初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式第2课时教学设计

16.1  二次根式
第2课时

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.

2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.

3.了解代数式的概念.

【过程与方法】

在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.

【情感态度与价值观】

通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.

二、课型

新授课

三、课时

第2课时 共2课时

四、教学重难点

【教学重点】

掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.

【教学难点】 

能运用二次根式的性质化简.

五、课前准备 

教师：课件、三角尺、直尺等.

学生：三角尺、铅笔、练习本.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2-3）

观察课件中所列数字的进出情况，想一想你发现了什么？

（二）探索新知

1.探究()2的性质（出示课件5-7）

教师问：什么叫做一个数的平方根？如何表示？

学生答：一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.a的平方根是

教师问：什么是一个数的算术平方根？如何表示？

学生答：若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根. 用(a≥0)表示.

教师问：请同学们完成下面的题目：（出示课件6）

教师依次出示问题：

填空：

学生1答：（）2=4.

学生2答：（）2=2.

学生3答：（）2=.

学生4答：（）2=0.

教师问：通过（1）的计算，你能确定( )²（a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.

师生一起解答： 是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，      是一个平方等于4的非负数，因此有(   )²  =4. 

同理， ，，分别是 2，,0的算术平方根.

因此  （）2=2 , （）2= ,（）2=0

教师总结：（出示课件8）

（）2(a的性质：一般地，（）2＝a  (a ≥0).

即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.

教师强调：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根式有意义的前提条件.

考点1：利用（）2(a 的性质进行计算

计算：（出示课件9）

（1） ；  （2）  .

师生共同讨论解答如下：

解：（1）（）2 =1.5  ;

（2）（2）2=22×（）2=4×5=20

出示课件10，学生自主练习，教师给出答案。

考点2：利用（）2(a 的性质分解因式

在实数范围内分解因式：（出示课件11）

（1）4x2-5 ;                  (2)m4-6m2+9.

学生独立思考后，师生共同解答.

解：（1）4x2-5 =（2x-）(2x+); 

(2)m4-6m2+9=（m2-3）2=（m+）2（m-）2.

总结点拨：（出示课件11）

本题逆用了（）2=a(a 在实数范围内分解因式.

出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正.

2.探究  (a的性质

教师问：你能解释下列式子的含义吗?

, , 　, .

学生讨论后回答：

学生1答：表示2的平方的算术平方根.

学生2答：表示0.1的平方的算术平方根.

学生3答： 　表示的平方的算术平方根.

学生4答： 表示0的平方的算术平方根.

教师依次展示下列问题:

根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.

=_____; =_______;　 =_____; =______. 

学生1答：=2;

学生2答：=0.1;

学生3答：=;

学生4答：=0.

教师追问：同学们独立完成填空后,请说出得到结论的依据.

学生讨论后回答如下：

学生1答：∵4=22,∴=2,因此=2;

学生2答：∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;

学生3答：∵=（）2,∴　=,因此=;

学生4答：∵0=02,∴=0,因此=0.

教师问:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?

师生讨论后共同解答如下：一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).

教师问：当a＜0时，= ？

学生答：当a＜0时，=-a.

教师问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.

=_____; =_______;　 =_____; =______. 

学生分组讨论后回答如下：

学生1答：=2;

学生2答：=0.1;　

学生3答：  =;

学生4答： =0.

教师问：同学们独立完成填空后,请说出得到结论的依据.

学生讨论后回答：

展示学生答案如下：

学生1答：∵（-2）2=4=22,∴==2,因此==2;

学生2答：

∵（-0.1）2=0.01=0.12,∴==0.1

因此=0.1;

学生3答：∵=（）2,∴　=,因此=;

学生4答：∵（-0）2=0=02,∴=0,因此=0.

教师问:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?

师生讨论后共同解答如下：一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.当a<0时, =-a(a<0).

教师归纳总结：（出示课件16）

的性质：

=

教师强调：即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.

考点1：利用 的性质进行计算

化简：(出示课件17)

（1）；（2）；

（3）；（4）

学生独立思考后，师生共同解答.

解：（1）；

（2）；

（3）10-1；

（4）==

出示课件18：引导学生讨论相关问题

师生共同归纳：（出示课件19）

计算一般有两个步骤:

①去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式,即 ;

②去掉绝对值符号,即=

出示课件20-21，学生自主练习，教师给出答案。

拓展归纳：（出示课件22）

（）2和的区别

考点2：几何图形与的性质相结合的题目

实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:（出示课件23）

+

学生独立思考后，师生共同解答.

解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，

∴原式=|a|-|b|+|a-b|

=-a-b-（a-b）

=-2a.

出示课件25，学生自主练习，教师给出答案。

3.探究代数式的定义

教师问：回顾我们学过的式子，如5，a,a+2b，-ab,,-x3,, , 这些式子有哪些共同特征？

学生先独立思考，然后共同探究后回答：（1）含有数或表示数的字母；（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．

归纳总结：（出示课件26）

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

教师问：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？

学生讨论后回答：代数式

考点1：利用代数式的定义判断代数式

下列式子: （出示课件23）

(1)x; (2)a-b; (3);(4) ;(5)m=1+n;(6)2x>1;(7)-2.其中是代数式的有(　　)
    A.4个　　　  B.5个          C.6个　　 　 D.7个

学生独立思考后，师生共同解答.

解：(5)是等式，（6）是不等式，所以不是代数式，其余都是代数式.

答案：B.

出示课件28，学生自主练习，教师给出答案。

考点2：列代数式

（1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；

（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.（出示课件29）

学生独立思考后，师生共同解答.

解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是（v+2.5）km/h，逆水行驶的速度是（v-2.5） km/h．

（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以x=  ,所以它的长为5.
    师生共同总结如下：（出示课件30）

列代数式的要点：

①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；

②理清语句层次明确运算顺序；

③牢记一些概念和公式．

出示课件31，学生自主练习，教师给出答案。

（三）课堂练习（出示课件32-37）

练习课件第32-37页题目，约用时15分钟.

（四）课堂小结（出示课件38）

 师生共同回顾本节课所学主要内容:

（五）课前预习

预习下节课（16.2第1课时）的相关内容.

知道二次根式的乘法法则及其逆运用.

七、课后作业

教材第4页练习第1,2题.

八、板书设计：

 二次根式 第2课时

1.二次根式的性质1:

考点1     考点2

2.二次根式的性质2:

考点1     考点2

3.代数式

考点1　   考点2

4.练习

九、教学反思：

本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高. 在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够. 在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.