高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示第2课时导学案

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 第2课时　分段函数


1．会用解析法及图象法表示分段函数．
2．给出分段函数，能研究有关性质．
3．对生活中的一些实例，会用分段函数表示．

1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的．
(3)分段函数的图象要分段来画．

1．某市空调公共汽车的标价按下列规则判定：
①5千米以内，票价2元；
②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．
已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．
(1)从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？
(2)函数的表达式是什么？
(3)x与y之间有何特点？
[答案]　(1)有函数关系
(2)y＝
(3)x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．(　　)
(2)函数f(x)＝是分段函数．(　　)
(3)分段函数的图象不一定是连续的．(　　)
(4)y＝|x－1|与y＝是同一函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

题型一 分段函数求值
【典例1】　已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(－2)))的值；
(2)若f(a)＝，求a.
[思路导引]　根据自变量取值范围代入对应解析式求值．
[解]　(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2，
∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.
(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；
当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，
∴a＝±∈[－1,1]；
当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，
∴a＝－>－1(舍去)．
综上，a＝2或a＝±.

(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．
(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．

[针对训练]
1．设函数f(x)＝则f[f(3)]＝(　　)
A. B．3 C. D.
[解析]　∵f(3)＝<1，
∴f[f(3)]＝2＋1＝.
[答案]　D
2．已知函数f(x)＝若f(x)＝－3，则x＝________.
[解析]　若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.
若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，
解得x＝2或x＝－2(舍去)．
综上可得，所求x的值为－4或2.
[答案]　－4或2
题型二 分段函数的图象
【典例2】　(1)作出下列分段函数的图象：
①y＝　　　②y＝|x＋1|.
(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，求：

①y与x之间的函数关系式；
②画出y＝f(x)的图象．
[思路导引]　(1)利用描点法分段作图；(2)先依据x的变化范围求出关系式．
[解]　(1)①函数图象如图1所示．

②y＝|x＋1|＝，其图象如图2所示．
(2)①y＝
②



分段函数图象的画法
(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．
(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．
[针对训练]
3.已知函数f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式并写出f(x)的值域．

[解]　由于f(x)的图象由两条线段组成，
因此可设f(x)＝

将点(－1,0)，(0,1)代入f(x)＝ax＋b，
点(1，－1)代入f(x)＝cx可得
f(x)＝
由图象可得f(x)的值域为(－1,1).
题型三 分段函数的综合问题
【典例3】　已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．
[思路导引]　去掉绝对值符号，化简f(x)，再分段求解．
[解]　若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，
f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；
若－10，
f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；
若x>3，则x－3>0，x＋1>0，
f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
∴f(x)＝
(1)－1 ∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．
(2)f(x)>0，即①
或②
或③
解①得x≤－1，解②得－1 所以f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)．
(3)f(x)的图象如图：

由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无交点．
[变式]　若a∈R，试探究方程f(x)＝a解的个数．
[解]　由例3(3)知y＝f(x)的图象，作出直线y＝a，可以看出：当a＝±4时，y＝a与y＝f(x)有无数个交点；当－44时，y＝a与y＝f(x)没有交点．
综上可知：
当a＝±4时，方程f(x)＝a有无数个解．
当－4 当a<－4或a>4时，方程f(x)＝a无解．

研究分段函数要牢牢抓住的2个要点
(1)分段研究．在每一段上研究函数．
(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体．

[针对训练]
4．已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)若f(x)≥，求x的取值范围；
(3)求f(x)的值域．
[解]　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．

(2)由于f＝，结合此函数图象可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪.
(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1].
题型四 分段函数在实际问题中的应用
【典例4】　某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝的一部分，请根据图中信息解答下列问题：

(1)求y与x的函数关系式；
(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？
(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？
[思路导引]　利用待定系数法求出x在每一段上的解析式，再分段研究．
[解]　(1)设线段AD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
将点A(2,20)，D(0,10)代入，
得，解得，
∴线段AD的解析式为y＝5x＋10(0≤x≤2)．
∵双曲线y＝经过B(12,20)，
∴20＝，解得k＝240，
∴BC段的解析式为y＝(12≤x≤24)．
综上所述，y与x的函数解析式为：
y＝.
(2)当x＝18时，y＝＝，由于<15，
∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长．
(3)令y＝15，当0≤x≤2时，解5x＋10＝15，得x＝1，
当12≤x≤24时，解＝15，得x＝16.
由于16－1＝15(小时)，
∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．


对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．


[针对训练]
5．A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．
[解]　(1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s＝50t，到达B地所需时间为＝3(小时)．
(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.
(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，从B地到A地用时＝2.5(小时)．

综上可得，该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系式为
s＝
函数图象如图所示．
课堂归纳小结
1．分段函数
(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样．
(2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是
作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
2．与分段函数有关的实际问题
要理解题意，合理引进变量，确定自变量分段的“段点”，注意在自变量分段的端点处要不重不漏.

1．已知f(x)＝则f[f(－7)]的值为(　　)
A．100 B．10 C．－10 D．－100
[解析]　∵f(－7)＝10，∴f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100.
[答案]　A
2．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是(　　)

[解析]　∵f(x)＝分别画出y＝x2(取x≥0部分)及y＝－x2(取x<0部分)即可．
[答案]　D
3．函数f(x)＝的值域是(　　)
A．R B．[0,2]∪{3}
C．[0，＋∞) D．[0,3]
[解析]　当0≤x≤1时，0≤f(x)≤2，当1 f(x)＝2，当x≥2时，f(x)＝3.故0≤f(x)≤2或f(x)＝3，故选B.
[答案]　B
4．下图中的图象所表示的函数的解析式为(　　)

A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
[解析]　可将原点代入，排除选项A，C；再将点代入，排除D项．
[答案]　B
5．设函数f(x)＝若f[f(a)]＝2，则a＝________.
[解析]　当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2>0，f[f(a)]<0，显然不成立；当a>0时，f(a)＝－a2，f[f(a)]＝a4－2a2＋2＝2，则a＝±或a＝0，故a＝.
[答案]　
课后作业(十八)
复习巩固
一、选择题
1．已知f(x)＝则f(－2)＝(　　)
A．2 B．4 C．－2 D．2或4
[解析]　f(－2)＝－(－2)＝2，选A.
[答案]　A
2．函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　)

[解析]　f(x)＝|x－1|＝选B.
[答案]　B
3．已知函数y＝使函数值为5的x的值是(　　)
A．－2 B．2或－
C．2或－2 D．2或－2或－
[解析]　当x≤0时，令x2＋1＝5，解得x＝－2；当x>0时，令－2x＝5，得x＝－，不合题意，舍去．
[答案]　A
4.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于(　　)

A．－ B.
C．－ D.
[解析]　由图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝
∴f＝－1＝－，
∴f＝f＝－＋1＝.
[答案]　B
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　)
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
[解析]　该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10，令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
[答案]　A
二、填空题
6．已知函数f(x)＝，则不等式xf(x－1)≤1的解集为________．
[解析]　原不等式转化为或解得－1≤x≤1.
[答案]　[－1,1]
7．函数f(x)＝的值域是________．
[解析]　当0≤x≤1时，0≤f(x)≤1；
当1 所以0≤f(0)≤1，即f(x)的值域为[0,1]．
[答案]　[0,1]
8．已知f(x)＝则f(－5)的值等于________．
[解析]　f(－5)＝f(－5＋2)＝f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝2×1＝2.
[答案]　2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(x)＝，求x的值．
[解]　(1)因为f＝－2＝－，
所以f＝f＝＝.
(2)f(x)＝，若|x|≤1，则|x－1|－2＝，
得x＝或x＝－.
因为|x|≤1，所以x的值不存在；
若|x|>1，则＝，得x＝±，符合|x|>1.
所以若f(x)＝，x的值为±.
10．已知函数f(x)＝1＋(－2 (1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)画出函数f(x)的图象；
(3)写出函数f(x)的值域．

[解]　(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2 所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
综合运用
11．设x∈R，定义符号函数sgnx＝则(　　)
A．|x|＝x|sgnx| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgnx D．|x|＝xsgnx
[解析]　由已知得，xsgnx＝
而|x|＝
所以|x|＝xsgnx，故选D.
[答案]　D
12.如图，抛物线y1＝ax2与直线y2＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2,4)，B(1,1)．记f(x)为max{y1，y2}，则f(x)的解析式为(　　)


[解析]　由y1＝ax2过点B(1,1)得a＝1，∴y＝x2.
由y2＝bx＋c过点A(－2,4)，B(1,1)，有
解得∴y2＝－x＋2，结合图象可得．
f(x)＝，选A.
[答案]　A
13．已知f(x)＝则f＋f等于(　　)
A．－2 B．4 C．2 D．－4
[解析]　∵f(x)＝
∴f＝f＝f＝f＝f＝×2＝，f＝2×＝，
∴f＋f＝＋＝4.
[答案]　B
14．设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．
[解析]　当a≥0时，f(a)＝a－1>1，
解得a>4，符合a≥0；
当a<0时，f(a)＝>1，无解．
[答案]　(4，＋∞)
15．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．

[解析]　由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．
[答案]　(－∞，1]
16．成都市出租车的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km)．
(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0 (2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)
[解]　(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为：
f(x)＝
＝
(2)只乘一辆车的车费为：
f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；
换乘2辆车的车费为：
2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．
∵40.3>38.8，
∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．