初高中数学暑期衔接课(含答案)

初高中数学暑期衔接课

数与式

一、选择题

1.若(am+1bn+2)(a2n-1b2m)=a5b3，则m+n的结果是（    ）

A.1          B.2          C.3           D.-3

2.已知x+y﹣4=0，则2y•2x的值是(　　)

A.16       B.﹣16       C.          D.8

3.若m=2100，n=375，则m、n的大小关系正确的是（    ）

A.m＞n           B.m＜n           C.相等           D.大小关系无法确定

4.若3x＝4，9y＝7，则3x－2y的值为(     )

A.          B.          C.－3          D.

5.若25a2＋(k﹣3)a＋9是一个完全平方式，则k的值是(　　)

A.±30         B.31或﹣29         C.32或﹣28       D.33或﹣27

6.利用因式分解可以知道，178-158能够被(    )整除。

A.18      B.28       C.36          D.64

二、填空题

7.化简(﹣2)2022＋(﹣2)2021所得的结果为________.

8.若a2+a-1=0，则2a2+2a+2027的值是    

9.若x2＋x＋m＝(x－3)(x＋n)对x恒成立，则n＝        .

10.已知＝＋，则实数A＝________.

11.已知a2＋3ab＋b2＝0(a≠0，b≠0)，则代数式＋的值是__________．

三、解答题

12.已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，试判断此三角形的形状.

13.先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.

解：将“x＋y”看成整体，令x＋y=A，则

原式=A2＋2A＋1=(A＋1)2.

再将“A”还原，得原式=(x＋y＋1)2.

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

(1)因式分解：1＋2(x-y)＋(x-y)2=_______________；

(2)因式分解：(a＋b)(a＋b-4)＋4；

(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方.

14.观察下列等式：

第1个等式：a1＝＝×(1﹣)；

第2个等式：a2＝＝×(﹣)；

第3个等式：a3＝＝×(﹣)；

第4个等式：a4＝＝×(﹣)；

请回答下面的问题：

(1)按以上规律列出第5个等式：a5＝_________＝_____________；

(2)用含n的式子表示第n个等式：an＝_________＝___________(n为正整数)；

(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值.

15.已知x＝(＋)，y＝(﹣)，求x2﹣xy＋y2和＋的值.

16.已知三个数x、y、z满足＝－2，＝，＝－.求的值．

17.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝，＝＝，＝＝＝－1，还可以用以下方法化简：

＝＝＝＝－1.

以上这种化简的方法叫做分母有理化.

(1)请化简＝________；

(2)若a是的小数部分则＝________；

(3)长方形的面积为3＋1，一边长为－2，则它的周长为________；

(4)化简＋＋＋…＋.

方程与二次函数

18.小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c,解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值.

19.若关于x、y的二元一次方程组的解中x与y的值互为相反数，求a的值.

20.若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围.

21.已知方程组的解满足x为非正数，y为负数.

(1)求m的取值范围；

(2)化简：|m﹣3|﹣|m＋2|；

(3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx＋x＜2m＋1的解为x＞1.

22.已知△ABC的两边AB.AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根,第三边BC的长为5.

(1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?

(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长.

23.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m﹣1)x﹣1＝0.

(1)求证：这个一元二次方程总有两个实数根；

(2)若二次函数y＝mx2﹣(m﹣1)x﹣1有最大值0，则m的值为　   　；

(3)若x1、x2是原方程的两根，且＝2x1x2＋1，求m的值.

24.抛物线y＝ax2﹣x﹣2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知点B的坐标为(4，0)，

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC面积的最大值，并求出此时M的坐标.

25.已知函数y＝﹣x2＋(m﹣1)x＋m(m为常数).

(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是　   　.

A.0      B.1       C.2       D.1或2

(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上.

(3)当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.

26.根据下列要求，解答相关问题：

(1)请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集的过程

①构造函数，画出图象：

根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；抛物线的对称轴x=﹣1，开口向下，顶点(﹣1，2)与x轴的交点是(0，0)，(﹣2，0)，用三点法画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象如图1所示；

②数形结合，求得界点：

当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为　   　；

③借助图象，写出解集：

由图象可得不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为　   　.

(2)利用(1)中求不等式解集的方法步骤，求不等式x2﹣2x+1＜4的解集.

①构造函数，画出图象；

②数形结合，求得界点；

③借助图象，写出解集.

(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集.

27.已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+1)x+(m2+1)=0有实数根.

(1)求m的值.

(2)先作y=x2﹣(m+1)x+12(m2+1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位，再向上平移2个单位，写出变化后图象的表达式.

(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n的最大值和最小值.

答案

1.B

2.A

3.B

4.A

5.D

6.D

7.答案为：22023.

8.答案为：2026.

9.答案为：4.

10.答案为：1

11.答案为：﹣3.

12.解：∵a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)

＝a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2

＝(a－b)2＋(b－c)2＝0，

∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b＝c.

故此三角形为等边三角形.

13.解：(1)(x-y＋1)2；

(2)令A=a＋b，

则原式变为A(A-4)＋4=A2-4A＋4=(A-2)2，

故(a＋b)(a＋b-4)＋4=(a＋b-2)2.

(3)证明：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1=(n2＋3n)[(n＋1)(n＋2)]＋1

=(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1

=(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1

=(n2＋3n＋1)2.

∵n为正整数，

∴n2＋3n＋1也为正整数，

∴式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方.n

14.解：(1)；×(﹣)

(2)；×(－)

(3)原式＝×(1－＋－＋－＋…＋－)＝×(1﹣)＝×＝.

15.解：由已知，得x＋y＝，

xy＝＝.

所以x2﹣xy＋y2＝(x＋y)2﹣3xy＝()2﹣3×＝，

＋＝＝8.

16.解：先将三个已知条件中的分子化为相同，

得到＝－2，＝，＝－.

取倒数，有＝－，＝，＝－.

将以上三个式子相加，得＝－.

两边再同时取倒数，得＝－4.

17.解：(1)－

(2)3＋3

(3)30＋16

(4)原式＝＋＋＋…＋

＝

＝.

18.解：把代cx－3y=－2.解得c=－5.

把分别代入ax+by=2，

得解得

所以a+b+c=－2.

19.解：a=8.

20.解：－4＜m＜.

21.解：(1)解原方程组得：

，

∵x≤0，y＜0，

∴，

解得﹣2＜m≤3；

(2)|m﹣3|﹣|m＋2|=3﹣m﹣m﹣2=1﹣2m；

(3)解不等式2mx＋x＜2m＋1得，(2m＋1)x＜2m＋1，

∵x＞1，

∴2m＋1＜0，

∴m＜﹣0.5，

∴﹣2＜m＜﹣0.5，

∴m=﹣1.

22.解：(1)∵x2﹣(2k+1)x+k(k+1)=0,

∴(x﹣k)·［x﹣(k+1)］=0,

∴x1=k,x2=k+1.

由勾股定理，得k2+(k+1)2=52,

解得k1=3,k2=﹣4(舍去).

∴当k=3时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.

(2)当△ABC是等腰三角形时,有三种情况:

①AB=AC,而在一元二次方程中,由于b2﹣4ac=［﹣(2k+1)］2﹣4k(k+1)=1,即AB≠AC.因此此种情况不存在；

②AB=BC或AC=BC.此时x=5是已知方程的一个根，所以52﹣5(2k+1)+k(k+1)=0,解得k1=4,k2=5.

当k1=4时,方程的两个根为x1=k=4,x2=k+1=5,此时等腰三角形的三边长为4,5,5,可以构成三角形,

∴此时等腰三角形的周长为4+5+5=14；

当k=5时,方程的两个根为x1=k=5,x2=k+1=6,此时等腰三角形的三边长为5,5,6,可以构成三角形,

∴此时等腰三角形的周长为6+5+5=16.

23.(1)证明：m≠0，

△＝(m﹣1)2﹣4m×(﹣1)＝(m＋1)2，

∵(m＋1)2≥0，即△≥0，

∴这个一元二次方程总有两个实数根；

(2)解：∵二次函数y＝mx2﹣(m﹣1)x﹣1有最大值0，

∴m＜0且＝0，∴m＝﹣1；故答案为﹣1.

(3)解：x1＋x2＝，x1x2＝﹣，

∵＋＝2x1x2＋1，∴＝2x1x2＋1，

∴＝2•(﹣)＋1，整理得m2＋m﹣1＝0，

∴m＝或m＝.

24.解：(1)将B(4，0)代入抛物线的解析式中，得：

0＝16a﹣×4﹣2，即：a＝；

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2.

(2)已求得：B(4，0)、C(0，﹣2)，可得直线BC的解析式为：y＝x﹣2；

设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y＝x＋b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x＋b＝x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b＝0，且△＝0；

∴4﹣4×(﹣2﹣b)＝0，即b＝4；

∴直线l：y＝x﹣4.

由于S△MBC＝BC×h，当h最大(即点M到直线BC的距离最远)时，△ABC的面积最大

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：

得M(2，﹣3).

25.解：(1)∵函数y＝﹣x2＋(m﹣1)x＋m(m为常数)，

∴△＝(m﹣1)2＋4m＝(m＋1)2≥0，

则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，故选D；

(2)y＝﹣x2＋(m﹣1)x＋m＝﹣[x﹣(m-1)]2＋(m＋1)2，

把x＝(m-1)代入y＝(x＋1)2得：y＝[(m-1)＋1]2＝(m＋1)2，

则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上；

(3)设函数z＝(m＋1)2，

当m＝﹣1时，z有最小值为0；

当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；

当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，

当m＝﹣2时，z＝；当m＝3时，z＝4，

则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4.

26.解：(1)②方程﹣2x2﹣4x=0的解为：x1=0，x2=﹣2；

③不等式﹣2x2﹣4x≥0的解集为：﹣2≤x≤0；

(2)①构造函数，画出图象，如图2，：

构造函数y=x2﹣2x+1，抛物线的对称轴x=1，

且开口向上，顶点坐标(1，0)，

关于对称轴x=1对称的一对点(0，1)，(2，1)，

用三点法画出图象如图2所示：

；

②数形结合，求得界点：

当y=4时，方程x2﹣2x+1=4的解为：x1=﹣1，x2=3；

③借助图象，写出解集：

由图2知，不等式x2﹣2x+1＜4的解集是：﹣1＜x＜3；

(3)解：①当b2﹣4ac＞0时，关于x的不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)

的解集是x＞或x＜.

当b2﹣4ac=0时，关于x的不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集是：x≠﹣；

当b2﹣4ac＜0时，关于x的不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集是全体实数.

27.解：(1)对于一元二次方程x2﹣(m+1)x+(m2+1)=0，

Δ=(m+1)2﹣4×(m2+1)=﹣m2+2m﹣1=﹣(m﹣1)2，

∵方程有实数根，

∴﹣(m﹣1)2≥0.

∴m=1.

(2)由(1)知y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2，

它的图象关于x轴的对称图形的函数表达式为y=﹣(x﹣1)2，

∴平移后的表达式为y=﹣(x+2)2+2=﹣x2﹣4x﹣2.

(3)由，消去y得到x2+6x+n+2=0，

由题意知Δ≥0，

∴36﹣4(n+2)≥0.

∴n≤7.

∵n≥m，m=1，

∴1≤n≤7.

令y′=n2﹣4n=(n﹣2)2﹣4，

∴当n=2时，y′的值最小，最小值为﹣4，n=7时，y′的值最大，最大值为21.

∴n2﹣4n的最大值为21，最小值为﹣4.