初中数学人教版九年级上册 第二十三章 旋转 中心对称 教案

23.2 中心对称

教学目标

1. 了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．

2. 理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（―x，―y）的运用． 

3. 通过操作、观察、归纳中心对称的性质，经历由具体到抽象认识问题的过程，会画一个简单几何图形关于某一点对称的图形，提高画图能力．

教学重点

1. 利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．

2. 中心对称的两条基本性质及其运用．

3. 关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．

教学难点

中心对称的两条基本性质及其运用．

课时安排

3课时

教案A

第1课时

教学内容

23.2.1 中心对称．

教学目标

1．从旋转的角度观察两个图形之间的关系，类比旋转得出中心对称的定义，渗透从一般到特殊的研究问题的方法．

2．通过操作、观察、归纳中心对称的性质，经历由具体到抽象认识问题的过程，会画一个简单几何图形关于某一点对称的图形，提高画图能力．

教学重点

1．利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．

2．中心对称的两条基本性质及其运用．

教学难点

中心对称的两条基本性质及其运用．

教学过程

一、导入新课

    请同学们独立完成下题．

如右上图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法．

分析：本题已知旋转后点A的对应点是点D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA、OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可．

作法：（1）连结OA、OB、OC、OD；

（2）分别以OB、OB为边作∠BOM＝∠CON＝∠AOD；

    （3）分别截取OE＝OB，OF＝OC；

    （4）依次连结DE、EF、FD；

即：△DEF就是所求作的三角形，如上右图所示．

二、新课教学

1．中心对称．

思考：（1）如左图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？

（2）如右图，线段AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？

    可以发现，左图中的一个图案旋转后两个图案互相重合；右图中，旋转后△OCD也与△OAB重合．像这样，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点．例如，右图中△OCD和△OAB关于点O对称，点C与点A是关于点O的对称点．

2．中心对称的性质．

如下图，三角尺的一个顶点是O，以点O为中心旋转三角尺，可以画出关于点O中心对称的两个三角形：

第一步，画出△ABC；

    第二步，以三角尺的一个顶点O为中心，把三角尺旋转180°，画出△A′B′C′；

第三步，移开三角尺．

因为中心对称的两个三角形可以互相重合，所以△ABC与△A′B′C′是全等三角形．

因为点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA = OA′，即点O是线段AA′的中点．同样地，点O也是线段BB′和CC′的中点．

中心对称的性质：

中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．

中心对称的两个图形是全等图形．

3．实例探究．

例1 （1）如下左图，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′；

（2）如下右图，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′．

解：（1）如下左图，连接AO，在AO的延长线上截取OA′＝OA，即可以求得点A关于点O的对称点A′．

（2）如下右图，作出A，B，C三点关于点O的对称点A′，B′，C′，依次连接A′B′， B′C′，C′A′，就可得到与△ABC关于点O对称的△A′B′C′．

三、巩固练习

教材第74页练习1、2．

四、归纳小结

本节课应掌握：

1．中心对称及对称中心的概念．

2．关于中心的对称点的概念及其运用．

3．中心对称的两条基本性质：中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形．

五、布置作业

习题23.2 第1、2题．

第2课时

教学内容

23.2.2 中心对称图形．

教学目标

1．了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．

2．复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用．

教学重点

中心对称图形的有关概念及其它们的运用．

教学难点

区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．

教学过程

一、导入新课

口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？

中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形．  

二、新课教学

1．中心对称图形的概念．

思考：（1）如左图，将线段AB绕它的中点旋转180°，你有什么发现？

    （2）如右图，将□ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？

可以发现，线段AB绕它的中点旋转180°后与它本身重合．□ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°后与它本身重合．像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．中心对称图形具有匀称美观、平稳．线段、平行四边形都是中心对称图形．

2．实例探究．

例 求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形．

    分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．

    证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、BD必过点O，且AO＝CO，BO＝DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD是平行四边形．

3．中心对称图形在实际生活中的应用．

中心对称图形的形状通常匀称美观，我们在自然界中可以看到许多美丽的中心对称图形（教材图23.2-10（1）），在很多建筑物和工艺品中也常采用中心对称图形作装饰图案（教材图23.2-10（2））．另外，由于具有中心对称图形形状的物体，能够在所在的平面内绕对称中心平稳地旋转，所以在各种机器中要旋转的零部件的形状常设计成中心对称图形，如水泵叶轮等（教材图23.2-10（3））．

三、巩固练习

    教材第67页练习．

四、归纳小结

    本节课应掌握：

    1．中心对称图形的有关概念；

    2．应用中心对称图形解决有关问题．

五、布置作业

习题23.2 第5题．

第3课时

教学内容

23.2.3 关于原点对称的点的坐标．

教学目标

    1．理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（－x，－y）的运用．

    2．关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．

教学重点

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（－x，－y）及其运用．

教学难点

运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．   

教学过程

一、导入新课

    学生活动：请同学们完成下题．

如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．

    教师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．

二、新课教学

探究：如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它

们的坐标．这些坐标与已知点的坐标有什么关系？

    A(4，0)，B(0，－3)，C(2，1)，D(－1， 2)，E(－3，－4)．

    归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．

例1如左图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的图形．

解：点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因此△ABC的三个顶点A(－4，1)，B(－1，－1)， C(－3，2)关于原点的对称点分别为A′(4，－1)， B′(1，1)，C′(3，－2)，依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′（右图）．

例2 已知△ABC，A（1，2），B（―1，3），C（―2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．

    分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′．

三、巩固练习

    教材第69页练习1、2、3．  

四、归纳小结

本节课应掌握：

   两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，及其利用这些特点解决一些实际问题．

五、布置作业

习题23.2 第3、4题．

教案B

第1课时

教学内容

23.2.1 中心对称．

教学目标

1．从旋转的角度观察两个图形之间的关系，类比旋转得出中心对称的定义，渗透从一般到特殊的研究问题的方法．

2．通过操作、观察、归纳中心对称的性质，经历由具体到抽象认识问题的过程，会画一个简单几何图形关于某一点对称的图形，提高画图能力．

教学重点

1．利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．

2．中心对称的两条基本性质及其运用．

教学难点

中心对称的两条基本性质及其运用．

教学过程

一、导入新课

    复习上节内容，导入新课的教学．

二、新课教学

1．中心对称．

作出如下图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：

    （1）以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？

（2）各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？

分析：可以发现，如下图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．

    像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．

    这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

    例 如下左图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．

    （1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．

（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．

分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就是旋转中心．

（3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．

解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′＝AD．

（2）同样可得：BD＝B′D，CD＝C′D．

（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如上右图所示．

答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．

（2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．

2．中心对称的性质．

请同学随便画一个三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论．

每组推荐一人上台陈述，教师点评，在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形．

（1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；

（2）作关于一定点O为对称中心的对称图形．

第一步，画出△ABC．

第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′C和△A′B′C′，如图（1）和（2）所示．

    从图（1）中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；
    分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．

    下面，我们就以图（2）为例来证明这两个结论．

    证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，

    OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，

    ∴△AOB≌△A′OB′．

    ∴AB＝A′B′．

    同理可证：AC＝A′C′，BC＝B′C′．

∴△ABC≌△A′B′C′．

（2）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA＝OA′，即点O是线段AA′的中点．

    同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB＝OB′，OC＝OC′，即点O是BB′和CC′的中点．

    因此，我们就得到中心对称的性质：

    中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．

中心对称的两个图形是全等图形．

3．实例探究．

例 如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．

分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．

解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD＝OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．

    （2）同样画出点B和点C的对称点E和F．

    （3）顺次连结DE、EF、FD．

则△DEF即为所求的三角形．

三、巩固练习

教材第74页练习1、2．

四、归纳小结

今天你学习了什么？有什么收获？

五、布置作业

习题23.2 第1、2题．

第2课时

教学内容

23.2.2 中心对称图形．

教学目标

1．了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．

2．复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用．

教学重点

中心对称图形的有关概念及其它们的运用．

教学难点

区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．

教学过程

一、复习引入

    学生活动：作图．

1．作出线段AO关于O点的对称图形，如下图(1)所示．

2．作出三角形AOB关于O点的对称图形，如下图(2)所示．

3．延长AO使OC＝AO，延长BO使OD＝BO，连结CD，则△COD为所求的图形，如下图(3)所示．

       (1)                      (2)                     (3)

二、新课教学

从另一个角度看，上面第1题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA＝OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合．

上面第2题中，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边形，如图所示．

∵AO＝OC，BO＝OD，∠AOB＝∠COD，

∴△AOB≌△COD．

∴AB＝CD．

也就是，四边形ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．

因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

学生活动：

1．从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形．

教师边提问学生边解答．

2．请说出中心对称图形具有什么特点？

点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳．

3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形．

分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．

证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、BD必过点O，且AO＝CO，BO＝DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD是平行四边形．

三、巩固练习

    教材第67页练习．

四、归纳小结

今天你学习了什么？有什么收获？

五、布置作业

习题23.2 第5题．

第3课时

教学内容

23.2.3 关于原点对称的点的坐标．

教学目标

1．理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（－x，－y）的运用．

2．关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．

教学重点

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（－x，－y）及其运用．

教学难点

运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．   

教学过程

一、导入新课

复习上节内容，导入新课的教学．

二、新课教学

学生活动：如图，在直角坐标系中，已知A（－3，1）、B（－4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，－3）、F（－2，－2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？

画法：（1）连结AO并延长AO，

（2）在射线AO上截取OA′＝OA，

（3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″．

∵△AD′O与△A′D″O全等．

∴AD′＝A′D″，OA＝OA′．

∴A′（3，－1）．

同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标．

学生活动（分组讨论）：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？

    提问几个同学口述上面的问题．

分析：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．

归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)．

例1如左图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC关于原点对称的图形．

解：点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y)，因此△ABC的三个顶点A(－4，1)，B(－1，－1)，C(－3，2)关于原点的对称点分别为A′(4，－1)，B′(1，1)，C′(3，－2)，依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′（右图）．

三、巩固练习

教材第69页练习1、2、3．  

四、归纳小结

今天你学习了什么？有什么收获？

五、布置作业

习题23.2 第3、4题．