人教版八年级下册18.2.3 正方形完整版ppt课件

教学目标

1.会归纳正方形的特性并进行证明.

2.能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明.

3.在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系.

教学重难点

重点：归纳正方形的性质并运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明.

难点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力.

教学过程

导入新课

导入1：

师：（出示一块方巾）它是什么几何图形？

生：正方形.

师：哪一位同学试着给出一些实物是正方形的形状的例子，或有关“正”“方”的词语？

生：堂堂正正、端端正正、外圆内方、正大光明；地板砖、国际象棋棋盘的格子……

师：同学们都说得非常好.正方形就是“端端正正”的图形，今天我们就从“理性”的角度来研究这个“端端正正”的图形的性质.

导入2：

复习回顾

1.矩形、菱形与平行四边形的关系（如图1所示）.

图1

2.怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？

做一做：用一张矩形的纸片（如图2所示）折出一个正方形.

思考：矩形怎样变化后就成了正方形呢？

图2　　　　   　　图3

3.怎样将一个菱形的木框变成一个正方形的木框？（如图3所示）（教师演示菱形教具）

思考：菱形怎样变化后就成了正方形呢？

教师：今天我们探讨正方形的概念和性质.

探究新知

活动1：探究正方形的概念.

教师：经过同学们探究，我们发现（如图4所示）：

图4

正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.

指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两方面：

（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）；

（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）.

启发学生：由矩形、菱形到正方形各需补充一个条件，进而完成正方形的定义.

前面我们学习过平行四边形、矩形、菱形，请同学们总结平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.（如图5所示）

活动2：探究并证明正方形的性质.

教师：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.（如图6所示）

　图5　　　　　　　　　图6

教师：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.

1. 正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

图7

已知：如图7所示，四边形ABCD是正方形.

求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.

分析：因为正方形具有矩形和菱形的所有性质，所以结论易证.

证明：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ 四边形ABCD既是矩形，也是菱形.

∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.

定理：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

几何语言：如图7，

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.

2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

已知：如图8所示，四边形ABCD是正方形，AC，BD是它的两条对角线.

图8

求证：（1）AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO；

（2）AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC.

分析：因为正方形具有矩形和菱形的所有性质，所以结论易证.

证明：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ 四边形ABCD是矩形，也是菱形，

∴ AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，AC⊥BD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC.

定理：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

几何语言：如图8所示，∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC.

3.正方形的对称性

教师：正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，所以正方形既是中心对称图形也是轴对称图形.它有四条对称轴（两条对角线所在的直线，两组经过对边中点的直线），对称轴通过对称中心，对称中心是对角线的交点.

学生小组讨论平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性（如图9所示）.

图9

4.正方形的面积

教师：如图8所示，怎样计算正方形的面积呢？

学生：S正方形ABCD＝AB·BC＝AB2.

教师：计算正方形的面积除了上述方法外， 能不能利用菱形的面积公式进行计算？鼓励学生动脑思考，自己探究解答方法，不明白的可在小组内交流意见.

学生总结：

S正方形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AC·BD，

即S正方形＝对角线乘积的一半.

学生讨论并完成下表：

新知应用

例1　求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

已知：如图10所示，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.

图10

求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.

分析：利用正方形的性质：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系，垂直可以产生直角，于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.

证明：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）.

∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，

∴ △ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.

图11

例2　已知：如图11所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD的交点为O，E是OB上的一点，连接AE，过点D作DG⊥AE于点G，DG交OA于点F.

求证：OE＝OF.

分析：要证明OE＝OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线互相垂直平分且相等，可以得到∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO.再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO＝∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得.

证明：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ ∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO（正方形的对角线互相垂直平分且相等）.

又∵ DG⊥AE，∴ ∠EAO+∠AEO＝∠FDO+∠AEO＝90°.

∴ ∠EAO＝∠FDO. ∴ △AEO≌△DFO，∴ OE＝OF.

课堂小结

1.正方形的定义

2.正方形的性质：

（1）边：对边平行，四条边都相等.

（2）角：四个角都相等，都等于90°.

（3）对角线：相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角.

（4）对称性：轴对称图形、中心对称图形.

（5）面积求法：①边长的平方；②两条对角线乘积的一半.

布置作业

教材第59页练习第1，2题.

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