初高中数学衔接--函数及其表示讲义
展开初高中数学衔接--函数及其表示
一、知识要点：
(一)函数的定义：
1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量和，如果对于某一范围内的每一个值，都有唯一的值和它对应,那么就说是的函数，叫做自变量, 叫做因变量(函数).
2、近代定义:设A、B是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作,.其中, 叫做自变量, 的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.
(二)对函数的定义的理解:
①近代定义中“A、B是非空数集”,因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在.
②函数实质上是从非空数集A到非空数集B的一种特殊的对应，这种对应可以是一对一、多对一，但不能是一对多；B中数可有剩余，但A中数不能有剩余。要检验一个对应关系是否具有函数关系，只要检验：
⑴两个集合是不是非空集合；
⑵根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应。
③函数记号“”的内涵：
⑴ “”是“是的函数”这句话的数学表示，是一个整体符号，并不表示“等于与的乘积”。
⑵是对应关系，它可以是一个或几个解析式（分段函数是一个函数，自变量所在区间变化，对应关系也随之变化，不要把它误认为是“几个函数），可以是图象、表格，也可以是文字叙述。如,表示为“开算数平方”；，表示为“乘3加1”。函数的对应关系可以看成对施加的某种操作，数被作用后得到数。
又如：对于函数①中对应法则“”表示这样一套运算的框架: ，．
即: ，. 据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:
:对自变量的取值实施上述运算后的结果,故有；
:对自变量实施上述运算后的结果,故有；
:对函数实施上述运算后的结果,于是有②
④函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可。在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定。所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)。
（三）初中所学函数的定义域、值域、对应关系：
1．一次函数:定义域R, 值域R;
2．反比例函:定义域, 值域;
3．二次函数:定义域R
值域：当时，；当时，
（四）区间的概念及写法：
设、是两个实数，且，则：
（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；
（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；
（3）满足不等式的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为；
这里的实数和都叫做相应区间的端点。
（4）实数集R可以用区间表示为，“∞”读作“无穷大”，“﹣∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。
（5）我们把满足的实数的集合分别表示为：
。
注意：数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆。
二、题型：
（一）函数的概念及应用：
1. 下列图像中，是函数图像的是 ①③
① ② ③ ④
2．设，，下列图形表示集合到集合的函数图形的是( D )
A B C D
3．函数的图象与直线的交点个数为（ ）
A．必有一个 B．一个或两个 C．至多一个 D．可能两个以上
4. 下列式子能确定是的函数的有（ B ）
①=2 ② ③y=
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
（二）同一函数的判定：
1.下列函数中，与函数是同一函数的是（ D ）
A． B． C． D．
2.下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
（三）函数的定义域：
（Ⅰ）由解析式确定函数的定义域:
当函数是由解析式给出时，则其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合。也就是：
（1）分式的分母不能为0；
（2）偶次方根的被开放数不小于0；
（3）对数函数的真数必须大于0；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；
（5）零指数幂的底数不等于零；
如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，则它的定义域是使各部分都有意义的值组成的集合。
1.函数的定义域为（ D ）
A． B． C． D．
2.函数的定义域是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
3．要使()0有意义,则满足条件_______________.
4．函数＋中自变量的取值范围是
（Ⅱ）抽象函数的定义域:
①若已知的定义域为，则复合函数的定义域可由不等式,解出； ②若已知定义域为，则函数定义域为当时函数的值域。
1.已知函数的定义域为，则的定义域为
2. 已知函数的定义域为，求函数的定义域。
解：由题意有 解得 ，故此函数的定义域为〔－2，1〕
注意：函数的定义域是一个集合，因此所求函数的定义域必须用区间或集合表示。
3. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数的定义域为，求的定义域。
（Ⅲ）由实际问题确定函数的定义域:
当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于0，人必须为自然数等）。
（Ⅳ）求定义域的逆向问题:
1.函数的定义域，求实数的取值范围。
解：因为函数的定义域，
所以，恒成立
①当，即时，对不恒成立
②当时，须有，
即，即，
综上所述，实数的取值范围是
思考题：
1.下列图象中不能作为函数图象的是（ B ）
2. 下列各组函数表示同一函数的是（ C ）
A． B．
C． D．
3.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
4．函数y=中，自变量的取值范围是___≥-且≠，≠3 ________．
点拨：根据二次根式，分式和负整数指数幂有意义的条件得不等式组 解得
5. 已知函数的定义域为，求函数的定义域；
[解析]，
∴所求函数定义域是；
6.若函数的定义域是，则函数的定义域是（ B ）
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为R，求实数的取值范围.
[解析]∵是由二次（或一次）函数为主体的复合函数，∴解答的主要知识是二次函数知识.
①若，
1）当a=1时，，定义域为R，适合；
2）当a=－1时，，定义域不为R，不合；
②若为二次函数，
定义域为R，恒成立，
；
综合①、②得a的取值范围
