第五章 函数应用（A卷·知识通关练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（北师大版2019必修第一册）

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第五章  函数应用（A卷·知识通关练）

核心知识1  求函数的零点、零点的个数

1．函数的零点为（    ）

A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）

【答案】A

【分析】令，解对数方程，求出x＝10.

【详解】令，即，所以，因此x＝10，所以函数的零点为10，故选：A.

2．函数的零点个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】当时，将函数的零点个数转化为函数与函数，在上的交点个数，利用数形结合即得；当时，解方程，即得.

【详解】当时，，则函数的零点个数为函数与函数，的交点个数，作出两个函数的图象如下图所示，

由图可知，当时，函数的零点有两个，当时，，可得或(舍去)，即当时，函数的零点有一个；综上，函数的零点有三个.故选：C.

3．已知函数的图像是连续不断的，有如下的对应值表：

则函数在区间上的零点至少有（     ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【分析】由零点存在性定理得到函数零点至少有3个.

【详解】因为函数的图像是连续不断的，且，由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，因为，故由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，因为，故由零点存在性定理得：内存在至少1个零点，综上：函数在区间上的零点至少有3个.故选：B

4．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（    ）

A．0或 B．0 C． D．0或

【答案】A

【分析】根据函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，得到b＝－2a，再令g(x)＝0求解.

【详解】因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，所以b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．

令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－．故选：A

核心知识2  判断零点所在的区间

1．函数的零点所在的大致区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在性定理即可计算求解.

【详解】在连续不断，且单调递减，，

所以零点位于，故选：C

2．已知，函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用函数单调性结合零点的存在性定理和唯一性定理即可判断大小关系.

【详解】因为单调递增,

且由零点的存在性定理可知有唯一零点且;因为在单调递增,

且,由零点的存在性定理可知有唯一零点且;因为在单调递增,且,由零点的存在性定理可知有唯一零点，所以.故选:C.

核心知识3  利用零点求参数

1．函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．或 C． D．或

【答案】B

【分析】根据零点存在性定理结合二次函数的性质求解即可.

【详解】令，因为，

所以函数图象与轴有两个交点，因为函数在上存在零点，且函数图象连续，

所以，或，所以，或，解得或

故选：B

2．已知函数，若关于x的方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是(    )

A．     B．    C． D．

【答案】C

【分析】关于x的方程有两个不同的实数根，即与有两个不同的交点，作函数与函数的图象，数形结合即可求出m的范围.

【详解】关于x的方程有两个不同的实数根，即与有两个不同的交点，作函数与函数的图象如图，

结合图象知，当与有两个不同的交点时，.故选：C．

核心知识4  根的分布

1．已知关于的方程的两个不相等的实根均在区间内，则的取值范围为（    ）

A．      B．   C．   D．

【答案】C

【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程实根分布，列式求解作答.

【详解】因关于的方程的两个不相等的实根均在区间内，

则有，解得，所以的取值范围为.故选：C

2．若是方程的根，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据方程的根和函数的零点的关系可得为函数的零点，结合零点存在性定理确定的范围.

【详解】设，因为是方程的根，所以为函数的零点，

因为函数，在上都为单调递增函数，所以在上单调递增，又，，所以函数的零点一定在区间内，所以，

故选：A.

核心知识5  二分法求近似解

1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（    ）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】先由图象观察有无零点，再根据零点左右两侧，函数值符号不同，可以选出答案.

【详解】由图象可知，BD选项中函数无零点，AC选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点.故选：A

2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（     ）

A．f(x)＝3x－1      B．f(x)＝x3     C．f(x)＝|x|   D．f(x)＝ln x

【答案】C

【分析】根据题意，由二分法的定义，可以用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的两侧函数值异号，检验各个选项中的函数，从而得出结论．

【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)＝3x－1在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于B，f(x)＝x3在R上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；对于C，f(x)＝|x|，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，故不能用二分法求零点；对于D，f(x)＝ln x在(0,+∞)上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；故选：C．

3．设，现用二分法求关于的方程在区间内的近似解，已知，则方程的根落在区间（    ）内

A．     B．   C．   D．不能确定

【答案】B

【分析】根据零点存在性定理结合已知条件分析判断即可.

【详解】因为，，且的图象在上连续，所以在上至少存在一个零点，

因为，所以在上存在零点，因为，所以在上存在零点，

所以方程的根落在区间内，故选：B

4．已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：

由二分法，方程的近似解（精确度为0.05）可能是（    ）

A．0.625 B． C．0.5625 D．0.066

【答案】C

【分析】按照二分法的方法流程进行计算，根据的符号确定根所在的区间，当区间长度小于或等于0.05时，只需从该区间上任取一个数即可．

【详解】由题意得在区间上单调递增，设方程的解的近似值为，由表格得，所以,因为，所以方程的近似解可取为0.5625．故选：C.

核心知识6  已知函数模型解决问题

1．有一组实验数据如下

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最佳的一个是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】选代入四个选项的解析式中选取所得的最接近的解析式即可.

【详解】对于选项A：当时，，与相差较多，当时，，与相差较多，故选项A不正确；对于选项B：当时，，与相差较多，当时，，与相差较多，故选项B不正确；对于选项C：当时，，当时，，故选项C正确；对于选项D：当时，，与相差较多，当时，，与相差较多，故选项D不正确；故选：C.

2．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为，其中O表示鱼的耗氧量的单位数若一条鱼的游速是，则这条鱼的耗氧量是（    ）个单位.

A．2400 B．2700 C．6400 D．8100

【答案】B

【分析】将代入函数解析式，利用指数式与对数式的互化即可求解.

【详解】由，当时，则，即，解得，所以.

故选：B.

3．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（    ）

A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元

B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为

C．若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用

D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为

【答案】ABD

【分析】结合图象，求得甲厂、乙厂总费用的函数关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】过点，

设，则，所以，B选项正确，

当时，，所以甲厂的制版费为1千元；根据可知：

甲厂印刷费平均每个为0.5元，A选项正确.

根据图象可知：该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择乙厂更节省费用，C选项错误.

当时，过点，

设，则，所以，D选项正确.

故选：ABD

核心知识7  建立实际问题的函数模型

1．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是________．

【答案】

【分析】将费用之和表示为关于的函数的形式，根据基本不等式取等条件可确定结果.

【详解】设一年的总运费与总存储费用之和为，则；

（当且仅当，即时取等号），

要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值为.

故答案为：.

核心知识8  综合应用

1．已知为R上的奇函数，当时，．

(1)求；

(2)求的解析式；

(3)关于x的方程有3个不同的实数根，求实数k的取值范围．

【答案】(1)0    (2)  (3)

【分析】（1）（2）由奇函数的性质求解，

（3）作出图象，数形结合求解，

【详解】（1））因为为R上的奇函数，

当时，，所以．

（2）因为为R上的奇函数，所以．令得：，所以．

任取，则．所以．由，所以．综上所述：．

（3）作出的图象如图所示：

要使有3个根，只需．所以实数k的范围为．

2．已知函数f(x)＝(c为常数)，若1为函数f(x)的零点．

（1）求c的值；

（2）证明函数f(x)在[0，2]上是单调增函数；

（3）已知函数g(x)＝f(ex)，求函数g(x)的零点．

【答案】（1）c＝1；（2）证明见解析；（3）ln 2.

【分析】（1）由可得；

（2）结合增函数定义即可证明；

（3）化简，解方程即可.

【详解】（1）因为1为函数f(x)的零点，所以f（1）＝0，即c＝1；

（2）证明：设0≤x1<x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝－＝，

因为0≤x1<x2≤2，

所以x2－x1>0，x2＋1>0，x1＋1>0，

所以f(x2)>f(x1)，即函数f(x)在[0，2]上是单调增函数；

（3）令g(x)＝f(ex)－＝－＝0，解得ex＝2，即，

所以函数g(x)的零点是ln 2.