【培优分级练】人教版数学七年级上册 1.4.2《有理数的除法》培优三阶练（含解析）

1.4.2 有理数的除法
知识清单

1.有理数的除法
1）有理数除法法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数．，()
法则的另一说法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
除以任何一个不等于的数，都得．
2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．
注意：乘除混合运算要“从左到右”运算．分数可以理解为分子除以分母．
课后培优练级练

培优第一阶——基础过关练
1．（2022·广西·靖西市教学研究室七年级期中）计算（﹣1）÷3×（﹣）的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．9
【答案】C
【分析】根据有理数乘除法的计算法则进行计算即可．
【详解】解：原式=．故选：C．
【点睛】本题考查有理数的乘除法，掌握有理数乘除法的计算方法是正确计算的前提．
2．（2022·河北·石家庄市第四十一中学一模）若的计算结果为正数，代表的运算不可以是（       ）
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
【答案】A
【分析】利用有理数的四则运算法则进行计算即可．
【详解】解：，，，．故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．
3．（2022·四川南充·七年级期末）小明家的汽车在阳光下曝晒后车内温度达到了60℃，打开车门后经过降低到室外同温32℃，再启动空调关车门，若每分钟降低4℃，降到设定的20℃共用时间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出从32℃降低到20℃所需要的时间，再加上从60℃降低到32℃所需要的时间即可求解．
【详解】解：每分钟降低4℃，从32℃降低到20℃所需要的时间是min．
从60℃降低到32℃所需要的时间是8min．
所以共用时间为8+3=11min．故选：C．
【点睛】本题考查有理数加法运算的实际应用和有理数除法运算的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键．
4.（2021·河南·鹤壁市外国语中学七年级期中）已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么（       ）
A．－6 B．－5 C． D．
【答案】A
【分析】根据题中新定义化简，计算即可解题．
【详解】解：根据题意得，故选：A．
【点睛】本题考查有理数大小比较及有理数的乘除法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5. （2021·四川成都市·棠湖中学外语实验学校）给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】①按有理数的乘法法则计算即可；②按有理数的除法法则计算即可；③先算乘法再算除法即可；④先算除法再算乘法即可．
【详解】①，故错误；②，故错误；
③，故正确；④，故正确．∴正确的个数为2．故选择：C．
【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除法的运算顺序，它们是同级运算，从左向右进行计算是解题关键．
6．（2022·广西·桂林市宝贤中学七年级阶段练习）已知a，b为有理数，则下列说法正确的个数为（          ）
①若，，则，．②若，，则，且．
③若，，则，．④若，，则，且．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据有理数的加法法则以及有理数的除法法则分别分析得出即可．
【详解】解：①若，，则，，故①结论正确；
②若，，则a＞0，b＜0且|a|＞|b|或a＜0，b＞0且|a|＜|b|，故②结论错误；
③若，，则a＜0，b＜0，故③结论正确；
④若，，则a＞0，b＜0且|b|＞|a|或a＜0，b＞0且|b|＜|a|，故结论错误．
故正确的有2个．故选：B．
【点睛】此题主要考查了有理数的除法法则以及有理数加法法则的应用，熟练掌握法则是解题关键．
7．（2021·辽宁鞍山·七年级阶段练习）计算：______．
【答案】
【分析】先把带分数化为假分数，然后根据乘除法运算法则进行解题，即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘法和除法的运算法则，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行解题．
8．（2021·黑龙江绥化·期末）疫情期间，某超市5月份的营业额按5%纳税，税后余额为57万元，该超市5月份纳税 ___万元．
【答案】3
【分析】将营业额当做单位“1”，根据分数减法的意义，税后余额占总营业额的（1−5%），又税后余额为57万元，根据分数除法的意义，用税后余额除以其总营业额的分率，即得总营业额是多少元，然后再用总营业额×纳税税率求得所纳税额．
【详解】解：57÷（1−5%）
=57÷95%
=60（万元）
60×5%=3（万元）
故答案为：3．
【点睛】本题考查有理数除法的应用，理解“营业额×税率=所纳税额”是解题的关键．
9.（2021·浙江杭州市·七年级期末）给出四个数：,2,6，计算“24点”，请列出四个符合要求的不同算式．（可运用加、减、乘、除、乘方运算，可用括号；注意：例如与只是顺序不同，属同一个算式．）
算式1：_________________；算式2_______________；算式3：_________________；算式4_______________；
【答案】

【分析】由 可得由 可得由 可得由，可得从而可得答案．
【详解】解：算式1：
算式2：
算式3：
算式4：
故答案为：

【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法，注意本题答案不唯一，这是一道开放性的题目，同时考查了学生的逆向思维．
10.（2022·全国·七年级课时练习）计算：
（1）；    （2）；
（3）；    （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）（2）（3）利用有理数的除法法则计算即可；
（4）先计算括号内的除法，再利用有理数的除法法则计算即可．
【详解】解：（1）；                      
（2）；
（3）；          
（4）．
【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意：除以一个数等于乘以这个数的倒数．
11.（2021·山西临汾·七年级期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读．
计算：．
解：原式=（–15）÷（）×6…………第一步
=（–15）÷（–20）…………第二步
第三步
并解答下列问题．
（1）上面的解题过程用两处错误：
第一处是第____步，错误原因是 ．
第二处是第____步，错误原因是 ．
（2）请写出正确的计算过程．
【答案】（1）二， 运算顺序错误； 三，符号错误；（2）27，过程见解析
【分析】（1）第二步没有按照同级运算要从左至右进行运算，从而出现错误，第三步没有注意两数相除，同号得正，异号得负，从而出现错误；（2）先计算括号内的减法运算，再把除法转化为乘法运算，再计算乘法运算即可.
【详解】解：（1）第二步， 运算顺序错误；第三步，符号错误．
故答案为：二， 运算顺序错误； 三，符号错误
（2）




【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除混合运算，掌握“有理数的混合运算的运算顺序与运算法则”是解题的关键.
12.（2021·江苏徐州·七年级期中）计算：
（1） （2）．
【答案】（1）3；（2）1
【详解】解：（1）原式==3；
（2）原式===1．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则和运算顺序是解题的关键．
13.（2021·浙江杭州市·七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”．
（1）求小王和小李的速度．
（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李．
（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？
【答案】（1）小李的速度为8米/秒，小王的速度为10米/秒；（2）8秒；（3）3秒
【分析】（1）利用20÷2.5可得小李的速度，从而得到小王的时间，再利用路程除以该时间可得小王的速度；
（2）利用路程÷速度差=追上小李的时间可列式计算；
（3）根据题意可得该时间的路程差，再除以速度差可得时间，从而计算耽搁的时间．
【详解】解：（1）20÷2.5=8米/秒，∴小李的速度为8米/秒，
100÷8=12.5秒，100÷（12.5-2.5）=10米/秒，∴小王的速度为：10米/秒；
（2）8×2÷（10-8）=8秒，∴小王起跑后8秒追上小李；
（3）（20-2）÷（10-8）=9秒，120÷10-9=3秒，∴最多耽搁3秒．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握行程问题的计算公式的应用．
14．（2022·湖北孝感·七年级期末）计算：
(1)； (2).
【答案】(1) (2)
【分析】（1）把除法转化为乘法，利用乘法分配律简便运算；
（2）先算括号内，再算乘除，最后计算加法
(1)



；
(2)原式



．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序是解决问题的关键，注意利用运算律简便运算．
培优第二阶——拓展培优练
1. 下列各式中，与的运算结果相同的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的除法法则可直接进行排除选项．
【详解】解：；故选C．
【点睛】本题主要考查有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键．
2.（2021·湖南张家界市·七年级期末）概念学习：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”， (－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)记作(－3)4，读作“－3的4次商”．一般地，我们把n个a（a≠0）相除记作an，读作“a的n次商”．根据所学概念，则(－4)5的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用题中的新定义计算即可求出值．
【详解】解：根据题意得：（-4）5=（-4）÷（-4）÷（-4）÷（-4）÷（-4）=1÷（-4）÷（-4）÷（-4），
= 1×（-）×（-）×（- ）=，故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2022·江苏宿迁·七年级期末）有两个正数a和b，满足a＜b，规定把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b],例如大于等于0且小于等于5的所有数记作[0，5]．如果m在[5，15]中，n在[20，30]中，则的一切值所在的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据m在[5,15]内，n在[20,30]内，可得的最小值与最大值．
【详解】解：∵m在[5，15]内，n在[20，30]内，∴5≤m≤15，20≤n≤30，
∴的最小值为，最大值为∴的一切值所在的范围是．故选：A．
【点睛】本题考查了新定义的有理数运算，关键是得到5⩽m⩽15，20⩽n⩽30，求出的最大与最小值．
4．（2022·全国·七年级）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（   ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
【答案】B
【分析】根据公式和新定义的运算将数值代入公式求解即可．
【详解】解：C125 =故选：B．
【点睛】关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法进行解答．
5．（2022·重庆江北·七年级期末）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p、q是正整数．且p≤q），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：S(n)=，例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，则S(18)==，例如35可以分解成1×35，5×7，则S(35)=，则S(128)的值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由128=1×128=2×64=4×32=8×16结合最佳分解的定义即可知F（128）=．
【详解】解：∵128=1×128=2×64=4×32=8×16，∴F（128）=，故选：A．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算．理解题意掌握最佳分解的定义是解题的关键．
6．（2022·重庆文德中学校七年级期中）重庆文德中学的校车王师傅为了掌握自己车的油耗情况，在连续两次加油时做了如下工作：（1）把油箱加满油；（2）记录两次加油时的累计里程（注：“累计里程”指车从出厂开始累计行驶的路程)，以下是王师傅连续两次加油时的记录：
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
第一次
18
6200
第二次
30
6500
则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为__________升
【答案】
【分析】根据图表得出总的耗油量升以及行驶的总路程千米，进而求出平均油耗．
【详解】解：由题意可得：两次加油间耗油30升，
行驶的路程为（千米），
所以该车每100千米平均耗油量为：30÷（300÷100）=10（升）．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了有理数的减法运算，有理数的除法运算的实际应用，正确从图表中获取正确信息是解题关键．
7．（2021·重庆巴蜀中学七年级期中）为了让市民接种新冠疫苗更加方便，某社区卫生中心对辖区居民接种疫苗意愿进行了预登记．某小区居民在预登记时，申请需接种两针的“国药灭活疫苗”、一针的“康希诺腺病毒载体疫苗”和三针的“智飞生物重组蛋白疫苗”的人数均不低于10人．正式登记时，该小区居民接种两针疫苗和一针疫苗的人数均比预登记时增加了，接种三针疫苗的只有8人，实际接种时在接种两针疫苗的居民中有几人因身体不符合接种条件而没能接种．接种结束后（需要接种的针剂全部打完）卫生中心统计发现该小区预登记和实际接种时的针剂总数恰好都为100针，则该小区实际接种的人数最多为________人．
【答案】76
【分析】根据临界值求最值即可．
【详解】解：因为实际接种100针，三针接种人数为8人，∴当一针接种人数最多时总人数最多，
∵二针、三针预登记的人数最少为10人，则一针的预登记人数最多为100-10×3-10×2=50（人），
正式登记一、二针增加20%，故一针实际登记人数为50×（1+20%）=60人，
二针实际登记为10×（1+20%）=12（人）．
实际接种时：三针接种人数为8人，一针为60人，共用8×3+60=84（针），则二针用100-84=16针，
∴二针接种人数为16÷2=8人．故总人数最多为：60+8+8=76人．故答案为76．
【点睛】此题考查不等式的知识，用临界值思想求最值是解此题的关键．
8.（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元．
【答案】55.6或22##22或55.6
【分析】根据题意分类讨论，分别求得两次购物标价，进而根据优惠方案求解即可．
【详解】解：付款192的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为192元；付款192的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则标价为192÷0.8=240元；
由500×0.8=400，所以付款384的商品没有超过元，则按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则商品的标价为384÷0.8=480元，
所以某人两次购物分别付款192元和384元的商品的总标价为192+480=672（元）或240+480=720（元），
当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠之外，超过500元部分给予七折优惠进行付款．
总标价为672元应实际付款数=500×0.8+（672-500）×0.7=520.4（元），
则他可节约（192+384）-520.4=55.6（元）；
总标价为720元应实际付款数=500×0.8+（720-500）×0.7=554（元），
则他可节约（192+384）-554=22（元）．
故答案为：55.6或22．
【点睛】本题考查了有理数运算的应用，分别求得两次购物标价是解题的关键．
9．（2022·浙江杭州·模拟预测）李明组织同学一起去观看电影《流浪地球》，票价为每张60元，若购买20张以上（不含20张），则全部打八折，已知他们一共花了1200元，他们共买了_______张电影票．
【答案】20或25
【分析】根据数量=总价÷单价，分票价每张60元和票价每张60元的八折两种情况讨论即可.
【详解】解：①若票价每张60元
则1200÷60=20（张）
②若票价每张60元的八折
则1200÷（60×0.8）=1200÷48=25（张）
答：他们共买了20或25张电影票
故答案为：20或25
【点睛】本题考查了销售问题，注意分类思想的实际运用，同时熟练掌握数量，总价和单价之间的关系
10．（2022·江苏七年级期中）点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为或．
例如：抽到的数字为“，，，”，则可列式并计算为：．
如果♥、◆表示正，♠、♣表示负（如“◆”为“”，“♠”为“”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为或．
①

依次记为：_________________
列式计算：__________________．
②

依次记为：_________________
列式计算：_______．
【答案】①，，，；．（答案不唯一，正确即可）
②，，，；．（答案不唯一，正确即可）
【分析】根据♥、◆表示正，♠、♣表示负结合牌的点数即可表示，出各张牌表示的数，根据“点”游戏规则结合有理数的混合运算法则列式即可．
【详解】解：①四张牌依次记为，，，；
列式计算得：（答案不唯一，正确即可）；
②四张牌依次记为，，，；
列式计算得：（答案不唯一，正确即可）．
【点睛】本题考查了新定义问题和有理数的混合运算，理解“点”游戏规则并熟练掌握有理数运算法则是解题关键．
11．（2022·全国七年级）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即： 如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为__．
【答案】10或64
【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可．
【详解】解：如图，利用倒推法可得：

由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，
由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，
由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8
由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，
由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，
由第1次计算后得5，可得原数为10，由第1次计算后32，可得原数为64，故答案为：10或64．
【点睛】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重．
12．（2021·山西临汾·七年级期中）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．天干地支纪年法共有十天干与十二地支，具体情况如下表.其算法是：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．（用天干地支纪年法表示）
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸



4
5
6
7
8
9
0
1
2
3


地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戊
亥

4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
【答案】辛丑
【分析】由题意信息可得：结合2021年年份的尾数是1，尾数1为辛，的余数为5，5为丑，从而可得答案.
【详解】解：由题意得：2021年年份的尾数是1，而尾数1为辛，
的余数为5，5为丑，所以2021年是辛丑年.故答案为：辛丑.
【点睛】本题考查的有理数除法的应用，属于阅读理解类型题，正确理解题意是解题的关键.
13．（2021·浙江杭州市·七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”．
（1）求小王和小李的速度．
（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李．
（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？
【答案】（1）小李的速度为8米/秒，小王的速度为10米/秒；（2）8秒；（3）3秒
【分析】（1）利用20÷2.5可得小李的速度，从而得到小王的时间，再利用路程除以该时间可得小王的速度；
（2）利用路程÷速度差=追上小李的时间可列式计算；
（3）根据题意可得该时间的路程差，再除以速度差可得时间，从而计算耽搁的时间．
【详解】解：（1）20÷2.5=8米/秒，∴小李的速度为8米/秒，
100÷8=12.5秒，100÷（12.5-2.5）=10米/秒，∴小王的速度为：10米/秒；
（2）8×2÷（10-8）=8秒，∴小王起跑后8秒追上小李；
（3）（20-2）÷（10-8）=9秒，120÷10-9=3秒，∴最多耽搁3秒．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握行程问题的计算公式的应用．
14.（2021·娄底市第二中学七年级期中）请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是
＝
＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：．
【答案】．
【分析】根据题意，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可．
【详解】解：原式的倒数是：
，
故原式．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法，读懂题意，并能根据题意解答题目是解决问题的关键．
15．（2021·北京海淀区·七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于　 　类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于　 　类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于　 　类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是　 　（填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④
【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；
（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．
【详解】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A；
（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②B；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，
∵最后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；
②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；
③若m＝1，n＝1，③错误；
④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；
综上，①④正确．故答案为：①④．
【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．

培优第三阶——中考沙场点兵
1．（2022·吉林吉林·二模）若等式－1□2＝－3成立，则□内的运算符号是（       ）
A．＋ B．－ C．× D．÷
【答案】B
【分析】根据有理数的运算法则计算即可求解．
【详解】解：A.-1+2=1≠-3，故选项A不符合题意；
B. -1-2=-（1+2）=-3，故选项B符合题意；
C.，故选项C不符合题意；
D.，故选项D不符合题意；   
∴若等式－1□2＝－3成立，则“□”内的运算符号是-．故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2022·河北保定·一模）若使得算式﹣2□0.25的值最小，则“□”中填入的运算符号是（　　）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【答案】D
【分析】将运算符号放入方框，计算即可作出判断．
【详解】解：
而
则使得算式-2□0.25的值最小时，则“□”中填入的运算符号是÷， 故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除运算，有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2022·天津·二模）计算的结果等于（       ）
A．16 B．－16 C．1 D．－1
【答案】B
【分析】根据有理数的运算法则即可求解．
【详解】=4×（-4）=-16故选B．
【点睛】此题主要考查有理数的除法，解题的关键是熟知其运算法则．
4．（2022·河北·一模）☐，那么“☐”内应填的实数是（       ）
A． B．8 C．4 D．
【答案】A
【分析】根据有理数的乘除法运算法则，将除法恒等变形为乘法即可求解．
【详解】解：☐，
等式两边同乘以得到☐，即☐，故选：A．
【点睛】本题考查有理数的乘除法运算，根据等式的基本性质将除法转换成乘法是解决问题的关键．
5．（2022·天津·模拟预测）计算的结果为（       ）
A．4 B．-4 C．16 D．-16
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法和除法的运算法则运算即可．
【详解】解：原式=
=-16．故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数乘法和除法的运算法则．
6．（2021·山西·二模）下列四个算式中运算结果为2021的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数的运算即可求解．
【详解】，A选项不符合题意；
，B选项不符合题意；
，C选项符合题意；
，D选项不符合题意．故选C．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
7．（2022·上海奉贤·二模）某眼镜店暑假期间开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如图，那么广告牌上填的原价是______元．

【答案】200
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：原价为160÷0.8=200（元）；
故答案为200．
【点睛】本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意．
8．（2021·河北·三模）如图，在数轴上有三个点，回答下列问题：

（1）若将点向右移动个单位长度后，三个点所表示的数中最小的数是多少？
（2）在数轴上找一点，使点到两点的距离相等，写出点表示的数；
（3）在数轴上找出点，使点到点的距离等于点到点的距离的倍，写出点表示的数．
【答案】（1）   （2）   （3）或
【分析】（1）根据移动的方向和距离结合数轴即可回答；
（2）根据题意可知点D是线段AC的中点；
（3）在点B左侧找一点E，点E到点A的距离是到点B的距离的2倍，依此即可求解．
【详解】解：（1）点B表示的数为-4+5=1，
∵-1＜1＜2，
∴三个点所表示的数最小的数是-1；
（2）点D表示的数为（-1+2）÷2=1÷2=0.5；
（3）点E在点B的左侧时，根据题意可知点B是AE的中点，
AB=|-1+4|=3
则点E表示的数是-4-3=-7．
点E在点B的右侧时，即点E在AB上，
则点E表示的数为-3．
【点睛】本题主要考查的是有理数大小比较，数轴的认识，找出各点在数轴上的位置是解题的关键．
9．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．

（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；
（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．
【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），
250-5×10=200（毫升），
答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；
（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），
160÷4+20=60（分钟），
答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．
【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键．
10．（2022· 绵阳市·九年级专项）计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）16．
【分析】（1）先计算除法，再计算加法，两个有理数相除，同号得正；
（2）乘除法，同级运算，从左到右，依次将除法转化为乘法，先确定符号，再将数值相乘；
（3）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律解题，注意符号；
（4）先算乘除，再算减法，结合加法结合律解题；（5）先算小括号，再算除法；
（6）先算小括号，再算中括号；（7）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律的逆运算解题；
（8）先算小括号，再算中括号，结合乘法交换律解题．
【详解】解：（1）



；
（2）

；
（3）


；
（4）


；
（5）


；
（6）






；
（7）



；
（8）




．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，涉及加法结合律、乘法分配律等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
11．（2022·重庆市中考模拟）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．

1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
气表读数（立方米）
433
450
468
485
500
514
535

（1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米．
（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？
（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？
【答案】（1）；；（2）元；（3）元
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得出小明家月份的用气量和月份平均每月的用气量
（2）根据小明家月份的气费为元，可以计算出一级用气价格，再根据小明家月份的用气量超过立方米且不超过立方米，超过立方米的部分按第二级气量基数，结合题意，从而即可计算
（3）根据题意，可计算出小明家月的用气量，再结合题意，即可计算
【详解】（1）由表格数据可得：小明家月份的用气量为立方米；
月份平均每月的用气量为：立方米
故答案为：；
（2）小明家月份的气费为元，月份的气费量为：
一级用气价格为：（元/立方米）
月份的用气量为立方米，气量超过立方米且不超过立方米的部分按第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的倍收取
月份小明家需交气费为：元
（3）小明家月份的用气量为：立方米，月份的用气量比月份的多立方米
月份的用气量为：立方米
气量超过立方米且不超过立方米的部分为第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的倍收取，用气量超过立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的倍收取费用
月份小明家需交气费为：元
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是明确题意，求出相应的收费标准．