高考数学(理数)三轮冲刺 选择题填空题12＋4满分练 六（2份打包，教师版+原卷版）

高考数学理科 12＋4满分练 六

1.设集合A＝，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是(　　)

A.2         B.4            C.8              D.16

答案　B

解析　结合图象(图略)可知函数y＝3x与椭圆有两个不同的交点，即集合A∩B中有两个元素，则其所有子集的个数是22＝4，故选B.

2.函数y＝ln(1－x)的定义域为(　　)

A.(0，1)          B.[0，1)        C.(0，1]         D.[0，1]

答案　B

解析　由题意，得自变量满足解得0≤x＜1，

即函数y＝ln(1－x)的定义域为[0，1)，故选B.

3.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　)

A.＝      B.＝2       C.＝3     D.2＝

答案　A

解析　如图，＋＝2，又＋＝－2＝2，故＝.

4.已知命题p：若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；命题q：“∃x0∈R，x＋2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2＜3x”，则下列命题为真命题的是(　　)

A.p∧q          B.(¬p)∧q        C.p∧(¬q)           D.(¬p)∧(¬q)

答案　D

解析　“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，所以p为假命题；“∃x0∈R，x＋2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，所以q为假命题，因此(¬p)∧(¬q)为真命题.故选D.

5.给出40个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这40个数的和，如图给出了该问题的程序框图，那么判断框①处和执行框②处可分别填入(　　)

A.i≤40？；p＝p＋i－1        B.i≤41？；p＝p＋i－1

C.i≤41？；p＝p＋i           D.i≤40？；p＝p＋i

答案　D

解析　由于要计算40个数的和，故循环要执行40次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为40，即①中应填写i≤40？；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2；第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4；第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7；…故②中应填写p＝p＋i.综上可知选D.

6.已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的倾斜角为(　　)

A.150°        B.135°         C.120°         D.30°

答案　A

解析　由题意可画图如下：

由面积公式S＝OA·OB·sin∠AOB可知当∠AOB＝时，S△OAB取最大值.由于圆的半径为，所以点O到直线AB的距离为1，由直线过点P(2，0)易知其倾斜角为150°.

7.若α∈(0,)，且sin2α＋cos(＋2α)＝，则tan α等于(　　)

A.          B.           C.3              D.7

答案　C

解析　因为sin2α＋cos(＋2α)＝，所以sin2α－sin 2α＝，所以＝，

因为α∈(0,)，所以cos α≠0，所以＝，

解得tan α＝3或tan α＝－(舍去)，故选C.

8.在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，a＝2b，cos A＝，则sin B等于(　　)

A.           B.           C.           D.

答案　A

解析　由cos A＝，得sin A＝，又a＝2b，由正弦定理可得sin B＝＝.故选A.

9.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为(　　)

A.2           B.3            C.4             D.5

答案　A

解析　由三视图的性质和定义知，三棱锥P－BCD的正(主)视图与侧(左)视图都是底边长为1高为2的三角形，其面积都是×1×2＝1，正(主)视图与侧(左)视图的面积之和为1＋1＝2，故选A.

10.已知等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则＋等于(　　)

A.          B.           C.             D.

答案　A

解析　＋＝＋＝＝＝＝＝，

故选A.

11.已知P是双曲线－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则·的值为(　　)

A.－          B.          C.－          D.不能确定

答案　A

解析　方法一　设P，则－n2＝1，即m2－3n2＝3，

由双曲线－y2＝1得其渐近线方程为y＝±x，

由解得交点A，

由解得交点B，

所以＝，＝，

则·＝×＋×＝－＝－＝－，故选A.

方法二　此题可用特殊值法解决：令P为双曲线右顶点，可求得||＝||＝，与的夹角为，所以·＝××cos＝－.

12.已知函数f(x)＝x2＋x＋a(x＜0)，g(x)＝ln x(x>0)，其中a∈R.若f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线与g(x)的图象在点B(x2，f(x2))处的切线重合，则a的取值范围为(　　)

A.(－1＋ln 2，＋∞)           B.(－1－ln 2，＋∞)

C.                D.(ln 2－ln 3，＋∞)

答案　A

解析　f(x)的图象在点A(x1，f(x1))处的切线方程为y－＝·(x－x1)，

即y＝x－x＋a.g(x)的图象在点B(x2，g(x2))处的切线方程为y－ln x2＝·(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1.两切线重合的充要条件是

由①及x1＜0＜x2知，－1＜x1＜0，

由①②得a＝x＋ln x2－1＝x＋ln－1＝x＋ln 2－ln(x1＋1)－1，

设h(t)＝t2＋ln 2－ln(t＋1)－1(－1＜t＜0)，则h′(t)＝t－＝＜0，

所以h(t)(－1＜t＜0)为减函数，则h(t)＞h(0)＝－1＋ln 2，所以a＞－1＋ln 2，

而当t∈(－1，0)且t趋向于－1时，h(t)无限增大，

所以a的取值范围是(－1＋ln 2，＋∞).

13.A，B，C三点与D，E，F，G四点分别在一个以O为顶点的角的不同的两边上，则在A，B，C，D，E，F，G，O这8个点中任选三个点作为三角形的三个顶点，可构成的三角形的个数为________.

答案　42

解析　由题意得三点不能共线，可用间接法，所以可构成的三角形的个数为C－C－C＝42.

14.有一长、宽分别为50 m、30 m的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出15 m，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是________.

答案　

解析　所求概率为几何概型，测度为长度，如图AB＝CD＝50，BC＝DA＝30，

因为OE＝15，OS＝15⇒ES＝＝15⇒EF＝MN＝30，

因此概率为＝＝.

15.所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数).如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和.如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为________.

答案　26＋27＋…＋212

解析　因为8 128＝26×127，又由＝127，解得n＝7.

所以8 128＝26×(1＋2＋…＋26)＝26＋27＋…＋212.

16.已知抛物线y2＝4x，其焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则|AF|－的最小值为________.

答案　2－2

解析　因为F(1，0)，当直线l与x轴不垂直时，设直线AB：y＝k(x－1)，代入y2＝4x可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝1，不妨设x1＜1，x2＞1，

由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，

所以|AF|－＝x1＋1－＝＝＝＝，

令x2－1＝t，则x2＝t＋1，

所以|AF|－＝＝≥＝＝＝2(－1)，

当且仅当t＝时取“＝”.当直线l与x轴垂直时，可求得|AF|＝2，|BF|＝2，

所以|AF|－＝1，综上，|AF|－的最小值为2－2.