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2021学年28.3 二次函数与实际问题同步练习题
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这是一份2021学年28.3 二次函数与实际问题同步练习题，共19页。试卷主要包含了3二次函数与实际问题 常考习题，5，，002x2+0等内容，欢迎下载使用。
人教五四新版 九年级数学上册第28章
28.3二次函数与实际问题 常考习题（附带答案）
一．选择题（共10小题）
1．长方形的周长为12cm，其中一边为x（0＜x＜6）cm，面积为ycm2．那么y与x的关系是（ ）
A．y＝（12﹣x）2 B．y＝（6﹣x）2 C．y＝x（12﹣x） D．y＝x（6﹣x）
2．据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝6（1+2x） B．y＝6（1﹣x）2
C．y＝6（1+x）2 D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2
3．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
4．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
5．如图，李大爷用24米长的篱笆围成一个矩形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（ ）
A． B．y＝x（12﹣x） C．y＝x（24﹣x） D．
6．如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
7．用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．不能确定
8．小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
0
…
A．﹣1 B．3 C．4 D．0
9．已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
10．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共6小题）
11．合肥市2013年平均房价为6500元/m2．若2014年和2015年房价平均增长率为x，则预计2015年的平均房价y（元/m2）与x之间的函数关系式为 ．
12．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式： （并写出自变量的取值范围）
13．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为 ．
14．中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
15．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4．
其中正确结论的序号是 ．
16．如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝ ．
三．解答题（共4小题）
17．为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据：
x（单位：万条）
200
300
y（单位：万元）
700
860
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，其中a为常数，点A（﹣4，2a﹣4）在此抛物线上．
（1）求此时抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）设点M（x，y）为抛物线上一点，当﹣3≤x≤2时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；
（3）已知点P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3）为平面直角坐标系内两点，连接PQ．若抛物线向上平移c个单位（c＞0）的过程中，与线段PQ恰好只有一个公共点，请直接写出c的取值范围．
19．已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）
（1）当a＝1时，
①抛物线C1的顶点坐标为 ．
②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为 ．
（2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长；
（3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值：若不存在，请说明理由．
20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线交抛物线于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：∵长方形的周长为12cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为（6﹣x）cm，
面积y＝x（6﹣x），
故选：D．
2．【解答】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，
由题意可得：
y关于x的函数表达式是：y＝6（1+x）2，
故选：C．
3．【解答】解：由题意可得，y与x的函数关系式为：
y＝（60﹣50+x）（200﹣10x）
＝（10+x）（200﹣10x）．
故选：D．
4．【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
5．【解答】解：根据题意可得，
AB＝，
则y＝AB•AD＝•x＝．
故选：D．
6．【解答】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y＝0，则﹣x2+x＝0，
整理得：x2﹣8x﹣20＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故选：D．
7．【解答】解：由图象可知，当x＝1时，y有最大，最大值为1.5，
∴当x＝1米，窗框的最大面积是1.5平方米，
根据矩形面积计算公式，另一边为1.5÷1＝1.5（米），
∴材料总长a＝1.5+1.5+1+1+1＝6（米）．
故选：C．
8．【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3相等，
∴此函数图象的对称轴为直线x＝＝1．
∴这个被蘸上了墨水的函数值是0，
故选：D．
9．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝﹣2，
∴＝﹣8，即＝8，
∴CD2＝×8＝，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴＝42＝16，
解得a＝，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
10．【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．【解答】解：由题意得：y＝6500（1+x）2，
故答案为：y＝6500（1+x）2．
12．【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），
则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x
由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，
所以x的取值范围是0＜x＜6，
故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．
13．【解答】解：设y＝a（x﹣20）2+16，
因为抛物线过（0，0），
所以代入得：
400a+16＝0，
解得a＝﹣，
故此抛物线的函数关系式为：
y＝﹣（x﹣20）2+16．
故答案为：y＝﹣（x﹣20）2+16．
14．【解答】解：由题意可得：A（﹣250，0），P（0，﹣100），
设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100，
则0＝62500a﹣100，
解得：a＝，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．
故答案为：y＝x2﹣100．
15．【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故答案为：①②③④．
16．【解答】解：根据题意，知A1、A2、A3、…An的点都在函与直线x＝i（i＝1、2、…、n）的图象上，
B1、B2、B3、…Bn的点都在直线与直线x＝i（i＝1、2、…、n）图象上，
∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；
B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；
∴A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，
A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，
A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，
…
AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；
∴＝1，
＝，
…
＝．
∴，
＝1++…+，
＝2[+++…+]，
＝2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），
＝2（1﹣），
＝．
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
17．【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+500，把（200，700），（300，860）代入得，
，
解得，
∴y＝0.002x2+0.6x+500（x≥100）；
（2）由题意可知，W＝30（mx+n）﹣（0.002x2+0.6x+500）＝﹣0.002x2+（30m﹣0.6）x+30n﹣500，
∵﹣0.002＜0，
∴当x＝﹣＝600时，W有最大值，
∴m＝0.1时，600m+n＝1000，
∴n＝940，
∴m，n的值分别为0.1，940．
18．【解答】解：（1）把点A（﹣4，2a﹣4）代入抛物线解析式y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，
得2a﹣4＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）﹣2a．
解得a＝3．
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣6．点A的坐标为（﹣4，2）．
（2）∵抛物线的对称轴为直线，且﹣3≤x≤2．
∴当x＝﹣1时，y最小＝﹣7．
∵当x＝﹣3时，y＝﹣3；当x＝2时，y＝2，
∴y最大＝2．
∴点M纵坐标y的最大值与最小值的差为：y最大﹣y最小＝2﹣（﹣7）＝9．
（3）由题意可知，PQ∥x轴．
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线顶点坐标为（﹣1，c﹣7），
当抛物线顶点落在PQ上时，c﹣7＝﹣3，
解得c＝4，满足题意．
把Q（2，﹣3）代入y＝x2+2x﹣6+c得﹣3＝4+4﹣6+c，
解得c＝﹣5，
把P（﹣2，﹣3）代入y＝x2+2x﹣6+c得﹣3＝4﹣4﹣6+c，
解得c＝3，
∴0＜c＜3满足题意，
综上所述，0＜c＜3或c＝4．
19．【解答】解：（1）①∵a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点为（1，﹣4），
故答案为：（1，﹣4）；
②设抛物线C2上任意一点（x，y），
则点（x，y）关于x轴对称的点为（x，﹣y），
∴﹣y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3＝ax（x﹣2）﹣3，
∴抛物线经过定点（2，﹣3），
∴当m＝﹣3时，EF的长度不变，
当y＝﹣3时，ax2﹣2ax﹣3＝﹣3，
解得x＝0或x＝2，
∴E（0，﹣3），F（2，﹣3），
∴EF＝2；
（3）存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下：
设抛物线抛物线C3上任意一点（x，y），
∴点（x，y）关于y＝﹣3的对称点为（x，﹣6﹣y），
∴﹣6﹣y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣ax2+2ax﹣3，
∴Q（1，a﹣3），
∵y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴P（1，﹣a﹣3），
∵EF⊥PQ，
∴EF与PQ为正方形的对角线，
∵E、F关于x＝1对称，
∴EP＝PF，
∴EF＝2＝PQ，
∴2＝|2a|，
∴a＝±1．
20．【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得a+b+4＝0，
∵对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣5a，
∴a﹣5a+4＝0，
∴a＝1，
∴b＝﹣5，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+4；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则x2﹣5x+4＝0，
∴x＝4或x＝1，
∴A（1，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t+4），则Q（t，t2﹣5t+4），
∴PQ＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∴当t＝2时，PQ的长度最大，
∴P（2，2），Q（2，﹣2），
∴PQ＝4，OQ＝2，
∵CO＝4，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
（3）存在点F，使得△BEF为等腰三角形，理由如下：
过点Q作x轴的垂线，过点Q作QN⊥y轴交于点N，过点E作y轴的垂线ME，
∵QM∥y轴，
∴∠ODQ＝∠MQD，
∵∠DQE＝2∠ODQ，
∴∠MQE＝∠ODQ，
∵C（0，4），D是OC的中点，
∴D（0，2），
∵Q（2，﹣2），
∴tan∠ODQ＝＝，
∴＝，
设E（m，m2﹣5m+4），
∴＝，
解得m＝2（舍）或m＝5，
∴E（5，4），
∴BE＝，
设F（0，y），
①当BF＝BE时，＝，
∴y＝±1，
∴F（0，1）或（0，﹣1）；
②当EF＝BE时，＝，
此时y无解；
③当BF＝EF时，BE的中点T（，2），
∴BF＝＝，
∴y＝，
∴F（0，），
综上所述：点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）
人教五四新版 九年级数学上册第28章
28.3二次函数与实际问题 常考习题（附带答案）
一．选择题（共10小题）
1．长方形的周长为12cm，其中一边为x（0＜x＜6）cm，面积为ycm2．那么y与x的关系是（ ）
A．y＝（12﹣x）2 B．y＝（6﹣x）2 C．y＝x（12﹣x） D．y＝x（6﹣x）
2．据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝6（1+2x） B．y＝6（1﹣x）2
C．y＝6（1+x）2 D．y＝6+6（1+x）+6（1+x）2
3．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每星期销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝10（200﹣10x） B．y＝200（10+x）
C．y＝10（200﹣10x）2 D．y＝（10+x）（200﹣10x）
4．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
5．如图，李大爷用24米长的篱笆围成一个矩形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（ ）
A． B．y＝x（12﹣x） C．y＝x（24﹣x） D．
6．如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
7．用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．不能确定
8．小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
0
…
A．﹣1 B．3 C．4 D．0
9．已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
10．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题（共6小题）
11．合肥市2013年平均房价为6500元/m2．若2014年和2015年房价平均增长率为x，则预计2015年的平均房价y（元/m2）与x之间的函数关系式为 ．
12．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式： （并写出自变量的取值范围）
13．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为 ．
14．中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是 ．
15．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4．
其中正确结论的序号是 ．
16．如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝ ．
三．解答题（共4小题）
17．为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据：
x（单位：万条）
200
300
y（单位：万元）
700
860
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，其中a为常数，点A（﹣4，2a﹣4）在此抛物线上．
（1）求此时抛物线的解析式及点A的坐标；
（2）设点M（x，y）为抛物线上一点，当﹣3≤x≤2时，求纵坐标y的最大值与最小值的差；
（3）已知点P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3）为平面直角坐标系内两点，连接PQ．若抛物线向上平移c个单位（c＞0）的过程中，与线段PQ恰好只有一个公共点，请直接写出c的取值范围．
19．已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）
（1）当a＝1时，
①抛物线C1的顶点坐标为 ．
②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为 ．
（2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长；
（3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值：若不存在，请说明理由．
20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线交抛物线于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：∵长方形的周长为12cm，其中一边长为xcm，
∴另一边长为（6﹣x）cm，
面积y＝x（6﹣x），
故选：D．
2．【解答】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x，
由题意可得：
y关于x的函数表达式是：y＝6（1+x）2，
故选：C．
3．【解答】解：由题意可得，y与x的函数关系式为：
y＝（60﹣50+x）（200﹣10x）
＝（10+x）（200﹣10x）．
故选：D．
4．【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
5．【解答】解：根据题意可得，
AB＝，
则y＝AB•AD＝•x＝．
故选：D．
6．【解答】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y＝0，则﹣x2+x＝0，
整理得：x2﹣8x﹣20＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
∴该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故选：D．
7．【解答】解：由图象可知，当x＝1时，y有最大，最大值为1.5，
∴当x＝1米，窗框的最大面积是1.5平方米，
根据矩形面积计算公式，另一边为1.5÷1＝1.5（米），
∴材料总长a＝1.5+1.5+1+1+1＝6（米）．
故选：C．
8．【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3相等，
∴此函数图象的对称轴为直线x＝＝1．
∴这个被蘸上了墨水的函数值是0，
故选：D．
9．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝﹣2，
∴＝﹣8，即＝8，
∴CD2＝×8＝，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴＝42＝16，
解得a＝，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
10．【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．【解答】解：由题意得：y＝6500（1+x）2，
故答案为：y＝6500（1+x）2．
12．【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），
则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x
由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，
所以x的取值范围是0＜x＜6，
故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．
13．【解答】解：设y＝a（x﹣20）2+16，
因为抛物线过（0，0），
所以代入得：
400a+16＝0，
解得a＝﹣，
故此抛物线的函数关系式为：
y＝﹣（x﹣20）2+16．
故答案为：y＝﹣（x﹣20）2+16．
14．【解答】解：由题意可得：A（﹣250，0），P（0，﹣100），
设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100，
则0＝62500a﹣100，
解得：a＝，
故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．
故答案为：y＝x2﹣100．
15．【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故答案为：①②③④．
16．【解答】解：根据题意，知A1、A2、A3、…An的点都在函与直线x＝i（i＝1、2、…、n）的图象上，
B1、B2、B3、…Bn的点都在直线与直线x＝i（i＝1、2、…、n）图象上，
∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；
B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；
∴A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，
A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，
A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，
…
AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；
∴＝1，
＝，
…
＝．
∴，
＝1++…+，
＝2[+++…+]，
＝2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），
＝2（1﹣），
＝．
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
17．【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+500，把（200，700），（300，860）代入得，
，
解得，
∴y＝0.002x2+0.6x+500（x≥100）；
（2）由题意可知，W＝30（mx+n）﹣（0.002x2+0.6x+500）＝﹣0.002x2+（30m﹣0.6）x+30n﹣500，
∵﹣0.002＜0，
∴当x＝﹣＝600时，W有最大值，
∴m＝0.1时，600m+n＝1000，
∴n＝940，
∴m，n的值分别为0.1，940．
18．【解答】解：（1）把点A（﹣4，2a﹣4）代入抛物线解析式y＝x2+（a﹣1）x﹣2a，
得2a﹣4＝（﹣4）2﹣4（a﹣1）﹣2a．
解得a＝3．
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣6．点A的坐标为（﹣4，2）．
（2）∵抛物线的对称轴为直线，且﹣3≤x≤2．
∴当x＝﹣1时，y最小＝﹣7．
∵当x＝﹣3时，y＝﹣3；当x＝2时，y＝2，
∴y最大＝2．
∴点M纵坐标y的最大值与最小值的差为：y最大﹣y最小＝2﹣（﹣7）＝9．
（3）由题意可知，PQ∥x轴．
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线顶点坐标为（﹣1，c﹣7），
当抛物线顶点落在PQ上时，c﹣7＝﹣3，
解得c＝4，满足题意．
把Q（2，﹣3）代入y＝x2+2x﹣6+c得﹣3＝4+4﹣6+c，
解得c＝﹣5，
把P（﹣2，﹣3）代入y＝x2+2x﹣6+c得﹣3＝4﹣4﹣6+c，
解得c＝3，
∴0＜c＜3满足题意，
综上所述，0＜c＜3或c＝4．
19．【解答】解：（1）①∵a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点为（1，﹣4），
故答案为：（1，﹣4）；
②设抛物线C2上任意一点（x，y），
则点（x，y）关于x轴对称的点为（x，﹣y），
∴﹣y＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3＝ax（x﹣2）﹣3，
∴抛物线经过定点（2，﹣3），
∴当m＝﹣3时，EF的长度不变，
当y＝﹣3时，ax2﹣2ax﹣3＝﹣3，
解得x＝0或x＝2，
∴E（0，﹣3），F（2，﹣3），
∴EF＝2；
（3）存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，理由如下：
设抛物线抛物线C3上任意一点（x，y），
∴点（x，y）关于y＝﹣3的对称点为（x，﹣6﹣y），
∴﹣6﹣y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣ax2+2ax﹣3，
∴Q（1，a﹣3），
∵y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴P（1，﹣a﹣3），
∵EF⊥PQ，
∴EF与PQ为正方形的对角线，
∵E、F关于x＝1对称，
∴EP＝PF，
∴EF＝2＝PQ，
∴2＝|2a|，
∴a＝±1．
20．【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax2+bx+4，
得a+b+4＝0，
∵对称轴为直线x＝，
∴﹣＝，
∴b＝﹣5a，
∴a﹣5a+4＝0，
∴a＝1，
∴b＝﹣5，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+4；
（2）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则x2﹣5x+4＝0，
∴x＝4或x＝1，
∴A（1，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+4，
设P（t，﹣t+4），则Q（t，t2﹣5t+4），
∴PQ＝﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∴当t＝2时，PQ的长度最大，
∴P（2，2），Q（2，﹣2），
∴PQ＝4，OQ＝2，
∵CO＝4，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
（3）存在点F，使得△BEF为等腰三角形，理由如下：
过点Q作x轴的垂线，过点Q作QN⊥y轴交于点N，过点E作y轴的垂线ME，
∵QM∥y轴，
∴∠ODQ＝∠MQD，
∵∠DQE＝2∠ODQ，
∴∠MQE＝∠ODQ，
∵C（0，4），D是OC的中点，
∴D（0，2），
∵Q（2，﹣2），
∴tan∠ODQ＝＝，
∴＝，
设E（m，m2﹣5m+4），
∴＝，
解得m＝2（舍）或m＝5，
∴E（5，4），
∴BE＝，
设F（0，y），
①当BF＝BE时，＝，
∴y＝±1，
∴F（0，1）或（0，﹣1）；
②当EF＝BE时，＝，
此时y无解；
③当BF＝EF时，BE的中点T（，2），
∴BF＝＝，
∴y＝，
∴F（0，），
综上所述：点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）
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