2021学年第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径测试题

这是一份2021学年第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径测试题，共20页。

24.1.2 垂直于弦的直径（基础训练）-人教版九年级上册（含答案）
一．选择题
1 ．如图，矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，O是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD绕O点逆时针旋转90°得矩形A′B′C′D′，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（　　）

A． B． C． D．
2 ．如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5．现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是（　　）

A． B． C． D．
3 ．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C，D为⊙O上两动点（C，D不与A，B重合），且CD为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．6
4 ．已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）
A．2 B．4 C．2或4 D．2或4
5 ．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最大值为（　　）

A．2 B．5 C．6 D．7
6 ．在平面直角坐标系xOy中，以P（0，﹣1）为圆心，PO为半径作圆，M为⊙P上一点，若点N的坐标为（3a，4a+4），则线段MN的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．2
7 ．如图，已知OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P，若BC＝8，AP＝2，则⊙O的半径
长为（　　）

A．5 B．6 C．10 D．
8 ．如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点F，N在半圆上．若半圆O的半径为10，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（　　）

A．25 B．50 C．100 D．150
9 ．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4，则球的半径长是（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4
10 ．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

二．填空题
11 ．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），D为第一象限内⊙O上的一点，若∠OCD＝75°，则AD＝　 　．

12 ．把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是 　 　cm．

13 ．一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为 　 　．

14 ．如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝　 　．

15 ．如图，已知AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，弦CD⊥AB于点P，CD＝8cm，则AP＝　 　．


三．解答题
16 ．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？”其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道长AB＝10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”

17 ．诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．

18 ．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：
（1）拱桥所在的圆的半径；
（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．

19 ．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．

20 ．好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．



参考答案与试题解析
一．选择题
1 ．【解答】解：如图，取A'D'的中点E，作ME⊥A'D'，取B'的中点F，作MF⊥BC'，
以M为圆心，MB长为半径作⊙M，
则⊙M经过点D'、B、A'、C，⊙M为整个图形最小覆盖圆，
∵矩形ABCD是由边长为1的五个小正方形拼成，
∴MF＝，BF＝，
在Rt△BMF中，
BM＝．
故选：C．

2 ．【解答】解：如图，设BE＝x，
在Rt△ACB中，AC＝2x，BC＝，
，解得，x＝2（负值舍去），
∴EH＝4，DH＝1，
设OE＝a，OD＝OB＝r，
，
解得，r＝（负值舍去）．
故选：B．

3 ．【解答】解：如图，延长CE交⊙O于J，连接DJ，

∵CE⊥AB，
∴CE＝EJ，
∵M是CD的中点，
∴CM＝DM，
∴EM＝DJ，
∴当DJ是直径时，EM的值最大，
∵⊙O的直径AB＝10，
∴EM的最大值为5，
故选：C．
4 ．【解答】解：连接OA，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAM中，OA＝5，
∴OM＝＝＝3，
当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC＝＝＝4；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC＝＝＝2．
故选：C．

5 ．【解答】解：连接OC，如图，
∵点C为弦AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，
∴点C在以OA为直径的圆上（点O、A除外），
以OA为直径作⊙P，过P点作直线PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，
当x＝0时，y＝x﹣3＝﹣3，则E（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，
解得x＝4，则D（4，0），
∴OD＝4，
∴DE＝＝5，
∵A（2，0），
∴P（1，0），
∴OP＝1，
∴PD＝OD﹣OP＝3，
∵∠PDH＝∠EDO，∠PHD＝∠EOD，
∴△DPH∽△DEO，
∴PH：OE＝DP：DE，
即PH：3＝3：5，
解得PH＝，
∴MP＝PH+1＝，
∴S△MED＝×5×＝7，
当C点与M点重合时，△CDE面积的最大值为7，
故选：D．

6 ．【解答】解：∵点N的坐标为（3a，4a+4），
∴点N为直线y＝上任意一点，
如下图，

直线AB为函数y＝的图象，则N为直线AB上一点，M为⊙P上一点，
由图象可知：过点P作AB垂线，当N、M分别是垂线与AB、⊙P的交点时，MN的长度最小，
此时：sin∠BAO＝，
由题意可知：B（﹣3，0），A（0，4），
∴AB＝5，
∵AP＝5，
∴，
∴NP＝3，
此时MN＝NP﹣PM＝2，
故选：D．
7 ．【解答】解：如图，连接OB，设OB＝OA＝x．

∵OA⊥BC，
∴PB＝PC＝BC＝4，
在Rt△OPB中，OB2＝OP2+PB2，
∴x2＝（x﹣2）2+42，
∴x＝5，
∴⊙O的半径为5．
故选：A．
8 ．【解答】解：连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG边长为b，OD＝c，则CN＝CD＝a，DE＝EF＝b，

∵四边形CDMN和DEFG都是正方形，
∴∠NCD＝90°，∠FED＝90°，
∵半圆O的半径为10，
∴ON＝OF＝10，
由勾股定理得：NC2+CO2＝ON2，OE2+EF2＝OF2，
∴a2+（a+c）2＝102①，b2+（b﹣c）2＝102②，
①﹣②，得a2+（a+c）2﹣b2﹣（b﹣c）2＝0，
（a2﹣b2）+[（a+c）2﹣（b﹣c）2）]＝0，
（a+b）（a﹣b）+（a+c+b﹣c）（a+c﹣b+c）＝0，
（a+b）（a﹣b）+（a+b）（a﹣b+2c）＝0，
（a+b）（a﹣b+a﹣b+2c）＝0，
2（a+b）（a﹣b+c）＝0，
∵a+b≠0，
∴a﹣b+c＝0，
即b＝a+c，
把b＝a+c代入①，得a2+b2＝102＝100，
即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是100，
故选：C．
9 ．【解答】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：
则NF＝EN＝EF＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDNM是矩形，
∴MN＝CD＝4，
设OF＝x，则OM＝OF，
∴ON＝MN﹣OM＝4﹣x，
在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，
即：（4﹣x）2+22＝x2，
解得：x＝2.5，
即球的半径长是2.5，
故选：B．

10 ．【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB于点C，OB＝5，OC＝3，
∴BC＝＝4，
∴AB＝2×4＝8，
∵AO≤AP≤AB，
∴5≤AP≤8，
∴AP的长度不可能是：9（答案不唯一）．
故选：D．

二．填空题
11 ．【解答】解：连接OD，BD．
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝75°
∴∠DOC＝90°﹣150°＝30°，
∴∠DOB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAB＝∠DOB＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝4，
∴AD＝AB•cos30°＝2，
故答案为：2．

12 ．【解答】解：过O作OG⊥AD于G，交⊙O于H，连接OE，

∴FG＝EG，
∵AF＝DE＝3cm，
设半径为rcm，则OG＝（r﹣6）cm，OE＝rcm，EG＝（r﹣3）cm，
根据勾股定理得，（r﹣3）2+（r﹣6）2＝r2，
解得：r＝15或3（舍），
答：这个球的半径为15cm．
故答案为：15．
13 ．【解答】解：过O作OC⊥AB垂足为C，交A′B′于点D，则OD⊥A′B′，
∵OC⊥AB，OD⊥A′B′，
∴BC＝AB＝6，DB′＝A′B′＝8，
在Rt△OBC和Rt△OB′D中，由勾股定理得，
OC＝＝8，OD＝＝6．
当AB与A′B′在点O的同侧时，

DC＝OC﹣OD＝8﹣6＝2；
当AB与A′B′在点O的异侧时，

DC＝OC+OD＝8+6＝14．
答：水面AB上升的高度为2或14．
14 ．【解答】解：延长FO交AD于点J，设AE＝x．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝∠A＝∠B＝90°，AD∥CB，AD＝BC，
∵OF⊥BC，
∴FJ⊥AD，
∴∠AJF＝∠FJD＝90°，
∴四边形ABFJ是矩形，四边形CDJF是矩形，
∴AB＝FJ＝CD，CF＝DJ＝3，
∵OJ⊥DB′，
∴DJ＝JB′＝3，
∴AD＝BC＝3+3+3＝9，
∴BF＝BC﹣CF＝6，
由翻折的性质可知，FB＝FB′＝6，
∴FJ＝＝＝3，
∴AB＝JF＝3，
在Rt△AEB′中，则有x2+32＝（3﹣x）2，
∴x＝，
∴AE＝．
故答案为：．
15 ．【解答】解：连接OC．


∵弦CD⊥直径AB于点P，CD＝8cm，
∴PC＝PD＝CD＝×8＝4cm，
在Rt△POC中，OP＝＝＝3cm，
∴AP＝OA﹣OP＝5﹣3＝2cm，
故答案为：2cm．

三．解答题
16 ．【解答】解：如图，连接OA，由题意可知，DE＝1寸，AB＝10寸，
∵AB⊥CD，CD是直径，AB＝10寸，
∴（寸），
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1寸，
∴OE＝（x﹣1）寸，
在Rt△AOE中，根据勾股定理得，
OA2﹣OE2＝AE2，
即x2﹣（x﹣1）2＝52，
解得：x＝13（寸）
所以CD＝26（寸）．
答：这块圆形木材的直径为26寸．

17 ．【解答】解：（1）如图，连接OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝16m，
∴BD＝AB＝8（m），
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，
解得r＝10．
答：此圆弧形拱桥的半径为10m．
（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：
连接ON，
∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，
∴CE＝4﹣3＝1（m），
∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），
在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN＝＝＝，
∴MN＝2EN＝2m＜12m．
∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．

18 ．【解答】解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，
设半径为xm，
则OA＝OA′＝OP，
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，
∵AB＝30m，
∴AM＝AB＝15（m），
在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，
由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，
即x2＝（x﹣9）2+152，
解得：x＝17，
即拱桥所在的圆的半径为17m；
（2）∵OP＝17m，
∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝8（m），
∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，
∴不需要采取紧急措施．

19 ．【解答】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，
则BC＝AB＝1.6（米），
设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，
解得R＝2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过O作OH⊥FE于H，
则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），
即支撑杆EF的高度为0.4米．

20 ．【解答】解：（1）如图，连接OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝16m，
∴BD＝AB＝8m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，
解得r＝10．
答：此圆弧形拱桥的半径为10米．

（2）连接ON
∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，
∴CE＝4﹣3＝1（m），
∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝102﹣92＝19，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2m＜12m．
∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．