标，能由点的坐标确定点的位置.

难点：理解建立平面直角坐标系的必要性，体会平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系.

教学过程

导入新课

教师：周末有场演唱会，小明有一张票，上面印有“10排20号”，小明很快就找到了他的座位，你知道他是怎样做到的吗？

学生回答：先找到第10排，再找第20号.

教师：你若发现一本书某页有一处印刷错误，怎样告诉其他同学这一处的位置.

学生回答：说明该页上“第几行”和“第几个字”即可.

教师：上面的两个例子中，要找到一个点的位置有什么样的共同点？

学生回答，教师引导并归纳，要确定一个点的位置，需选择含有特定含义的两个数.

设计意图：通过创设情境“演场会现场位置的确定”与“书中某一处位置的确定”，自然地引出本节课对有序数对的学习，激发学生学习的主动性和积极性.

探究新知

探究点一：有序数对的概念

教师：如图1是一个教室平面图，你能说出小明和王健的位置吗？能根据以下座位找到对应的同学吗？

（1，3），（2，2），（5，5），（4，5），（5，2），（5，4）．

图1

学生：小明在第2列第4行，可简单记为（2，4），王健在第5列第3行，可简单记为（5，3）.

教师：由上面可知，“第1列第3行”简记为（1，3）（约定列在前，行在后），那么“第3列第5行”能简记成什么？（6，7）表示的含义是什么？

学生回答：“第3列第5行” 记为（3，5）；（6，7）表示的含义是第6列第7行．

最后教师总结：确定一个同学在教室的位置，首先要知道方向，如从左向右数，从前向后数，再次要确定一对数据，如第2列，第3行.

教师：同样约定“列数在前，行数在后”，(2，4)和(4，2)在同一个位置吗？

学生：不是同一个位置.

教师总结：上面的活动是通过像第2列第4行、第5列第6行这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如前边的数表示列，后边的数表示行，我们把这种有顺序的两个数a和b所组成的数对，叫作有序数对，记作(a，b).

探究点二：平面直角坐标系及有关概念

教师：我们学习了数轴，研究了点的位置与数的关系，同学们你还记得什么是数轴吗？学生回答，教师总结数轴是标有原点、正方向、单位长度的直线，并在黑板上画出一条数轴，如图2所示.

教师：数轴上A和B两点所表示的数分别是什么？数轴上表示数-4的点在哪里？

图2

师生活动

学生回答问题后，教师引导学生得出数轴上点的坐标的定义：数轴上的点可以用一个数表示，这个数叫作这个点的坐标.

教师：在图2中指出A，B两点的坐标.

学生：点A的坐标为-3，点B的坐标为2，

教师：反过来，如果已知数轴上点的坐标，这个点的位置就确定了.在图2中指出坐标是3的点的位置.

学生：坐标是3的点在C处.

教师：在数轴上已知点能说出它的坐标，由坐标能在数轴上描出点的位置.那么数轴上的点与坐标有怎样的关系？

师生活动

学生回答，教师指出：数轴上点与坐标是“一一对应”的，也就是说，在数轴上每一个点都可以用一个坐标来表示，任何一个坐标都可以在数轴上找到唯一确定的点.

类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢？这就是我们今天要研究的平面直角坐标系.

教师：类似于利用数轴确定直线上的点的位置，结合学习的有序数对回答问题.如图3所示，你能找到一个办法来确定平面内点P的位置吗？

图3                     

师生活动

学生小组讨论解决问题的方法，教师给予适当的引导，然后梳理解决这个问题的过程：点P所在的平面内有一些方格线，利用所学的有序数对，约定“列数在前，排数在后”.如图3所示，点P在“第1列第2排”，记为(1，2).

教师：受上述方法的启发，为了确定平面内的点M，N的位置，我们可以画一些纵横交错的直线.为了便于标记每一条直线的顺序，以其中的两条为基准，一条看作横向的数轴，另一条看作纵向的数轴，这两条数轴有公共原点且互相垂直(如图4所示).在图4中，点P记为(1，2)，类比点P，你能写出点M，N记为什么吗？

图4

师生活动

学生回答，教师可适当引导.(M记为(-2，-2)，N记为(-1，3))

教师：图5就是平面直角坐标系，思考下列问题.

图5

①说一说组成平面直角坐标系的两条数轴具备什么特征？

②什么是横轴？什么是纵轴？什么是坐标原点？

师生活动

学生回答，教师总结：平面直角坐标系即在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴.水平的数轴称为x轴或横轴，取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上的方向为正方向.两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图5所示).

注意：画平面直角坐标系时，别忘了标x轴，y轴的正方向及x轴，y轴的名称.

探究点三：在平面直角坐标系中表示点的坐标

教师：在平面直角坐标系中，你能用有序数对来表示图6中点P的位置吗？

图6                            图7

师生活动

学生小组讨论展示，教师最后归纳总结：如图7所示，由点P分别向x轴，y轴作垂线，在x轴上的垂足M的坐标是-2，在y轴上的垂足N的坐标是3，有序数对(-2，3)就叫作点P的坐标，其中-2是横坐标，3是纵坐标.

注意：表示点的坐标时，必须横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开.

教师：如图8所示，在平面直角坐标系中，点B，C，D的坐标分别是什么？

师生活动

学生独立写出：B(-2，3)，C(4，-3)，D(-1，-4).

图8

教师：通过求B，C，D三个点的坐标，思考在平面直角坐标系中怎样求一个点的坐标？

学生回答，如有不足，其他同学补充，最后教师总结：由该点向x轴作垂线，与x轴的交点表示的数是该点的横坐标，由该点向y轴作垂线，与y轴的交点表示的数是该点的纵坐标，在括号里，把横坐标写在前面，把纵坐标写在后面，中间用逗号隔开，这个有序数对就是该点的坐标.

例1  如图9，写出平面直角坐标系中点A，B，C，D，E，F的坐标.

解：所求各点的坐标为A（3，4），B（-4，3），C（-3，0），D（-2，-4），E（0，-3），F（3，-3）.

图9

教师：如图10所示，在平面直角坐标系中，你能分别写出点A，B，C，D的坐标吗？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？原点的坐标是什么？

图10

师生活动

学生写出：A(4，0)，B(-2，0)，C(0，5)，D(0，-3).教师可适当引导：

从上面练习中发现：① x轴上的点的纵坐标为0，一般记为(x，0)；

② y轴上的点的横坐标为0，一般记为(0，y)；③ 原点O的坐标是(0，0).

教师：反过来，如何在平面直角坐标系中找点A(-2，-3)？

图11

师生总结：由坐标找点的方法：

 (1)先找到表示横坐标与纵坐标的点； (2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线； (3)垂线的交点就是该坐标对应的点.

探究点四：平面直角坐标系中点的坐标特征

教师：如图12，

图12

建立平面直角坐标系后，坐标平面被两条坐标轴分成四部分，分别叫作第一象限，第二象限，第三象限和第四象限.坐标轴上的点不属于任何象限.

教师：观察坐标系，找出下列各点所处象限及点的坐标特征.

图13

学生回答，教师给予肯定和表扬.

教师：坐标轴上的点的坐标有什么特征呢？

图14

学生回答，教师给予肯定和表扬.

教师：通过分析上面问题的答案，总结点的坐标与点在坐标系中的位置关系，用“+” “-”或“0”完成下列表格.

师生活动

让学生独立观察思考完成表格，再通过小组交流互相完善得出规律.适当引导学生这样理解，借助坐标系观察，第一象限由x轴的正半轴与y轴的正半轴包围着，所以第一象限内点的横、纵坐标均为正；第二象限由x轴的负半轴与y轴的正半轴包围着，所以第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正. 第三、四象限类似.

师生归纳得出： 

(1)各象限内点的坐标符号(教师板书)

若点P(a，b)在第一象限，则a>0，b>0，简记为(+，+)；

若点P(a，b)在第二象限，则a<0，b>0，简记为(-，+)；

若点P(a，b)在第三象限，则a<0，b<0，简记为(-，-)；

若点P(a，b)在第四象限，则a>0，b<0，简记为(+，-).

(2)坐标轴上的点

x轴上的点纵坐标为0；y轴上的点横坐标为0；原点坐标为(0，0).

教师:不看平面直角坐标系，你能迅速说出 (4，5) ， (-2，3)， (-4， -1)， (2.5，-2)， (-5，0)，(0，-5)，(3，0)， (0，3)，(0，0)所在的象限吗？你的方法是什么？

学生回答.

教师：坐标平面内的点与有序数对(坐标)是什么关系?

学生总结回答：

类似数轴上的点与实数是一一对应的.我们可以得出：

①对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数(x，y) (即点M的坐标）和它对应；

②反过来，对于任意一对有序实数(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x，y)的点）和它对应.

也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.

例2  在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限.

A（5，4），B（-3，4），C（-4，-1），D（2，-4）.

 解：如图15，先在x轴上找到表示5的点，再在y轴上找出表示4的点，过这两个点分别作x轴，y轴的垂线，垂线的交点就是点A.类似地，其他各点的位置如图所示.点A在第一象限，点B在第二象限 ，点C在第三象限，点D在第四象限.

图15

例3  设点M(a，b)为平面直角坐标系内的点．

(1)当a>0，b<0时，点M位于第几象限？

(2)当ab>0时，点M位于第几象限？

(3)当a为任意有理数，且b<0时，点M位于第几象限？

解：(1)点M在第四象限；

(2)在第一象限(a>0，b>0)或者在第三象限(a<0，b<0)；

(3)在第三象限(a<0，b<0)或者第四象限(a>0，b<0)或y轴负半轴上(a＝0，b<0)．

课堂小结

平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系.

横轴：水平的数轴叫作x轴或横轴. 纵轴：竖直的数轴叫作y轴或纵轴.

原点：两条坐标轴的交点.

平面直角坐标系中点的坐标特征：

(1)各象限内点的坐标符号

若点P(a，b)在第一象限，则a>0，b>0，简记为(+，+)；

若点P(a，b)在第二象限，则a<0，b>0，简记为(-，+)；

若点P(a，b)在第三象限，则a<0，b<0，简记为(-，-)；

若点P(a，b)在第四象限，则a>0，b<0，简记为(+，-).

(2)坐标轴上的点

x轴上的点纵坐标为0；y轴上的点横坐标为0；原点坐标为(0，0).

布置作业

教材第86页练习

板书设计

3.1  平面直角坐标系

第1课时  平面直角坐标系

1.有序数对：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫作有序数对，记作(a，b).

2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系.

横轴：水平的数轴叫作x轴或横轴. 纵轴：竖直的数轴叫作y轴或纵轴.

原点：两条坐标轴的交点.

3.平面直角坐标系中点的坐标特征：

(1)各象限内点的坐标符号

若点P(a，b)在第一象限，则a>0，b>0，简记为(+，+)；

若点P(a，b)在第二象限，则a<0，b>0，简记为(-，+)；

若点P(a，b)在第三象限，则a<0，b<0，简记为(-，-)；

若点P(a，b)在第四象限，则a>0，b<0，简记为(+，-).

(2)坐标轴上的点

x轴上的点纵坐标为0；y轴上的点横坐标为0；原点坐标为(0，0).

4.坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.