北师大版高中数学必修第一册第五章函数应用检测试题含答案

第五章　检测试题

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.函数y=x2-5x+6的零点为(　C　)

(A)(2,3)   (B)(3,2)

(C)2,3    (D)(2,0),(3,0)

解析:函数y=x2-5x+6,令y=0,

即x2-5x+6=0,

解得x=2或x=3

故零点为2,3.

故选C.

2.函数f(x)=log2x+x+2的零点所在的一个区间是(　B　)

(A)(0,) (B)(,)

(C)(,) (D)(,)

解析:由f()=log2++2=-<0,

f()=log2++2=>0,

所以f()·f()<0.

故选B.

3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:

那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是(　C　)

(A)1.25 (B)1.39 (C)1.41 (D)1.5

解析:因为f(1)<0,f(1.5)>0,所以f(1)·f(1.5)<0,所以函数在(1,1.5)内有零点,因为1.5-1=0.5>0.05,所以不满足精确度0.05;

因为f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函数在(1.25,1.5)内有零点,因为1.5-1.25=0.25>0.05,所以不满足精确度0.05;因为f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函数在(1.375,1.5)内有零点,因为1.5-1.375=0.125>0.05,所以不满足精确度0.05;因为f(1.437 5)>0,所以f(1.437 5)f(1.375)<0,所以函数在

(1.375,1.437 5)内有零点,因为1.437 5-1.375=0.062 5>0.05,所以不满足精确度0.05;因为f(1.406 25)<0,所以

f(1.406 25)f(1.437 5)<0,所以函数在(1.406 25,1.437 5)内有零点,

因为1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.05,所以满足精确度0.05.

所以方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)是区间

(1.406 25,1.437 5)内的任意一个值(包括端点值),根据四个选项可知选C.

4.函数f(x)=-()x的零点个数为(　B　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:作出幂函数y=和指数函数y=()x的图象,如图所示,可得交点只有一个,所以函数f(x)的零点只有一个.故选B.

5.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度为0.001)时,如果我们选取初始区间是[1.4,1.5],则要达到精确度至少需要计算的次数是(　C　)

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

解析:设至少需要计算n次,则<0.001,

所以2n>100.

因为26=64,27=128,

所以要达到精确度至少要计算n=7次.故选C.

6.物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　B　)

解析:由题意可知,函数图象增加越来越快,选项B符合.故选B.

7.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是(　B　)

(A)(0,)     (B)(,1)

(C)(1,2)     (D)(2,+∞)

解析:在同一坐标系中分别画出函数f(x),g(x)的图象如图所示,

方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点,结合图象可知,当直线y=kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y=x-1的斜率时符合题意,故<k<1.故选B.

8.已知f(x)=若方程f(x)-k=0至少有两个不相等的实根,则k的取值范围是(　D　)

(A)(0,1)       (B)(0,1]

(C)[0,1)     (D)[0,1]

解析:由题意知函数y=f(x)的图象与直线y=k至少有两个交点,由图象可得0≤k≤1.故选D.

二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.设f(x)=2x+3x-7,某学生用二分法求方程f(x)=0的近似解(精确度为0.1),列出了它的对应值表如下:

若依据此表格中的数据,则得到符合要求的方程的近似解可以为(　BC　)

(A)1.25   (B)1.376   (C)1.409 2   (D)1.5

解析:f(1.375)<0,f(1.437 5)>0,

故方程的近似解在(1.375,1.437 5)内.

因为1.437 5-1.375=0.062 5<0.1,

故(1.375,1.437 5)中的任意数都可作为近似解.

故选BC.

10.若函数f(x)=alog2x+a·4x+3在区间(,1)上有零点,则实数a的取值范围不可能是(　ABD　)

(A)(-∞,-3) (B)(-,0)

(C)(-3,-) (D)(-,+∞)

解析:函数y=log2x,y=4x在其定义域上是连续的且都是增函数,

由零点存在定理可得f()·f(1)<0,

即(-a+2a+3)(4a+3)<0,

解得-3<a<-.故选ABD.

11.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x-a,若g(x)存在两个零点,则a的取值可能是(　ACD　)

(A)-10 (B)-9

(C)-3    (D)0

解析:令g(x)=f(x)+x-a=0,

得a=

令y=a,则y=

在同一坐标系中,作出两个函数的图象,如图所示.

因为g(x)存在两个零点,

由图象可得a<-9或-4<a≤0.

故选ACD.

12.某食品的保鲜时间t(单位:h)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在4 ℃ 时的保鲜时间是16 h.已知甲在某日上午11时购买了该食品,并将其放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示,以下结论正确的是(　AD　)

(A)该食品在6 ℃时的保鲜时间是8 h

(B)当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少

(C)到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内

(D)到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间

解析:因为食品的保鲜时间t(单位:h)与储藏温度 x(单位:℃)满足函数关系t=且该食品在 4 ℃时 的保鲜时间是16 h,

所以24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-,

所以t=

当x=6时,t=8,该食品在6 ℃时的保鲜时间是8 h,故A正确;

当x∈[-6,0]时,保鲜时间恒为64 h,

当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少,故B

错误;

到了此日11时,温度为11 ℃,此时保鲜时间为 h,

故到13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故C错误;

由C可知到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间,故D正确,故选AD.

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.

13.函数f(x)=(lg x)2-lg x的零点为　　　　. 

解析:由题知(lg x)2-lg x=0,

得lg x(lg x-1)=0,

所以lg x=0或lg x=1,所以x=1或x=10.

答案:1或10

14.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=

0.1x2-11x+3 000,若每台产品的售价为25万元,则生产者的利润取最大值时,产量x等于　　　　台. 

解析:设产量为x台,利润为S万元,

则S=25x-y=25x-(0.1x2-11x+3 000)

=-0.1x2+36x-3 000

=-0.1(x-180)2+240,

则当x=180时,生产者的利润取得最大值.

答案:180

15.已知函数f(x)=若y=f(x)-kx有三个不同的零点,则实数k的取值范围是　　　　. 

解析:因为y=f(x)-kx有三个不同的零点,

所以f(x)-kx=0有三个不同的根,即y=f(x)与y=kx的图象有三个不同的交点,

画出图象,如图所示.

当y=kx过点(2,1)时,解得k=,

所以当k∈(0,)时,y=f(x)与y=kx的图象有三个不同的交点,即y=f(x)-kx有三个不同的零点.

答案:(0,)

16.已知函数f(x)=若方程f(x)=a(a∈R)有两个不同的实根x1,x2,且满足x1x2<4,则实数a的取值范围为　　　　. 

解析:由f(x)=a有2个不同根即y=f(x)与y=a的图象有2个不同交点.分别作出y=f(x),y=a的图象,如图所示,所以a>4;

方程f(x)=a(a∈R)有两个不同的实根x1,x2,如图所示,则有x1≤2,

且x1+=a,+3=a,

所以x1+=+3,所以x2=2x1+-6,

所以x1x2<4可化为2-6x1+8<4,

解得1<x1<2,

所以a=x1+∈(4,5),

即实数a的取值范围为(4,5).

答案:(4,5)

四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知函数f(x)= 若函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,求实数k的取值范围.

解:当x<0时,f(x)≥0,则f(f(x))=f(-x+1)=(-x+1)2-3=x2-2x-2.

当0≤x<时,f(x)<0,

则f(f(x))=f(x2-3)=-(x2-3)+1=-x2+4.

当x≥时,f(x)>0,f(f(x))=f(x2-3)=-3=x4-6x2+6.

所以f(f(x))=

当x≥时,y=x4-6x2+6=-3.

因为t=x2-3单调递增,且t≥0,此时y=t2-3单调递增,

所以y=-3在[,+∞)上单调递增,ymin=-3,

画出函数图象,如图.

函数y=f(f(x))-k有3个不同的零点,等价于y=f(f(x))和y=k的图象有3个不同的交点,

则观察图象可得,1<k≤4.即k的取值范围为(1,4].

18.(12分)一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境,所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止,森林面积为a.

(1)求p%的值.

(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

(3)该森林今后最多还能砍伐多少年?

解:(1)由题意得a(1-p%)10=,

即(1-p%)10=,

解得p%=1-().

(2)设经过m年森林面积为a,

则a(1-p%)m=a,

即()=(),=,

解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.

(3)设从今年开始,n年后森林面积为a(1-p%)n.

令a(1-p%)n≥a,

即(1-p%)n≥,()≥(),

得≤,解得n≤15,

故今后最多还能砍伐15年.

19.(12分)已知函数f(x)=ax+(a>1).

(1)求证:f(x)在(-1,+∞)上是增函数;

(2)若a=3,求方程f(x)=0的正根(精确度为0.1).

(1)证明:设-1<x1<x2,

所以f(x1)-f(x2)=-+-=-+.

因为-1<x1<x2,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,

所以<0.

因为-1<x1<x2,且a>1,

所以<,所以-<0,

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

所以函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

(2)解:由(1)知,当a=3时,f(x)=3x+在(-1,+∞)上为增函数,

故在(0,+∞)上也单调递增,

由于f(0)=-1<0,

f(1)=>0,因此f(x)=0的正根仅有一个,

以下用二分法求这一正根,

由于f(0)=-1<0,f(1)=>0,

所以取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:

由于|0.312 5-0.25|=0.062 5<0.1,

所以原方程的近似解可取为0.312 5.

20.(12分)某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏,据调查,花期为30天,园区从某月1日至30日开放,每天的旅游人数f(x)与第x天近似地满足f(x)=8+(千人),且游客人均消费g(x)近似地满足g(x)=143-|x-22|(元),1≤x≤30,x∈N.

(1)求该园区第x天的旅游收入p(x)(单位:千元)的函数关系式;

(2)记(1)中p(x)的最小值为m,若以0.3m(千元)作为资金全部用于回收投资成本,试问该园区能否收回投资成本?

解:(1)p(x)=f(x)·g(x)

=(8+)(143-|x-22|)

=

(2)当1≤x≤22时,

p(x)=8x++976≥2+976=1 152,

当且仅当8x=,即x=11时取等号,

此时p(x)的最小值为1 152,

当22<x≤30时,p(x)=-8x++1 312是减函数,

当x=30时,p(x)min=-8×30++1 312=1 116.

因为1 116<1 152,

所以m=1 116,

所以m=p(30)=1 116(千元),所以0.3m=33.48万元>30万元,能收回投资成本.

21.(12分)尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震释放出的能量E(单位:J)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.

(1)已知地震等级划分为里氏12级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于2.5级的为“小地震”,介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”,大于4.7级的为“破坏性地震”,若某次地震释放能量约1012 J,试确定该次地震的类型;

(2)2008年汶川地震为里氏8级,2011年日本地震为里氏9级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍?(≈3.2)

解:(1)当某次地震释放能量约1012 J时,E=1012,

代入lg E=4.8+1.5M,

得M===4.8.

因为4.8>4.7,所以该次地震为“破坏性地震”.

(2)设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E1,E2,

由题意知,lg E1=16.8,lg E2=18.3,

即E1=1016.8,E2=1018.3,

所以=101.5=10.

≈3.2,得≈32.

故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放能量的32倍.

22.(12分)已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx是偶函数.

(1)求k的值;

(2)设h(x)=log9(a·3x-a),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.

解:(1)由函数f(x)是偶函数可知f(x)=f(-x),

所以log9(9x+1)+kx=log9(9-x+1)-kx,

log9=x=-2kx,

即x=-2kx对一切x∈R恒成立,

所以k=-.

(2)函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,

即方程log9(9x+1)-x=log9(a·3x-a)有且只有一个实根.

化简得,方程3x+=a·3x-a有且只有一个实根.

令t=3x>0,则方程(a-1)t2-at-1=0有且只有一个正根.

当a=1时,t=-,不符合题意;

当a≠1且Δ=+4(a-1)=0时,

解得a=或a=-3.

当a=时,t=-2,不符合题意;

当a=-3时,t=,符合题意;

当a≠1,则Δ>0,则t1t2<0,

即

解得a>1.

综上,实数a的取值范围是{-3}∪(1,+∞).