18.2.5 正方形 人教版数学八年级下册教学设计

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人教版初中数学八年级下册18.2.5 正方形 教学设计一、教学目标：1.理解正方形的概念;2.探索正方形的性质与判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别; 3.会应用正方形的性质与判定解决相关证明及计算问题.二、教学重、难点：重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.三、教学过程：情境引入观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.知识精讲正方形的四个角都是_____，四条边都_____.因此，正方形既是______，又是______，它既有______的性质，又有______的性质. 正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？正方形有哪些性质？实验探究实验一：利用手中矩形纸片用最快的方法剪出一个正方形.实验二：如何将一个活动的菱形框变成一个正方形？思考1.如果四边形ABCD已经是一个矩形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？2.如果四边形ABCD已经是一个菱形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？ 3.如果四边形ABCD是一般的平行四边形，那么再加上什么条件就可以变为正方形？有一组邻边相等的矩形是正方形：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.思考：正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？与同学们讨论一下，能列表或用框图表示出来吗？典例解析例1.求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O.求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明：∵ 四边形ABCD是正方形∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.例2.如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.证明：∵ΔBEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.【针对练习】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小．解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC的大小为30°或150°.【点睛】因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．例3.如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.解:连接PC，AC.∵四边形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°, AC垂直平分BD,∴AP=PC.又∵PE⊥BC ，PF⊥DC,∴四边形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=EF.【点睛】在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.【针对练习】如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE =90° .∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.延长BE交DE于点M,∵△BCE≌△DCF ,∴∠CBE =∠CDF.∵∠DCF =90° ,∴∠CDF +∠F =90°,∴∠CBE+∠F=90° ,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.例4.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN是菱形，∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）=180°－90°=90°.∴四边形EFMN是正方形 .【针对练习】如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴四边形EFGH为正方形.例5.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中，AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=12AC，∵AF=AE，∴BE=AF=AE.又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴得平行四边形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四边形AFBE是正方形．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。达标检测1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分 B.四个角都是直角C.四条边都相等 D.对角线互相垂直2.已知四边形ABCD中， ∠A=∠B=∠C=90°， 如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是( )A.∠D=90° B. AB=CD C. AD=BC D. BC=CD3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )A.当AB=BC时，它是菱形 B.当AC⊥BD时，它是菱形C.当∠ABC=90°时， 它是矩形 D.当AC=BD时，它是正方形4.如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( )A.2 B.4-π C.π D.π-15.正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.6.如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，点E在BD上，且BE=CD， 则∠BEC的度数为_________.7.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________.8.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上,且DE//CA，DF//BA.(1)四边形AEDF是______________；(2)如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是_________；(3)如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是_________；(4)如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是__________.9.如图，在AB上取一点C,以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连接AF、BD，延长BD交AF于H.求证:BH⊥AF.10.如图，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=CQ，P在BC上，AP=CD+CP，求证: AQ平分∠DAP.11.如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点(E与A，D不重合)，G，F，H分别是BE，BC，CE的中点.(1)证明四边形EGFH是平行四边形;(2)在(1)的条件下，若EF⊥BC，且EF=12BC，证明平行四边形EGFH是正方形.【参考答案】BDDB3267.5°23(1)平行四边形；(2)矩形；(3)菱形；(4)正方形9.证明:∵四边形AEDC和BCFG是正方形∴AC=DC，CF=CB， ∠ACF=∠BCF=90°∴△ACF≌△DCB (SAS)∴∠AFC=∠DBC又∵∠AFC+∠CAF=90°∴∠DBC+ ∠CAF=90°∴∠AHB=90° 即 BH⊥AF10.证明:延长AQ交BC延长线与E.∵四边形ABCD是正方形∴AD=CD，AD// BC∵∠D=∠QCE，∠DAQ=∠E又∵DQ=CQ∴△ADQ≌△ECQ (AAS)∴AD=CE∴CD=CE∴AP=CD+CP=CE+CP=EP∴∠PAQ=∠E∴∠PAQ=∠DAQ，即AQ平分∠DAP11.证明:(1)∵G，F，H分别是BE，BC，CE的中点∴GF//CE，FH//BE∴GF//EH，FH//GE∴四边形EGFH是平行四边形证明:(2)连接EF.∵BF=CF，EF⊥BC∴BE=CE∴GE=EH∴四边形EGFH是菱形∵EF=12BC,EF⊥BC∴BF=EF=CF∴∠BEF=∠CEF=45°∴∠BEC=90°∴四边形EGFH是菱形且∠BEC=90°∴四边形EGFH是正方形四、教学反思：从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论，在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度.