北师大版高中数学必修第一册第四章对数运算与对数函数检测试题含答案

第四章　检测试题

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=()x,x>1},则A∩B=(　A　)

(A){y|0<y<}     (B){y|0<y<1}

(C){y|<y<1}     (D)

解析:因为A={y|y>0},B={y|0<y<},所以A∩B={y|0<y<}.故选A.

2.设a=ln ,b=e-2,c=log23,则下列关系正确的是(　B　)

(A)b>c>a    (B)c>b>a

(C)c>a>b    (D)b>a>c

解析:c=log23>log22=1,b=e-2∈(0,1),a=ln =-ln 5<0,所以c>b>a.故选B.

3.已知2m=3n=6,则+等于(　D　)

(A)-1 (B)2 (C)3 (D)1

解析:由2m=3n=6得m=log26,n=log36,

所以+=log62+log63=log66=1.故选D.

4.已知函数f(x)=loga(x+2),若图象过点(6,3),则f(2)的值为(　B　)

(A)-2    (B)2   (C)     (D)-

解析:因为函数f(x)=loga(x+2)的图象过点(6,3),

所以loga(6+2)=3⇒loga8=logaa3,

则a3=8⇒a=2,

所以f(x)=log2(x+2),f(2)=log2(2+2)=2.故选B.

5.函数f(x)=的图象大致是(　C　)

解析:因为f(x)==故选C.

6.已知函数f(x)=ln(1+x)+ln(1-x),则f(x)(　D　)

(A)是奇函数,且在(0,1)上单调递增

(B)是奇函数,且在(0,1)上单调递减

(C)是偶函数,且在(0,1)上单调递增

(D)是偶函数,且在(0,1)上单调递减

解析:对于函数f(x)=ln(1+x)+ln(1-x),有解得-1<x<1,

所以函数f(x)的定义域为(-1,1),且关于原点对称.

因为f(-x)=ln(1-x)+ln(1+x)=f(x),

所以函数f(x)为偶函数,

因为f(x)=ln(1-x2),内层函数u=1-x2在(0,1)上单调递减,外层函数y=ln u在定义域上单调递增,

所以函数f(x)在(0,1)上单调递减.故选D.

7.已知函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是(　C　)

(A)(-∞,1) (B)[,1)

(C)(0,1]    (D)[1,+∞)

解析:因为y=ln(x+1)+a(x≥0)的值域为[a,+∞),

a<0时,y=ax+1(x<0)的值域为(1,+∞),不合题意;

a=0时,y=ax+1(x<0)的值域为{1},不合题意;

a>0时,y=ax+1(x<0)的值域为(-∞,1).

要使函数f(x)=的值域为R,

则可得0<a≤1.故选C.

8.已知f(x)=lo(x2-ax+3a)在区间(2,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是(　D　)

(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)

(C)(-4,4] (D)[-4,4]

解析:令t=x2-ax+3a,

因为f(x)在区间(2,+∞)上是减函数,

且y=lot在区间(2,+∞)上是减函数,

所以t=x2-ax+3a在区间(2,+∞)上是增函数,且t=x2-ax+3a>0在区间(2,+∞)上恒成立,

即≤2,且4+a≥0,

解得a≤4,且a≥-4,

所以实数a的取值范围是[-4,4].故选D.

二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值不可能是(　ACD　)

(A) (B) (C)2 (D)4

解析:当a>1时,a+loga2+1=a,loga2=-1,a=(舍去).

当0<a<1时,1+a+loga2=a,

所以loga2=-1,a=.故选ACD.

10.若10a=4,10b=25,则(　AC　)

(A)a+b=2 (B)b-a=1

(C)ab>8lg22 (D)b-a<lg 6

解析:因为10a=4,10b=25,所以a=lg 4,

b=lg 25,所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2;

b-a=lg 25-lg 4=lg >lg 6;ab=2lg 2×2lg 5=4lg 2×lg 5>4lg 2×lg 4=8lg22.故选AC.

11.不是函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间的是(　D　)

(A)(0,+∞) (B)(-∞,0) 

(C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)

解析:函数f(x)=lo(x2-4)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),由于外层函数为减函数,由复合函数的单调性可知,只要求u(x)=x2-4的单调递减区间,结合函数f(x)=lo(x2-4)的定义域,得f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为(-∞,-2).故选D.

12.已知正实数x,y满足log2x+loy<()x-()y,则下列结论正确的是(　BC　)

(A)<              (B)x3<y3

(C)ln(y-x+1)>0     (D)2x-y<

解析:原不等式可变形为log2x-()x<log2y-()y,设f(x)=log2x-()x,则f(x)<f(y).

又y=log2x是增函数,y=()x是减函数,所以f(x)=log2x-()x是增函数,

所以x<y,即0<x<y.

则>,A错;x3<y3,B正确;y-x+1>1,

ln(y-x+1)>0,C正确;

x-y<0,2x-y<20=1,不能得出2x-y<,例如x=1,y=时,则2x-y==>,D错.故选BC.

三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把正确答案填在题中横线上.

13.(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25=　　　　. 

解析:原式=lg 2·(lg 2+lg 50)+lg 25=2lg 2+lg 25=lg 100=2.

答案:2

14.已知不等式log2(2x-1)<1成立,则实数x的取值范围是　　　　. 

解析:由题得log2(2x-1)<log22,

得0<2x-1<2,解得<x<.

答案:(,)

15.当生物死亡后,它机体内原有的碳-14含量会按确定的比例衰减

(称为衰减率),大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳-14含量为A,按照上述变化规律,生物体内碳-14含量y与死亡年数x的函数关系式是　　　    　.考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究,发现该生物体内碳-14的含量是原来的62.5%,则可以推测该生物的死亡时间距今约　　　　年.(参考数据:lg 2≈0.301) 

解析:设1年后碳-14含量为原来的a倍,

则a5 730=,a=(),

所以y=ax=().

由()=,即()=,

所以log2()=log2=log2,

所以-=log210-4=-4≈-4,

x≈3 883.

答案:y=()　3 883

16.已知函数f(x)的图象与函数g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,令h(x)=f(1-|x|),则关于函数h(x)有下列命题:

①h(x)的图象关于原点(0,0)对称;

②h(x)的图象关于y轴对称;

③h(x)的最小值为0;

④h(x)在区间(-1,0)上单调递增.

其中正确的是　     　　.(把正确命题的序号都填上) 

解析:因为f(x)的图象与g(x)=2x的图象关于直线y=x对称,

所以两者互为反函数,所以f(x)=log2x(x>0),

所以h(x)=f(1-|x|)=log2(1-|x|),函数h(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.

又h(-x)=h(x),

所以h(x)=log2(1-|x|)为偶函数,故h(x)的图象关于y轴对称,所以②正确,而①不正确.

因为当1-|x|的值趋近于0时,h(x)的函数值趋近于-∞,

所以h(x)的最小值不是0,所以③不正确.

设-1<x1<x2<0,则1-|x2|>1-|x1|,

又因为y=log2x是增函数,

所以log2(1-|x2|)>log2(1-|x1|),所以h(x2)>h(x1),所以h(x)在区间(-1,0)上单调递增,所以④正确.

答案:②④

四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).

解:原式=(log253++)(log52++)

=(3log25++)(log52++)

=(3+1+)log25·(3log52)

=13log25·

=13.

18.(12分)已知x,y,z为正数,且3x=4y=6z.

(1)求使2x=py的p的值;

(2)求证:=-.

(1)解:设3x=4y=6z=k(显然k>0,且k≠1),则x=log3k,y=log4k,z=log6k,

由2x=py,得2log3k=plog4k=p·,

因为log3k≠0,所以p=2log34.

(2)证明:-=-=logk6-logk3=logk2=logk4==.

19.(12分)已知函数f(x)=lo(x+2)+lo(x-2).

(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;

(2)求解关于x的不等式f(x)≥lo(3x).

解:(1)由得函数f(x)的定义域为(2,+∞),不关于原点

对称

所以函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

(2)因为f(x)=lo(x+2)+lo(x-2)=lo(x2-4),

所以不等式f(x)≥lo(3x)可化为lo(x2-4)≥lo(3x),

因为y=lox在(0,+∞)上是减函数,

所以0<x2-4≤3x,

解得2<x≤4,

因此不等式f(x)≥lo(3x)的解集为{x|2<x≤4}.

20.(12分)雾霾天气给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现,工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素,污染治理刻不容缓.为此,某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物,

(1)求常数k的值;

(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h)

(参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,

ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11)

解:(1)由已知得,当t=0时,P=P0;

当t=5时,P=90%P0.

于是有90%P0=P0e-5k,

解得k=-ln 0.9(或k≈0.022).

(2)由(1)知P=P0,当P=30%P0时,

有0.3P0=P0,

解得t=≈=≈55.

故污染物减少到30%至少需要55 h.

21.(12分)已知函数f(x)=ln(2-2x)+ln(2-2-x).

(1)求函数f(x)的定义域;

(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;

(3)若f(x)≤m恒成立,求实数m的取值范围.

解:(1)由题意知2-2x>0且2-2-x>0,

解得-1<x<1.

所以函数f(x)的定义域为(-1,1).

(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称,因为∀x∈(-1,1),-x∈(-1,1),

且f(-x)=ln(2-2-x)+ln(2-2x)=f(x),

所以f(x)是偶函数.

(3)因为f(x)=ln(2-2x)+ln(2-2-x),

所以f(x)=ln[(2-2x)(2-2-x)]=ln[5-2(2x+2-x)].

因为2x+2-x=2x+≥2=2(当且仅当x=0时等号成立),

所以5-2(2x+2-x)≤1,f(x)=ln[5-2(2x+2-x)]≤0.

因为f(x)≤m恒成立,

所以实数m的取值范围为[0,+∞).

22.(12分)已知函数f(x)=2x,g(x)=log3.

(1)求f(log22 020)+g(-)的值;

(2)试求出函数g(x)的定义域,并判断该函数的单调性与奇偶性;(判断函数的单调性不必给出证明)

(3)若函数F(x)=f(2x)-3f(x),且对∀x1∈[0,1],∀x2∈[-,],都有F(x1)>g(x2)+m成立,求实数m的取值范围.

解:(1)f(log22 020)+g(-)=+log33=2 021.

(2)由>0得-1<x<1,

所以函数g(x)的定义域为(-1,1).

因为g(x)=log3=log3(-1+),

所以函数g(x)在(-1,1)上单调递减.

g(-x)=log3=-g(x),且定义域关于原点对称,

所以函数g(x)为奇函数.

(3)因为对∀x1∈[0,1],∀x2∈[-,],都有F(x1)>g(x2)+m恒成立,

所以F(x)min>g(x)max+m.

由(2)知g(x)在[-,]上为减函数,

所以g(x)max=g(-)=1.

因为F(x)=f(2x)-3f(x)=22x-3·2x,

令t=2x,则y=t2-3t,当x∈[0,1]时,1≤t≤2,

所以当t=,即x=log2=log23-1时,F(x)min=-,

所以->1+m,即m<-,

所以实数m的取值范围为(-∞,-).