2020-2021学年第二十二章 二次函数综合与测试练习

这是一份2020-2021学年第二十二章 二次函数综合与测试练习，共22页。

二次函数练习
一．选择题（共11小题）
1．若，，为二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
2．二次函数y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线y＝﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝2．有下列结论：
①4a+b＝0；
②9a+c＞3b；
③关于x的方程ax2+bx+c+3＝0有两个不等的实数根．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
﹣2
…
有下列结论：①抛物找开口向下；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点（﹣1，﹣2）；④当0＜x＜2时，y＞2．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2．当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．有下列结论：
①abc＞0；②若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③a+b＞0．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为A（x1，0），﹣2＜x1＜﹣1，下列结论：
①bc＞0；②8a+c＜0；③5a+b+2c＞0，其中正确结论的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（　　）
A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min
11．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
A．（﹣1，0） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，3）
二．填空题（共1小题）
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
3
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…
则y＜﹣2时，x的取值范围是 　 　．
三．解答题（共7小题）
13．某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
14．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于20%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：
x（件）
…
5
10
15
20
…
y（元/件）
…
75
70
65
60
…
（Ⅰ）当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？
15．某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，应如何定价才能使利润最大？
（Ⅰ）填空：
①当每件以35元出售时，可卖出　 　件；利润为　 　元；
②当每件以x元出售时，利润为　 　元；其中x的取值范围是　 　．
（Ⅱ）完成对本题的解答：
16．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商品每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）当这种商品售价定为多少元时，该商品所获的利润最大？最大利润是多少？
17．九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

18．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．

19．如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且x＜y．
（Ⅰ）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出是否能使矩形场地的面积为260平方米？


二次函数练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．若，，为二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，结合A、B、C三点横坐标的大小判断其纵坐标的大小即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x≤2时，y随x的增大而减小，
∵2＞＞＞﹣，
∴y1＜y3＜y2，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图形和性质，掌握二次函数的增减性是正确解答的关键．
2．二次函数y＝x2﹣2x+1与x轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴交点的个数．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴有一个交点．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，是基础题型．
3．在同一坐标系中一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
4．已知抛物线y＝﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】令y＝0，则﹣x2+x+6＝0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知OD的长，x＝0时，y＝6，所以OC＝6，根据勾股定理求出CD即可．
【解答】解：令y＝0，则﹣x2+x+6＝0，
解得：x1＝12，x2＝﹣3
∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）
∵D为AB的中点，
∴D（4.5，0），
∵C（0，6）
∴OD＝4.5，OC＝6，
当x＝0时，y＝6，
∴OC＝6，
∴CD＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D的坐标是解决问题的关键．
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝2．有下列结论：
①4a+b＝0；
②9a+c＞3b；
③关于x的方程ax2+bx+c+3＝0有两个不等的实数根．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据a＜0，抛物线图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝2，可推出抛物线图象开口向下、＝2、当x≤2时，y随着x的增大而增大、b2﹣4ac＞0，从而得出结论进行判断即可．
【解答】解：根据题意对称轴为直线x＝2，
∴＝2，即4a+b＝0，
故①正确；
∵a＜0，抛物线图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝2，
∴yx＝﹣3＜yx＝﹣1，
∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，
故②不正确；
由题意可知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴又两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
关于x的方程ax2+bx+c+3＝0，
∵Δ＝b2﹣4a（c+3）＝b2﹣4ac﹣12a＞0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+3＝0有两个不等的实数根，
故③正确，
综上，正确的结论是①③，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴的交点，应数形结合、充分掌握二次函数各系数a、b、c的意义以及对图象的影响和对一元二次方程根个数的关系．
6．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：
x
…
0
1
3
4
…
y
…
2
4
2
﹣2
…
有下列结论：①抛物找开口向下；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③抛物线一定经过点（﹣1，﹣2）；④当0＜x＜2时，y＞2．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程ax2+bx+c＝0即y＝0时x的值取值范围，得出答案即可．
【解答】解；①由图表中数据可得出：x＝1时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项正确；
②∵x＝0和x＝3时的函数值相同，
∴对称轴为直线x＝＝，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，故此选项错误；
③∵点（4，﹣2）关于对称轴的对称点为（﹣1，﹣2），
∴抛物线一定经过点（﹣1，﹣2），故此选项正确；
④当0＜x＜2时，y＞2，此选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解答该题时，充分利用了二次函数图象的对称性得出是解题关键．
7．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正确结论的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1＞0，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，故②不正确；
∵a＞0，＜﹣1，即4ac﹣b2＜﹣4a，
∵﹣4a＜8a，
∴4ac﹣b2＜8a，故③正确；
由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，
∴＝﹣3，即c＝﹣3a，
∵﹣2＜c＜﹣1，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＜a＜，故④正确，
∵抛物线过（﹣1，0）点，
∴y＝a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，
又a＞0，
∴b﹣c＞0，
∴b＞c，所以⑤不正确，
综上所述，正确的结论有①③④三个，
故选：C．
【点评】考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2．当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．有下列结论：
①abc＞0；②若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③a+b＞0．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；利用点A（﹣3，y1）和点B（3，y2）到对称轴的距离的大小可对②进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0＜﹣＜，变形可得a+b＞0，则可对③进行判断．
【解答】解：如图，

∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①的结论正确；
∵点A（﹣3，y1）到对称轴的距离比点B（3，y2）到对称轴的距离远，
∴y1＞y2，所以②的结论错误；
∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，
∴0＜﹣＜，
∴＝＞0，
∴a+b＞0，所以③的结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为A（x1，0），﹣2＜x1＜﹣1，下列结论：
①bc＞0；②8a+c＜0；③5a+b+2c＞0，其中正确结论的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据题意得到b＝﹣2a＞0，c＞0，即可判断①；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，则4a+4a+c＜0，即8a+c＜0，即可判断②；x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即可得到3a+c＞0，进而得到5a﹣2a+2c＞0，即可判断③．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为A（x1，0），﹣2＜x1＜﹣1，
∴﹣＝1，c＞0，
∵a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴bc＞0，所以①正确；
∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴4a+4a+c＜0，即8a+c＜0，所以②正确；
x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＞0，
∴3a+c＞0，
∵c＞0，
∴5a﹣2a+2c＞0，
∴5a+b+2c＞0，所以③正确；
故选：D．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
10．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（　　）
A．3min B．3.75min C．5min D．7.5min
【分析】根据二次函数的性质可得．
【解答】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键．
11．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
A．（﹣1，0） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，3）
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3，
∴函数图象的对称轴为直线x＝＝1，
∴顶点坐标为（1，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
3
﹣2
﹣5
﹣6
﹣5
…
则y＜﹣2时，x的取值范围是 　﹣3＜x＜1　．
【分析】观察表格可得函数的对称轴为直线x＝﹣1，并且函数有最小值，再由对称性确定x＝﹣3与x＝1对应的函数值y＝﹣2即可求解．
【解答】解：从表格得到x＝0与x＝﹣2所对应的y值相同，
∴函数的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，函数有最小值，
∴函数开口向上，
∵y＝﹣2，x＝﹣3，
由对称性可得x＝1时，y＝﹣2，
∴y＜﹣2时，﹣3＜x＜1，
故答案为﹣3＜x＜1．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、能从表格中确定函数的对称轴与开口方向是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
13．某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【分析】（1）根据题意知一件文具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润＝一件文具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把y＝2520时代入y＝﹣10x2+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y＝﹣10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；

（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，
解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）
当x＝2时，30+x＝32（元）
答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．

（3）根据题意得：
y＝﹣10x2+130x+2300
＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），
当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），
答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
14．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于20%的价格销售时，商品的销售单价y（元/件）与销售数量x（件）（x是正整数）之间的关系如下表：
x（件）
…
5
10
15
20
…
y（元/件）
…
75
70
65
60
…
（Ⅰ）当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（Ⅰ）由40（1+20%）即可得出最低销售单价，根据题意由待定系数法求出y与x的函数关系式和x的取值范围；
（Ⅱ）设所获利润为P元，由题意得出P是x的二次函数，即可得出结果．
【解答】解：（Ⅰ）40（1+20%）＝48（元），
设y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
∴y＝﹣x+80，
根据题意得：，且x为正整数，
∴0＜x≤32，x为正整数，
∴y＝﹣x+80（0≤x≤32，且x为正整数）；
（Ⅱ）设所获利润为P元，
根据题意得：P＝（y﹣40）•x＝（﹣x+80﹣40）x＝﹣（x﹣20）2+400，
即P是x的二次函数，
∵a＝﹣1＜0，
∴P有最大值，
∴当x＝20时，P最大值＝400，此时y＝60，
∴当销售单价为60元时，所获利润最大，最大利润为400元．
【点评】本题考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的最值问题；由题意求出一次函数和二次函数的解析式是解决问题的关键．
15．某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，应如何定价才能使利润最大？
（Ⅰ）填空：
①当每件以35元出售时，可卖出　65　件；利润为　325　元；
②当每件以x元出售时，利润为　（x﹣30）（100﹣x）　元；其中x的取值范围是　30＜x＜100　．
（Ⅱ）完成对本题的解答：
【分析】（Ⅰ）①根据题意列式即可；
②根据销量×每件利润进而得出结论；
（Ⅱ）利用配方法求二次函数最值方法得出即可．
【解答】解：（Ⅰ）①当每件以35元出售时，可卖出65件；利润为325元；
②当每件以x元出售时，利润为（x﹣30）（100﹣x）元；其中x的取值范围是（30＜x＜100）；
故答案为：65，325，（x﹣30）（100﹣x），30＜x＜100；
（Ⅱ）设最大利润为w元，
则w＝（x﹣30）（100﹣x）＝﹣（x﹣65）2+1225，
∵﹣1＜0，0＜x＜100，
∴当x＝65时，二次函数有最大值1225，
∴定价是65元时，利润最大．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出w与x的函数关系式是解题关键．
16．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．
（1）降价前商品每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）当这种商品售价定为多少元时，该商品所获的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）用每件商品的利润×月销售量可得；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出方程求解可得；
（3）根据（2）中所得相等关系列出函数解析式，配方成顶点式可得．
【解答】解：（1）降价前每月销售该商品的利润为（360﹣280）×60＝4800元；

（2）设每件商品应降价x元，
由题意得（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200，
解得x1＝8，x2＝60．
要更有利于减少库存，则x＝60．
即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．

（3）y＝（360﹣x﹣280）（60+5x）
＝﹣5x2+340x+4800
＝﹣5（ x﹣34）2+10580，
∴当x＝34时，y取得最大值10580，
即售价326元时，总利润最大为10580元．
【点评】本题是二次函数的应用，属于销售利润问题，明确等量关系：总利润＝销售量×（售价﹣进价），解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
17．九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

【分析】（1）观察函数图象可知：抛物线经过点（0，），顶点坐标是（4，4），篮圈中心的坐标是（7，3）．设抛物线的解析式是y＝a（x﹣4）2+4，根据抛物线上点的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征验证篮圈中心点是否在抛物线上，此题得解；
（2）代入x＝1求出y值，由该值小于3.1可得出盖帽拦截成功．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线经过点（0，），顶点坐标是（4，4），篮圈中心的坐标是（7，3）．
设抛物线的解析式是y＝a（x﹣4）2+4，
∵抛物线经过点（0，），
∴＝16a+4，
解得：a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣4）2+4．
当x＝7时，y＝﹣×（7﹣4）2+4＝3，
∴篮圈的中心点在抛物线上，
∴能够投中．
（2）∵当x＝1时，y＝﹣×（1﹣4）2+4＝3＜3.1，
∴能够盖帽拦截成功．
【点评】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）代入x＝1求出y值．
18．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．

【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，列方程求解即可；
（2）设BC＝xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，由题意得：
x（100﹣2x）＝450
解得：x1＝5，x2＝45
当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；
当x＝45时，100﹣2x＝10＜20
答：AD的长为10m；
（2）设BC＝xm，则
S＝x（100﹣x）
＝﹣（x﹣50）2+1250，（0＜x≤70）
∴x＝50时，S的最大值是1250．
答：当x＝50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250．
【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
19．如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且x＜y．
（Ⅰ）若所用铁栅栏的长为40米，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求S与x的函数关系式，并求出是否能使矩形场地的面积为260平方米？

【分析】（I）根据题意，可知AD+BC+AB＝40且有AD＝BC，进而写出y关于x的函数关系式，并写出面积公式；
（II）根据矩形场地面积为260平方米列出方程，解出此时x的值即可．
【解答】解：（I）∵AD+BC﹣2+AB﹣2＝40，AD＝BC＝x，
∴AB＝﹣2x+44
即y＝﹣2x+44（5≤x＜）；
（II）由（I）可知s＝xy＝（﹣2x+44）x＝﹣2x2+44x，
由题意得，（﹣2x+44）•x＝260，
即x2﹣22x+130＝0，
∵△＝484﹣520＝﹣36＜0，
∴此方程无解，
∴不能使矩形场地的面积为260平方米．
【点评】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．