2020-2021学年第五章 函数应用本章综合与测试同步训练题

这是一份2020-2021学年第五章 函数应用本章综合与测试同步训练题，共18页。试卷主要包含了求函数f=x-1的零点，5万元B等内容，欢迎下载使用。

易错点1 忽视函数的定义域导致求零点错误
1.()求函数f(x)=(x2-2x-3)x-1的零点.
2.()设函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,函数g(x)=3ax-4x(x∈R).
(1)求g(x)的解析式;
(2)若方程g(x)-b=0在[-2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围.
易错点2 忽视对字母取值范围的讨论导致错误
3.()若函数f(x)=ax2-x-1的负零点有且仅有一个,求实数a的取值范围.
4.()已知函数f(x)=ax2+2x-2-a(a≤0).
(1)当a=-1时,求函数f(x)的零点;
(2)若函数f(x)在区间(0,1]上恰有一个零点,求a的取值范围.
易错点3 忽视实际问题中函数的定义域致错
5.()某汽车销售公司在A,B两地销售同一品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公司在两地共销售16辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润是 ( )
A.10.5万元B.11万元
C.43万元万元
6.()若一个等腰三角形的周长为20,则其底边长y关于其腰长x的函数关系式是( )
A.y=20-2x(0B.y=20-2x(0C.y=20-2x(5≤x≤10)
D.y=20-2x(57.()如图,有一块矩形空地ABCD,要在这块空地上开辟一块绿地(四边形EFGH),使其四个顶点分别落在矩形的四条边上(包括端点).已知AB=a,BC=b(b思想方法练
一、数形结合思想
1.()已知函数f(x)=3x+x,g(x)=lg3x+x,h(x)=lg3x的零点依次为a,b,c,则( )
A.c2.()已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d,若函数f(x)=2 017-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是( )
A.a>c>b>dB.a>b>c>dC.c>d>a>bD.c>a>b>d
3.()已知a是实数,函数f(x)=2|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 .
4.()已知函数f(x)=x3(x≤a),x2(x>a),若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则实数a的取值范围是 .
二、分类与整合思想
5.()已知函数f(x)=ax-1+lgax(a>0,且a≠1),则函数f(x)的零点个数为( )
A.0B.1C.2D.3
6.()已知x∈R,用符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=[x]x-a(x≠0)有且仅有3个零点,则a的取值范围是( )
A.38,25∪23,34B.23,34
C.34,45∪43,32D.43,32
7.()设a>0,且a≠1,则方程ax+1=-x2+2x+2a的解的个数为 .
8.()设a≥0,讨论函数f(x)=x|x-a|-a的零点的个数,并求出函数的零点.
三、函数与方程思想
9.()方程2xlg3x-3=0的解所在的区间是( )
A.1,32B.32,2C.2,52D.52,3
10.()某投资公司准备在2016年年底将1 000万元投资到某“低碳”项目上.据市场调研,该项目的年投资回报率为20%,该投资公司计划长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),若市场预期不变,大约在 年年底总资产(利润+本金)可以翻一番.(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)
11.()某家庭进行理财投资,根据市场预测的长期收益率,投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元,如图:
(1)分别写出两类产品的收益y(万元)与投资额x(万元)的函数关系;
(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?最大收益是多少万元?
四、转化与化归思想
12.()已知f(x)是奇函数,且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是( )
A.14B.18C.-78D.-38
13.()若函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)上恰有一个零点,则a的取值范围是 .
14.()已知f(x)=x3,x≥0,|lg(-x)|,x<0,则函数y=2[f(x)] 2-3f(x)的零点的个数为 .
答案全解全析
易混易错练
1.解析 由题意知x≥1,
令f(x)=(x2-2x-3)x-1=0,
得x2-2x-3=0或x-1=0,
解得x=3或x=-1(舍去)或x=1,故函数f(x)的零点是3和1.
2.解析 (1)∵函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,∴3a+2=18,∴3a=2,
∴g(x)=3ax-4x=2x-4x(x∈R).
(2)方程g(x)-b=0,即2x-4x-b=0,令t=2x,若x∈[-2,2],则14≤t≤4,
∴g(x)-b=0在[-2,2]上有两个不同的解等价于方程t-t2-b=0在14,4上有两个不同的解.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=t-t2,t∈14,4的图象及直线y=b.
当t=14时,y=316;当t=12时,y=14,由图知,当b∈316,14时,两函数图象有两个交点,即方程有两个不同的解.因此实数b的取值范围是316,14.
3.解析 当a=0时, f(x)=-x-1,令f(x)=0,得x=-1,符合题意;
当a>0时,函数图象开口向上, 对称轴为直线x=12a,且12a>0,f(0)=-1<0,结合二次函数图象(图略)知符合题意;
当a<0时,函数图象开口向下, 对称轴为直线x=12a,且12a<0, f(0)=-1<0,∵函数f(x)=ax2-x-1的负零点有且仅有一个,
∴由图象(图略)得Δ=1+4a=0,即a=-14.
综上可知,实数a的取值范围为a|a=-14或a≥0.
4.解析 (1)当a=-1时, f(x)=-x2+2x-1,
令f(x)=0,解得x=1,
∴当a=-1时,函数f(x)的零点是1.
(2)当a=0时, f(x)=2x-2,令f(x)=0,解得x=1,符合题意;
当a≠0时,令f(x)=ax2+2x-2-a=(ax+a+2)(x-1)=0,解得x=1或x=-1-2a,
依题意得-1-2a≤0或-1-2a≥1,
又a<0,
∴a≤-2或-1≤a<0.
综上可知,a的取值范围是(-∞,-2]∪[-1,0].
5.C 设该公司在A地销售该品牌的汽车x辆,则在B地销售该品牌的汽车(16-x)辆,所以利润y=4.1x-0.1x2+2(16-x)=-0.1x2+2.1x+32=-0.1(x-10.5)2+43.025.
因为x∈[0,16],且x∈N,
所以当x=10或x=11时,获得的利润最大,最大利润为43万元.
6.D 由题意知,2x+y=20,∴y=20-2x,由三角形知识得不等式组20-2x>0,x+x>20-2x,x>0,解得57.解析 设四边形EFGH的面积为S,
∵四边形ABCD为矩形,AE=AH=CF=CG=x,∴S△AEH=S△CFG=12x2,
S△BEF=S△DGH=12(a-x)(b-x),
∴S=ab-212x2+12(a-x)(b-x)=-2x2+(a+b)x=-2x-a+b42+(a+b)28.
此函数的定义域为{x|0若a+b4≤b,即a≤3b,则当x=a+b4时,S取得最大值,且Smax=(a+b)28.
若a+b4>b,即a>3b,则S在(0,b]上是增函数,且当x=b时,S取得最大值,且Smax=ab-b2.
综上,当b当a>3b时,x=b时绿地面积最大,最大面积为ab-b2.
思想方法练
1.B 令f(x)=0,则3x=-x;令g(x)=0,则lg3x=-x;
令h(x)=0,则x=1,所以c=1.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=3x,y=lg3x,y=-x的图象,
如图所示,则点A的横坐标为a,点B的横坐标为b,
所以a故选B.
2.D 令g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=2 017-g(x),
易知g(x)=0的两个根是a,b,
由题意知f(x)=0的两个根是c,d,即g(x)=2 017的两个根是c,d,在同一平面直角坐标系中,画出函数g(x)的图象及直线y=2 017,如图.
由图得,c>a>b>d.故选D.
3.答案 (1,+∞)
解析 函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x的图象与直线y=a有且仅有两个交点.
分别作出函数y=2|x-1|+x的图象与直线y=a,如图所示.
由图易知,当a>1时,函数y=2|x-1|+x的图象与直线y=a有两个不同的交点,
故实数a的取值范围是(1,+∞).
4.答案 (-∞,0)∪(1,+∞)
解析 ∵函数g(x)=f(x)-b有两个零点,∴函数y=f(x)与y=b的图象有两个交点.由x3=x2可得x=0或x=1.
当a>1时,函数y=f(x)的图象如图①所示,此时存在b,满足题意.
图①
当0≤a≤1时,函数y=f(x)在定义域R上单调递增,故不满足题意.
当a<0时,函数y=f(x)的图象如图②所示,此时存在b使得函数y=f(x)与y=b的图象有两个交点.
图②
综上,a的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).
5.B 求函数f(x)=ax-1+lgax(a>0,且a≠1)的零点个数,即求方程ax-1+lgax=0(a>0,且a≠1)的根的个数,即求方程ax-1=-lgax(a>0,且a≠1)的根的个数.在同一平面直角坐标系中,画出y=ax-1和y=-lgax(a>0,且a≠1)的大致图象.当a>1时,其图象如图所示,
观察图象知,两函数图象有且仅有一个交点;
当0观察图象知,两函数图象有且仅有一个交点.
综上可知,函数f(x)=ax-1+lgax(a>0,且a≠1)仅有一个零点.故选B.
6.C 令f(x)=[x]x-a=0,得[x]x=a.
设g(x)=[x]x(x≠0),
当x>0时,若0由f(x)有且仅有3个零点,可得34当x<0时,若-1≤x<0,则g(x)=[x]x=-1x∈[1,+∞);
若-1-n≤x<-n(n∈N+),
则g(x)=[x]x=-1-nx∈1,n+1n,
由f(x)有且仅有3个零点,可得43≤a<32.
因此,a的取值范围是34,45∪43,32,故选C.
7.答案 2
解析 原方程等价于ax=-(x-1)2+2a.当a>1时,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数y=ax和y=-(x-1)2+2a的大致图象,如图所示,
观察图象,可知此时两函数图象交点的个数是2;
当0观察图象可知,此时两函数图象交点的个数也是2.
综上可得,方程ax+1=-x2+2x+2a的解的个数为2.
8.解析 当a=0时, f(x)=x|x|,函数y=f(x)有一个零点0;
当a>0时,
f(x)=x|x-a|-a=x2-ax-a,x≥a,-x2+ax-a,x故当x≥a时, f(x)=x-a22-a24-a,
图象的对称轴为直线x=a2,
∴f(x)在(a,+∞)上单调递增,且f(a)<0;
当x∴f(x)在a2,a上单调递减,在-∞,a2上单调递增,
∴f(x)的最大值为fa2=a24-a.
①当fa2<0,即0即y=f(x)只有一个零点.
由x2-ax-a=0可得函数y=f(x)的零点为a+a2+4a2或a-a2+4a2(舍去).
②当fa2=0,
即a=4时,函数f(x)的图象与x轴有两个交点,
即y=f(x)有两个零点,分别为2和a+a2+4a2=2+22.
③当fa2>0,
即a>4时,函数f(x)的图象与x轴有三个交点,
即y=f(x)有三个零点.
由-x2+ax-a=0得x=a±a2-4a2,
∴函数y=f(x)的零点为a±a2-4a2和a+a2+4a2.
综上可得,当a=0时,函数有一个零点,为0;
当0当a=4时,函数有两个零点,为2和2+22;
当a>4时,函数有三个零点,为a±a2-4a2和a+a2+4a2.
9.C 令f(x)=2xlg3x-3,则f(1)=-3<0,f32=3lg332-3=-3lg32<0, f(2)=4lg32-3<0, f52=5lg352-3>0,所以f(2)·f52<0,又f(x)的图象在(0,+∞)上是连续的,所以方程的解所在的区间是2,52,故选C.
10.答案 2020
解析 假设n年后总资产可以翻一番,由题可知,1 000(1+20%)n=2 000,即1.2n=2,两边取对数得,n=lg2lg1.2=lg22lg2+lg3-1=0.301 02×0.301 0+0.477 1-1≈3.805 3.
所以大约4年后,即在2020年年底总资产可以翻一番.
11.解析 (1)由题意可知,投资债券类稳健型产品的收益满足函数y=k1x(x≥0),
当x=1时,y=0.125,则k1=0.125,
即y=0.125x(x≥0);
由题意可知,投资股票类风险型产品的收益满足函数y=k2x(x≥0),
当x=1时,y=0.5,则k2=0.5,
即y=0.5x(x≥0).
(2)设投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20),投资股票类风险型产品(20-x)万元,总收益为W万元,
则W=0.125x+0.520-x(0≤x≤20),
令t=20-x(0≤t≤20),则x=20-t2,
W=0.125(20-t2)+0.5t=-18t2+12t+52=-18(t-2)2+3,
所以当t=2,即x=16时,Wmax=3.
故投资债券类稳健型产品16万元,投资股票类风险型产品4万元时收益最大,最大收益为3万元.
12.C 令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0.因为f(x)是奇函数,所以f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ).又f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ,由题意,得关于x的方程2x2+1=x-λ只有一个解,即方程2x2-x+1+λ=0只有一个解,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-78,故选C.
13.答案 (1,+∞)
解析 函数f(x)在(0,1)上恰有一个零点,可转化为方程2a=1x+1x2在(0,1)内有唯一解,
设t=1x,则t∈(1,+∞),2a=t+t2,
即2a=t+t2在(1,+∞)上有唯一解,
令h(t)=t+t2,作出h(t)在(1,+∞)上的图象(图略),
由图象知2a>h(1)=2,即a>1,故a的取值范围是(1,+∞).
14.答案 5
解析 根据题意,令2[f(x)]2-3f(x)=0,解得f(x)=0或f(x)=32.在同一平面直角坐标系中分别作出y=0,y=32,函数y=f(x)的图象,如图所示,
由图象可知,y=f(x)的图象与直线y=0有两个交点,y=f(x)的图象与直线y=32有3个交点,故当f(x)=0和32时,分别有2个解和3个解,
所以函数y=2[f(x)]2-3f(x)的零点个数为5.