初中数学北师大版九年级上册2 反比例函数的图象与性质第2课时复习练习题

2　反比例函数的图象与性质

第2课时

必备知识·基础练

(打“√”或“×”)

1．在反比例函数y＝(k≠0)的图象中，当k＞0时，y的值随x的增大而减小．(　×　)

2．在反比例函数y＝(k≠0)的图象中，当k<0时，在每个象限内，y的值随x的增大而增大．(　√　)

3．反比例函数图象上的任意一点向x轴和y轴作垂线，它们与坐标轴围成的矩形面积等于k.(　×　)

知识点1　反比例函数的增减性

1．在下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是(　B　)

A．y＝       B．y＝

C．y＝2x＋1      D．y＝－

【解析】A.k＞0，y随x的增大而增大，故A不符合题意；

B．k＝4＞0，图象位于一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故B符合题意；

C．y＝2x＋1中k＝2＞0，y随x的增大而增大，故C不符合题意；

D．k＝－4＜0，图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，故D不符合题意．

2．(2020•天津中考)若点A(x1，－5)，B(x2，2)，C(x3，5)都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(　C　)

A．x1＜x2＜x3      B．x2＜x3＜x1

C．x1＜x3＜x2      D．x3＜x1＜x2

【解析】∵点A(x1，－5)，B(x2，2)，C(x3，5)都在反比例函数y＝的图象上，

∴－5＝，即x1＝－2；2＝，

即x2＝5；5＝，

即x3＝2，

∵－2＜2＜5，∴x1＜x3＜x2.

3．(2021·金华质检)已知点A(x，y)是反比例函数y＝图象上的一点，若x＞3，则y的取值范围是(　B　)

A．2＜y＜6       B．0＜y＜2

C．y＜2        D．y＞2

【解析】∵y＝，

∴在第一象限内，y随x的增大而减小，

∴当x＞3时，0＜y＜2.

4．反比例函数y＝图象如图所示，下列说法正确的是(　C　)

A.k＞0

B．y随x的增大而减小

C．若矩形OABC面积为2，则k＝－2

D．若图象上点B的坐标是(－2，1)，则当x＜－2时，y的取值范围是y＜1

【解析】A.反比例函数图象分布在第二、四象限内，则k＜0，所以A选项错误；

B．在每一象限内，y随x的增大而增大，所以B选项错误；

C．矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝－2，所以C选项正确；

D．若图象上点B的坐标是(－2，1)，则当x＜－2时，y的取值范围是0＜y＜1，所以D选项错误．

5．(2021·成都期中)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，若x1<x2<0，则y1，y2的大小关系是__y1＞y2__．

【解析】∵在反比例函数y＝中，k＝3＞0，

∴函数的图象分布在一、三象限内，且在每一象限内y随x的增大而减小．

∵x1＜x2<0，∴y1＞y2.

6．已知反比例函数y＝，其中k＞－2，且k≠0，1≤x≤2.

(1)若y随x的增大而增大，则k的取值范围是______________.

(2)若该函数的最大值与最小值的差是1，求k的值．

【解析】(1)∵y随x的增大而增大，

∴k＜0，

∵k＞－2，且k≠0，

∴－2＜k＜0.

答案：－2＜k＜0

(2)当－2＜k＜0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，∴－k＝1，解得k＝－2，不合题意，舍去；

当k＞0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，∴k－＝1，解得k＝2.

综上所述：当函数的最大值与最小值的差是1时，k的值为2.

知识点2　反比例函数中k的几何意义

7．(2021·宁波质检)如图，在矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在反比例函数y＝位于第二象限的图象上，若矩形OABC的面积为6，则k的值是(　D　)

A.3    B．6    C．－3    D．－6

【解析】设B点的坐标为(x，y)，

∵矩形OABC的面积为6，

∴－xy＝6，

∴xy＝－6，

∵B在y＝上，

∴k＝xy＝－6.

8．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝(x>0)的图象上，OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的面积为(　B　)

A.2    B．4    C．6    D．12

【解析】设正方形ADEF的边长AD＝t，则OD＝1＋t.

∵四边形ADEF是正方形，

∴DE＝AD＝t.

∴E点坐标为(1＋t，t).

∵OA＝1，OC＝6，

∴B点坐标为(1，6)，

∵点B在反比例函数y＝的图象上，

∴将B(1，6)代入y＝的反比例函数表达式y＝.

∵点E在反比例函数y＝的图象上，

∴(1＋t)·t＝6.

整理，得 t2＋t－6＝0.

解得t1＝－3，t2＝2.

∵t＞0，

∴t＝2.

∴正方形ADEF的边长为2，

∴正方形ADEF的面积为4.

9．(2021·北海期中)如图，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，过点B向x轴作垂线，垂足为A，连接BO，则△OAB的面积为(　A　)

A．1    B．2    C．3    D．4

【解析】设B点坐标为(x，y)，

则xy＝2，OA＝x，AB＝y，

∴S△OAB＝OA·AB＝xy＝×2＝1，

(本题也可以直接利用反比例函数系数k的几何意义来求得答案).

10．(2021·台州质检)如图，A，B两点在双曲线y＝上，分别经过A，B两点向坐标轴作垂线，已知S阴影＝1.7，则S1＋S2等于__4.6__．

【解析】∵A，B两点在双曲线y＝上，反比例函数的图象与性质∴S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，

∴S1＋S2

＝S四边形AEOF＋S四边形BDOC－2×S阴影，

∴S1＋S2＝8－3.4＝4.6.

关键能力·综合练

1．若点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　C　)

A．y1＞y2＞y3    B．y3＞y2＞y1

C．y1＞y3＞y2    D．y2＞y3＞y1

【解析】∵k＜0，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大，

∴当x＝－1时，y1＞0，

∵2＜3，∴y2<y3<0，∴y2＜y3＜y1.

2．已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA.若△ACO的面积为3，则k＝－6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③若x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0，其中真命题个数是(　D　)

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

【解析】①∵△ACO的面积为3，∴|k|＝6，∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，∴k＜0，∴k＝－6，正确，是真命题；

②∵反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，

∴所在的每一个象限y随着x的增大而增大，若x1＜0＜x2，则y1＞0＞y2，正确，是真命题；

③当x1＋x2＝0时，由反比例函数的性质得，y1＋y2＝0，正确，是真命题，∴真命题有3个．

3．(2021·临汾质检)如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1－k2的值等于(　C　)

A．1    B．3    C．6    D．8

【解析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，

∴△AOB的面积为－，

∴－＝3，∴k1－k2＝6.

4．如图，已知双曲线y＝(x＞0)经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2.则k＝(　A　)

A．2    B．    C．1    D．4

【解析】设B点坐标为(a，b)，

∵矩形OABC的边AB的中点为F，

∴F点的坐标为，

∴S△OAF＝S△OEC＝|k|＝a·，

∴ab＝2k，

∵S矩形OABC＝S四边形OEBF＋S△OAF＋S△OEC，

∴ab＝2＋k＋k，

∴2k＝k＋2，

∴k＝2.

5．在同一直角坐标平面内，直线y＝x与双曲线y＝没有交点，那么m的取值范围是__m＜2__．

【解析】将y＝x代入y＝中，得x＝，

整理，得x2＝m－2.∵直线y＝x与双曲线y＝没有交点，∴方程x2＝m－2无解，∴m－2＜0，即m＜2.

6．(2021·百色期中)如图，反比例函数y＝与直线y＝ax＋b相交于A，B两点，则不等式＞ax＋b的解集为__x＜－1或0＜x＜2__．

【解析】观察函数图象，发现：当x＜－1或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，

∴不等式＞ax＋b的解集为x＜－1或0＜x＜2.

7．(2021·济南期中)如图，双曲线y＝(x＞0)经过A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，作BE⊥x轴于点E，连接AD，如果AC＝BE＝2，S四边形BEOD＝16，那么△ACD的面积＝__6__．

【解析】∵BE⊥x轴于E，BD⊥y轴于D，

∴S矩形BEOD＝|k|＝16，

而k＞0，

∴k＝16，

∴反比例函数的表达式为y＝，

∵AC⊥y轴，AC＝2，

∴A点的横坐标为2，

当x＝2时，y＝＝8，

∴OC＝8，

∵OD＝BE＝2，

∴CD＝OC－OD＝8－2＝6，

∴S△ACD＝×2×6＝6.

8．(素养提升)(2021·成都期中)如图，已知A(－6，n)，B(3，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝图象的两个交点，直线AB与x轴和y轴的交点分别为C，D.

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)求不等式kx＋b－＜0的解集(请直接写出答案)；

(3)若y轴上有一动点P，使得△PAB的面积为18，求P点的坐标．

【解析】(1)∵B(3，－4)在反比例函数y＝图象上，

∴m＝3×(－4)＝－12.

∴反比例函数的表达式为y＝－.

∵点A(－6，n)在y＝－上，

∴n＝2.∴A(－6，2).

∵y＝kx＋b经过A(－6，2)，B(3，－4)，

∴解得

∴一次函数的表达式为y＝－x－2.

(2)由题中图象可知，不等式kx＋b－＜0的解集是－6＜x＜0或x＞3；

(3)由直线y＝－x－2可知D(0，－2)，

∵A(－6，2)，B(3，－4)，

∴S△PAB＝S△PAD＋S△PBD＝×6×PD＋×3×PD＝18，

∴PD＝4，∴P点的坐标为(0，－6)或(0，2).

易错点1　忽略了增减性是在每一个象限内这个前提条件．

【案例1】若点A(a，m)和点B(b，n)在反比例函数y＝的图象上，且a＜b，则(　D　)

A．m＞n

B．m＜n

C．m＝n

D．m，n的大小无法确定

【解析】∵a，b的值无法确定，

∴无法确定在哪个象限，

∴无法确定m，n的值．

易错点2　忽视反比例函数中k的符号．

【案例2】如图，点A在反比例函数y＝的图象上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是2，则 k的值是__－4__．

【解析】∵S△AOB＝|k|＝2，∴|k|＝4，

∵图象在二四象限，∴k＝－4.

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