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初高中数学衔接讲义03相似形与圆 3课时（含答案）
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3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
3.1.2相似形
3.2 三角形
3.2.1 三角形的“四心”
3.2.2 几种特殊的三角形
3．3圆
3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系
3.3.2 点的轨迹
3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.
图3.1-1
在一张方格纸上，我们作平\作直线交于点，不难发现
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图3.1-2，，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
例1 如图3.1-2， ，
且求.
解
例2 在中，为边上的点，，
求证：.
证明（1）
∽，
证明（2） 如图3.1-3，过作直线，
.
过作交于，得，
因而
从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
例3 已知，在上，，能否在上找到一点，使得线段的中点在上.
解 假设能找到，如图3.1-4，设交于，则为的中点，作交于.
，
，且，’
证：.
证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E，
AD平分
由知
.
例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.
练习1
1．如图3.1-6，，下列比例式正确的是（ ）
A． B．
C． D.
2．如图3.1-7，求.
3．如图，在中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.
4．如图，在中，的外角平分线交的延长线于点，求证：.
5．如图，在的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：.
3.1．2．相似形
我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？
例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，，求证：.
证明 在与中，
∽，
，即.
图3.1-11
又与中，，
∽，
.
例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，为直角，.
图3.1-12
求证：（1），；
（2）
证明 （1）在与中，，
∽，
同理可证得.
（2）在与中，，
∽，
我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
例7 在中，，求证：.
证明 ，
为直角三角形，又，
由射影定理，知.
同理可得.
图3.1-13
.
例8 如图3.1-14，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
图3.1-14
（1） 当时，有.（如图3.1-14a）
（2） 当时，有.（如图3.1-14b）
（3） 当时，有.（如图3.1-14c）
在图3.1-14d中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）.
解：依题意可以猜想：当时，有成立.
证明 过点D作DF//BE交AC于点F，
D是BC的中点，F是EC的中点，
由可知，.
想一想，图3.1-14d中，若，则
本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.
练习2
1．如图3.1-15，D是的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是__________.
3．已知：的三边长分别是3，4，5，与其相似的的最大边长是15，求的面积.
4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
（1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；
（2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？
5．如图点C、D在线段AB上，是等边三角形，
（1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，∽？
（2） 当∽时，求的度数.
习题3.1
A组
1． 如图3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）
A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6
C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8
图3.1-18
2． 如图3.1-19，BD、CE是的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则等于（ ）
A．1：3 B．1：4
图3.1-19
C．1：5 D．1：6
3． 如图3.1-20，中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，，求.
图3.1-20
4． 如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求证：.
图3.1-21
B组
1． 如图3.1-22，已知中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为（ ）
图3.1-22
A． B．1 C． D．2
图3.1-23
2． 如图3.1-23，已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ）
A． B． C． D．
图3.1-24
3． 如图3.1-24，已知M为的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与面积的比是（ ）
A． B． C． D．
4． 如图3.1-25，梯形ABCD中，AD//BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF//AD.
（1） 求证：OE=OF；
（2） 求的值；
（3） 求证：.
C组
1． 如图3.1-26，中，P是边AB上一点，连结CP.
（1） 要使∽，还要补充的一个条件是____________.
（2） 若∽，且，则=_____.
2． 如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且.
（1） 求证：；的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.
3． 如图3.1-28，在中，AB=AC，，点D为BC上任一点，于F，于E，M为BC的中点，试判断是什么形状的三角形，并证明你的结论.
4． 分别为B、D，AD和BC相交于E，于F，我们可以证明图3.1-29
若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，相交，EF//AB交BD于F，则：
（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2） 请找出和之间的关系，并给出证明.
3.1 相似形
练习1
1．D
2．设，即.
3．
4．作交于，则，又得.
5．作交于，即.
练习2
1．
2．12，18
3．
4．（1）因为所以是平行四边形；（2）当时，为菱形；当时，为正方形.
5．（1）当时，；（2）.
习题3.1
A组
1．B 2.B 3.
4．为直角三角形斜边上的高，，又可证.
B组
1．C 2.C 3.A
4．（1）.（2）（3）由（2）知
C组
1.(1)或.(2).
2．（1）先证，可得；（2）.
3．连交于，连，为等腰直角三角形，且AEDF为矩形，为斜边的中线，为直角三角形.又可证，得，故为等腰直角三角形.
4．（1）成立，（2），证略.
3.2 三角形
3．2．1 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
图3.2-3
图3.2-1
图3.2-2
如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，
求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
证明 连结DE，设AD、BE交于点G，
D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且，
∽，且相似比为1：2，
图3.2-4
.
设AD、CF交于点，同理可得，
则与重合，
AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.
图3.2-5
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）
例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.
证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，
图3.2-6
为圆的从同一点作的两条切线，，
同理，BD=BF，CD=CE.
即.
例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知 O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图，连AO并延长交BC于D.
O为三角形的内心，故AD平分，
图3.2-7
（角平分线性质定理）
O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.
，即.
同理可得，AB=BC.
为等边三角形.
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）
图3.2-8
图3.2-9
例4 求证：三角形的三条高交于一点.
已知 中，AD与BE交于H点.
求证 .
证明 以CH为直径作圆，
在以CH为直径的圆上，
.
同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得.
，
又与有公共角，，即.
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
练习1
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.
2． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是 ___________;
（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是 ___________. 并请说明理由.
3.2.2 几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.
例5 在中，求
（1）的面积及边上的高；
（2）的内切圆的半径；
（3）的外接圆的半径.
图3.2-10
解 （1）如图，作于.
为的中点，
图3.2-11
又解得.
（2）如图，为内心，则到三边的距离均为，
连，
，
即，
图3.2-12
解得.
（3）是等腰三角形，
外心在上，连，
则中，
解得
图3.2-13
在直角三角形ABC中，为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？
该直角三角形的三边长满足勾股定理：.
例6 如图，在中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：.
证明：过A作于D.
图3.2-14
在中，.
在中，.
.
.
.
图3.2-15
正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.
例7 已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为，三角形ABC的高为，
“若点P在一边BC上，此时，可得结论：.”
请直接应用以上信息解决下列问题：
当（1）点P在内（如图b），（2）点在外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，与之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.
图3.2-16
解 （1）当点P在内时，
法一 如图，过P作分别交于，
由题设知，
而，
故，即.
法二 如图，连结，
图3.2-17
，
，
又，
，即.
（2）当点P在外如图位置时，不成立，猜想：.
图3.2-18
注意：当点P在外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如
，（如图3.2-18，想一想为什么？）等.
在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.
练习2
1． 直角三角形的三边长为3，4，,则________.
2． 等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.
3． 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4． 已知直角三角形的周长为，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.
5． 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.
习题3.2
A组
1． 已知：在中，AB=AC，为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（）
A． B． C． D．
2． 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）
A．6 B．4.5 C．2.4 D．8
3． 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.
4． 已知：是的三条边，，那么的取值范围是_________。
5． 若三角形的三边长分别为，且是整数，则的值是_________。
B组
1． 如图3.2-19，等边的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则的周长为（）
图3.2-19
A． B．
C． D．
2． 如图3.2-20，在中，，BD是边AC上的高，求的度数。
图3.2-20
图3.2-21
3． 如图3.2-21，是AB的中点，AM=AN，MN//AC，求证：MN=AC。
4． 如图3.2-22，在中，AD平分，AB+BD=AC.求的值。
图3.2-22
5． 如图3.2-23，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且，求证：.
图3.2-23
C组
1． 已知，则以为边的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．形状无法确定
图3.2-24
2． 如图3.2-24，把纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A． B．
C． D．
图3.2-25
3． 如图3.2-25，已知BD是等腰三角形ABC底角平分线，且AB=BC+CD，求证：.
图3.2-26
4． 如图3.2-26，在等腰中，D是斜边AB上任一点，于E，交CD的延长线于F，于H，交AE于G.求证：BD=CG.
3.2 三角形
练习1
1．证略 2.（1）；（2）.
练习2
1．5或 2.或 3.C
4．设两直角边长为，斜边长为2，则，且，解得，. 5.可利用面积证.
习题3.2
A组
1．B 2. D 3. 4. 5.8
B组
1．A 2.
3．连，证.
4．在AC上取点E，使AE=AB，则， .又BD=DE=EC，
5．可证，因而与互余，得.
C组
1．C．不妨设，可得，为直角三角形.
2．B
3．在AB上取E使BE=BC，则，且AE=ED=DC，
4．先证明，得CE=BF，再证，得BD=CG.
3．3圆
3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系
设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？
图3.3-2
图3.3-1
观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.
在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有
.
图3.3-3
当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，，且在中，.
如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.
图3.3-4
例1 如图3.3-5，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中点，求弦BD的长度。
解 连结OD，交AB于点E。
是圆心，
在中，OB=5cm,BE=3cm,
图3.3-5
在中，BE=3cm,DE=1cm,
例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.
图3.3-6
解 设圆的半径为，分两种情况（如图3.3-6）：
（1） 若在两条平行线的外侧，
如图（1），AB=6，CD=，
则由，得，解得.
（2）若在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD=，
则由，得，无解.
综合得，圆的半径为5.
设圆与圆半径分别为，它们可能有哪几种位置关系？
图3.3-7
观察图3.3-7，两圆的圆心距为，不难发现：当时，两圆相内切，如图（1）；当时，两圆相外切，如图（2）；当时，两圆相内含，如图（3）；当时，两圆相交，如图（4）；当时，两圆相外切，如图（5）.
例3 设圆与圆的半径分别为3和2，，为两圆的交点，试求两圆的公共弦的长度.
解 连交于，
则，且为的中点，
图3.3-8
设，则，解得。故弦的长为.
练习 1
图3.3-9
1.如图3.3-9，⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。
2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。
图3.3-10
3.如图3.3-10，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，求CD的长。
4．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.
3．3．2 点的轨迹
在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
（1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：
（2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
（3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.
图3.3-11
例3 ⊙O过两个已知点、，圆心的轨迹是什么？画出它的图形.
分析 如图3.3-11，如果以点为圆心的圆经过点、，那么；反过来，如果一个点到、两点距离相等，即，那么以为圆心，OA为半径的圆一定经过、两点.
这就是说，过、点的圆的圆心的轨迹，就是到、两点距离相等的点的轨迹，即和线段两个端点距离相等的点的轨迹.
答：经过、两点的圆的圆心O的轨迹是线段的垂直平分线.
练习2
1．画图说明满足下列条件的点的轨迹：
（1） 到定点的距离等于的点的轨迹；
（2） 到直线的距离等于的点的轨迹；
（3） 已知直线，到、的距离相等的点的轨迹.
2．画图说明，到直线的距离等于定长的点的轨迹.
习题3.3
A组
1． 已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（ ）
A． B． C．3 D．4
2． 在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． B． C． D．
3． AB为⊙O的直径，弦，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于（ ）
A． B． C． D．
图3.3-12
4． 如图3.3-12，在⊙O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB=10cm,OE=12cm，求AB。
B组
1． 如图3.3-13，已知在中，以C为圆心，CA为半径的圆交斜边于D，求AD。
图3.3-13
图3.3-14
2． 如图3.3-14，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长。
3． 如图3.3-15，内接于⊙O，D为的中点，于E。求证：AD平分。
图3.3-15
4． 如图3.3-16，，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD。
图3.3-16
5． 已知线段.画出到点的距离等于的点的轨迹，再画出到点的距离等于的点的轨迹，指出到点的距离等于，且到点的距离等于的点，这样的点有几个？
3.3 圆
练习1
1．取AB中点M，连CM，MD，则，且C，O，M，D共线，.
2．O到AB，CD的距离分别为3cm,4cm，梯形的高为1cm或7cm，梯形的面积为7或49.
3. 半径为3cm，OE=2cm.,OF=.
4.外公切线长为12，内公切线长为.
练习2
1.(1)以A为圆心，3cm为半径的圆；（2）与平行，且与距离为2cm的两条平行线；（3）与AB平行，且与AB,CD距离相等的一条直线.
2.两条平行直线，图略.
习题3.3
A组
1．B 2.A 3.B 4.AB=8cm.
B组
1.作于M，AB=13cm,.
2.AB=120cm.
3.先证，再证.
4．先证明再证AE=BF=AC=CD.
5．有2个，图略.
练 习
1．解下列不等式：
（1）3x2－x－4＞0； （2）x2－x－12≤0；
kl
（3）x2＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x2≤0．
2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．
习题2．3
A 组
1．解下列方程组：
B 组
1．取什么值时,方程组
有一个实数解?并求出这时方程组的解．
2．解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．
C 组
1．已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式
bx2＋cx＋4≥0．
2．试求关于x的函数y＝－x2＋mx＋2在0≤x≤2上的最大值k．
3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
3.1.2相似形
3.2 三角形
3.2.1 三角形的“四心”
3.2.2 几种特殊的三角形
3．3圆
3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系
3.3.2 点的轨迹
3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.
图3.1-1
在一张方格纸上，我们作平\作直线交于点，不难发现
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图3.1-2，，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
例1 如图3.1-2， ，
且求.
解
例2 在中，为边上的点，，
求证：.
证明（1）
∽，
证明（2） 如图3.1-3，过作直线，
.
过作交于，得，
因而
从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
例3 已知，在上，，能否在上找到一点，使得线段的中点在上.
解 假设能找到，如图3.1-4，设交于，则为的中点，作交于.
，
，且，’
证：.
证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E，
AD平分
由知
.
例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.
练习1
1．如图3.1-6，，下列比例式正确的是（ ）
A． B．
C． D.
2．如图3.1-7，求.
3．如图，在中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.
4．如图，在中，的外角平分线交的延长线于点，求证：.
5．如图，在的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F.求证：.
3.1．2．相似形
我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？
例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，，求证：.
证明 在与中，
∽，
，即.
图3.1-11
又与中，，
∽，
.
例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，为直角，.
图3.1-12
求证：（1），；
（2）
证明 （1）在与中，，
∽，
同理可证得.
（2）在与中，，
∽，
我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
例7 在中，，求证：.
证明 ，
为直角三角形，又，
由射影定理，知.
同理可得.
图3.1-13
.
例8 如图3.1-14，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
图3.1-14
（1） 当时，有.（如图3.1-14a）
（2） 当时，有.（如图3.1-14b）
（3） 当时，有.（如图3.1-14c）
在图3.1-14d中，当时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n为正整数）.
解：依题意可以猜想：当时，有成立.
证明 过点D作DF//BE交AC于点F，
D是BC的中点，F是EC的中点，
由可知，.
想一想，图3.1-14d中，若，则
本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.
练习2
1．如图3.1-15，D是的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是__________.
3．已知：的三边长分别是3，4，5，与其相似的的最大边长是15，求的面积.
4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
（1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；
（2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？
5．如图点C、D在线段AB上，是等边三角形，
（1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，∽？
（2） 当∽时，求的度数.
习题3.1
A组
1． 如图3.1-18，中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）
A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6
C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8
图3.1-18
2． 如图3.1-19，BD、CE是的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则等于（ ）
A．1：3 B．1：4
图3.1-19
C．1：5 D．1：6
3． 如图3.1-20，中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，，求.
图3.1-20
4． 如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求证：.
图3.1-21
B组
1． 如图3.1-22，已知中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为（ ）
图3.1-22
A． B．1 C． D．2
图3.1-23
2． 如图3.1-23，已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ）
A． B． C． D．
图3.1-24
3． 如图3.1-24，已知M为的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与面积的比是（ ）
A． B． C． D．
4． 如图3.1-25，梯形ABCD中，AD//BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF//AD.
（1） 求证：OE=OF；
（2） 求的值；
（3） 求证：.
C组
1． 如图3.1-26，中，P是边AB上一点，连结CP.
（1） 要使∽，还要补充的一个条件是____________.
（2） 若∽，且，则=_____.
2． 如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且.
（1） 求证：；的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.
3． 如图3.1-28，在中，AB=AC，，点D为BC上任一点，于F，于E，M为BC的中点，试判断是什么形状的三角形，并证明你的结论.
4． 分别为B、D，AD和BC相交于E，于F，我们可以证明图3.1-29
若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，相交，EF//AB交BD于F，则：
（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2） 请找出和之间的关系，并给出证明.
3.1 相似形
练习1
1．D
2．设，即.
3．
4．作交于，则，又得.
5．作交于，即.
练习2
1．
2．12，18
3．
4．（1）因为所以是平行四边形；（2）当时，为菱形；当时，为正方形.
5．（1）当时，；（2）.
习题3.1
A组
1．B 2.B 3.
4．为直角三角形斜边上的高，，又可证.
B组
1．C 2.C 3.A
4．（1）.（2）（3）由（2）知
C组
1.(1)或.(2).
2．（1）先证，可得；（2）.
3．连交于，连，为等腰直角三角形，且AEDF为矩形，为斜边的中线，为直角三角形.又可证，得，故为等腰直角三角形.
4．（1）成立，（2），证略.
3.2 三角形
3．2．1 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
图3.2-3
图3.2-1
图3.2-2
如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.
例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，
求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
证明 连结DE，设AD、BE交于点G，
D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且，
∽，且相似比为1：2，
图3.2-4
.
设AD、CF交于点，同理可得，
则与重合，
AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成.
图3.2-5
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）
例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：.
证明 作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，
图3.2-6
为圆的从同一点作的两条切线，，
同理，BD=BF，CD=CE.
即.
例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知 O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图，连AO并延长交BC于D.
O为三角形的内心，故AD平分，
图3.2-7
（角平分线性质定理）
O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.
，即.
同理可得，AB=BC.
为等边三角形.
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）
图3.2-8
图3.2-9
例4 求证：三角形的三条高交于一点.
已知 中，AD与BE交于H点.
求证 .
证明 以CH为直径作圆，
在以CH为直径的圆上，
.
同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得.
，
又与有公共角，，即.
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
练习1
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.
2． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是 ___________;
（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是 ___________. 并请说明理由.
3.2.2 几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.
例5 在中，求
（1）的面积及边上的高；
（2）的内切圆的半径；
（3）的外接圆的半径.
图3.2-10
解 （1）如图，作于.
为的中点，
图3.2-11
又解得.
（2）如图，为内心，则到三边的距离均为，
连，
，
即，
图3.2-12
解得.
（3）是等腰三角形，
外心在上，连，
则中，
解得
图3.2-13
在直角三角形ABC中，为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中分别为三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？
该直角三角形的三边长满足勾股定理：.
例6 如图，在中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：.
证明：过A作于D.
图3.2-14
在中，.
在中，.
.
.
.
图3.2-15
正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.
例7 已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为，三角形ABC的高为，
“若点P在一边BC上，此时，可得结论：.”
请直接应用以上信息解决下列问题：
当（1）点P在内（如图b），（2）点在外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，与之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.
图3.2-16
解 （1）当点P在内时，
法一 如图，过P作分别交于，
由题设知，
而，
故，即.
法二 如图，连结，
图3.2-17
，
，
又，
，即.
（2）当点P在外如图位置时，不成立，猜想：.
图3.2-18
注意：当点P在外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如
，（如图3.2-18，想一想为什么？）等.
在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.
练习2
1． 直角三角形的三边长为3，4，,则________.
2． 等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.
3． 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4． 已知直角三角形的周长为，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.
5． 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.
习题3.2
A组
1． 已知：在中，AB=AC，为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（）
A． B． C． D．
2． 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）
A．6 B．4.5 C．2.4 D．8
3． 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.
4． 已知：是的三条边，，那么的取值范围是_________。
5． 若三角形的三边长分别为，且是整数，则的值是_________。
B组
1． 如图3.2-19，等边的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则的周长为（）
图3.2-19
A． B．
C． D．
2． 如图3.2-20，在中，，BD是边AC上的高，求的度数。
图3.2-20
图3.2-21
3． 如图3.2-21，是AB的中点，AM=AN，MN//AC，求证：MN=AC。
4． 如图3.2-22，在中，AD平分，AB+BD=AC.求的值。
图3.2-22
5． 如图3.2-23，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且，求证：.
图3.2-23
C组
1． 已知，则以为边的三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．形状无法确定
图3.2-24
2． 如图3.2-24，把纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A． B．
C． D．
图3.2-25
3． 如图3.2-25，已知BD是等腰三角形ABC底角平分线，且AB=BC+CD，求证：.
图3.2-26
4． 如图3.2-26，在等腰中，D是斜边AB上任一点，于E，交CD的延长线于F，于H，交AE于G.求证：BD=CG.
3.2 三角形
练习1
1．证略 2.（1）；（2）.
练习2
1．5或 2.或 3.C
4．设两直角边长为，斜边长为2，则，且，解得，. 5.可利用面积证.
习题3.2
A组
1．B 2. D 3. 4. 5.8
B组
1．A 2.
3．连，证.
4．在AC上取点E，使AE=AB，则， .又BD=DE=EC，
5．可证，因而与互余，得.
C组
1．C．不妨设，可得，为直角三角形.
2．B
3．在AB上取E使BE=BC，则，且AE=ED=DC，
4．先证明，得CE=BF，再证，得BD=CG.
3．3圆
3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系
设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？
图3.3-2
图3.3-1
观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.
在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有
.
图3.3-3
当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，，且在中，.
如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.
图3.3-4
例1 如图3.3-5，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中点，求弦BD的长度。
解 连结OD，交AB于点E。
是圆心，
在中，OB=5cm,BE=3cm,
图3.3-5
在中，BE=3cm,DE=1cm,
例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.
图3.3-6
解 设圆的半径为，分两种情况（如图3.3-6）：
（1） 若在两条平行线的外侧，
如图（1），AB=6，CD=，
则由，得，解得.
（2）若在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD=，
则由，得，无解.
综合得，圆的半径为5.
设圆与圆半径分别为，它们可能有哪几种位置关系？
图3.3-7
观察图3.3-7，两圆的圆心距为，不难发现：当时，两圆相内切，如图（1）；当时，两圆相外切，如图（2）；当时，两圆相内含，如图（3）；当时，两圆相交，如图（4）；当时，两圆相外切，如图（5）.
例3 设圆与圆的半径分别为3和2，，为两圆的交点，试求两圆的公共弦的长度.
解 连交于，
则，且为的中点，
图3.3-8
设，则，解得。故弦的长为.
练习 1
图3.3-9
1.如图3.3-9，⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。
2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。
图3.3-10
3.如图3.3-10，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，求CD的长。
4．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.
3．3．2 点的轨迹
在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
（1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：
（2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
（3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.
图3.3-11
例3 ⊙O过两个已知点、，圆心的轨迹是什么？画出它的图形.
分析 如图3.3-11，如果以点为圆心的圆经过点、，那么；反过来，如果一个点到、两点距离相等，即，那么以为圆心，OA为半径的圆一定经过、两点.
这就是说，过、点的圆的圆心的轨迹，就是到、两点距离相等的点的轨迹，即和线段两个端点距离相等的点的轨迹.
答：经过、两点的圆的圆心O的轨迹是线段的垂直平分线.
练习2
1．画图说明满足下列条件的点的轨迹：
（1） 到定点的距离等于的点的轨迹；
（2） 到直线的距离等于的点的轨迹；
（3） 已知直线，到、的距离相等的点的轨迹.
2．画图说明，到直线的距离等于定长的点的轨迹.
习题3.3
A组
1． 已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（ ）
A． B． C．3 D．4
2． 在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）
A． B． C． D．
3． AB为⊙O的直径，弦，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于（ ）
A． B． C． D．
图3.3-12
4． 如图3.3-12，在⊙O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB=10cm,OE=12cm，求AB。
B组
1． 如图3.3-13，已知在中，以C为圆心，CA为半径的圆交斜边于D，求AD。
图3.3-13
图3.3-14
2． 如图3.3-14，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长。
3． 如图3.3-15，内接于⊙O，D为的中点，于E。求证：AD平分。
图3.3-15
4． 如图3.3-16，，C、D是的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD。
图3.3-16
5． 已知线段.画出到点的距离等于的点的轨迹，再画出到点的距离等于的点的轨迹，指出到点的距离等于，且到点的距离等于的点，这样的点有几个？
3.3 圆
练习1
1．取AB中点M，连CM，MD，则，且C，O，M，D共线，.
2．O到AB，CD的距离分别为3cm,4cm，梯形的高为1cm或7cm，梯形的面积为7或49.
3. 半径为3cm，OE=2cm.,OF=.
4.外公切线长为12，内公切线长为.
练习2
1.(1)以A为圆心，3cm为半径的圆；（2）与平行，且与距离为2cm的两条平行线；（3）与AB平行，且与AB,CD距离相等的一条直线.
2.两条平行直线，图略.
习题3.3
A组
1．B 2.A 3.B 4.AB=8cm.
B组
1.作于M，AB=13cm,.
2.AB=120cm.
3.先证，再证.
4．先证明再证AE=BF=AC=CD.
5．有2个，图略.
练 习
1．解下列不等式：
（1）3x2－x－4＞0； （2）x2－x－12≤0；
kl
（3）x2＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x2≤0．
2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．
习题2．3
A 组
1．解下列方程组：
B 组
1．取什么值时,方程组
有一个实数解?并求出这时方程组的解．
2．解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．
C 组
1．已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式
bx2＋cx＋4≥0．
2．试求关于x的函数y＝－x2＋mx＋2在0≤x≤2上的最大值k．
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