高中数学苏教版 (2019)必修 第一册1.2 子集、全集、补集导学案及答案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册1.2 子集、全集、补集导学案及答案，共12页。学案主要包含了子集与真子集，补集，由集合间的关系求参数范围等内容，欢迎下载使用。

导语
我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5＝5，5<7，5>3等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？比如，一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？
一、子集与真子集
问题1 观察下面的几个例子，请同学们说出两个集合元素有何特点？
(1)C为某校高一(二)班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
(2)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
(3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}．
提示 (1)集合C的任意元素都是集合D的元素，但该校高一(二)班每一个男生都是集合D的元素，不是集合C的元素；(2)集合A的任意元素都是集合B的元素，但4和5是集合B的元素，不是集合A的元素；(3)集合A的任意元素都是集合B的元素，同时集合B的任意元素都是集合A的元素．
知识梳理
注意点：
(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B.
(2)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
(3)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素的集合，∅{0}．
例1 指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
解 (1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.
(3)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，
故NM.
延伸探究 对于例题(1)中的集合A＝{－1，1}，试写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解 由0个元素构成的子集为∅；
由1个元素构成的子集为{－1}，{1}；
由2个元素构成的子集为{－1，1}．
因此集合A的子集为∅，{－1}，{1}，{－1，1}．
真子集为∅，{－1}，{1}．
反思感悟 (1)判断集合关系的方法
①观察法：一一列举观察．
②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
③数形结合法：利用数轴或Venn图．
(2)求元素个数有限的集合的子集的两个关注点
①要注意两个特殊的子集：∅和自身．
②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏．
跟踪训练1 (1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则集合M与N的关系是( )
A．M＝N B．NM
C．MN D．N⊆M
答案 C
解析 解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1，2}，因为1∈M且1∈N，2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以MN.
(2)满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个．
答案 7
解析 由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有五个元素：{1，2，3，4，5}．
故满足题意的集合M共有7个．
二、补集
问题2 如果我们把某次活动中的客人看成集合的元素，所有的客人组成集合U，先到的客人组成集合A，未到的客人组成集合B，这三个集合间有什么样的关系？
提示 集合U是我们研究对象的全体，A⊆U，B⊆U，A∩B＝∅，A∪B＝U.其中集合A与集合B有一种“互补”的关系．
知识梳理
1．全集
如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.
在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U.
2．补集
注意点：
(1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的．
(2)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合．
例2 设集合U＝R，M＝{x|x>2，或x<－2}，则∁UM等于( )
A．{x|－2≤x≤2}
B．{x|－2C．{x|x<－2，或x>2}
D．{x|x≤－2，或x≥2}
答案 A
解析 如图，在数轴上表示出集合M，
可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}．
反思感悟 (1)求补集的方法
①列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．
②由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合．
(2)利用补集求参数应注意两点
①与集合的补集运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．
②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
跟踪训练2 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3答案 {x|x＝－3，或x>4}
解析 借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3，或x>4}．
三、由集合间的关系求参数范围
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围.
解 (1)当B≠∅时，如图所示．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))
解这两个不等式组，得2≤m≤3.
(2)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.
综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．
延伸探究
1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2解 (1)当B＝∅时，
由m＋1>2m－1，得m<2.
(2)当B≠∅时，如图所示．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>－3，,m<3，,m≥2，))即2≤m<3，
综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．
2．若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．
解 当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1>m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>2，,m≤－3，,m≥3，))无解．
∴不存在实数m使A⊆B.
反思感悟 利用集合关系求参数的关注点
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．
跟踪训练3 (1)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
解 ①当B＝∅时，2a>a＋3，
即a>3.显然满足题意．
②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋3≥2a，,a＋3<－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋3≥2a，,2a>4，))
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4，或a>2}．
(2)已知集合A＝{x|x<－2，或x>5}，B＝{x|m≤x①求∁RA；
②若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．
解 (1)因为A＝{x|x<－2，或x>5}，
所以∁RA＝{x|－2≤x≤5}．
(2)因为m＋1>m，所以B≠∅，
因为B⊆∁RA，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－2，,m＋1≤5，))
解得－2≤m≤4.
即实数m的取值范围为{m|－2≤m≤4}．
1．知识清单：
(1)子集、真子集的概念及集合间关系的判断．
(2)全集和补集的概念及运算．
(3)由集合间的关系求参数范围．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论、正难则反的补集思想．
3．常见误区：易忽略空集的情况；求参数的取值范围时，忽略取值范围的边界等号是否成立；求补集时易忽视端点的取舍．
1．集合A＝{x|－1A．B∈A B．A⊆B
C．B⊆A D．A＝B
答案 C
解析 ∵A＝{x|－12．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A等于( )
A．{0} B．{1}
C．∅ D．{0，1}
答案 D
解析 ∵U＝{0，1，2}，∁UA＝{2}，∴A＝{0，1}．
3．能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}关系的Venn图是( )
答案 B
解析 由x2－x＝0得x＝1或x＝0，
故N＝{0，1}，
易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．
4．若全集U＝{1，2，3，4，5}且∁UA＝{2，3}，则集合A的真子集共有________个．
答案 7
解析 因为U＝{1，2，3，4，5}且∁UA＝{2，3}，
所以A＝{1，4，5}，共有3个元素，
所以A的真子集有7个．

1．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5，x}，若B⊆A，则x可以取的值为( )
A．1，2，3，4，5，6 B．1，2，3，4，6
C．1，2，3，6 D．1，2，6
答案 D
解析 由B⊆A和集合元素的互异性可知，x可以取的值为1，2，6.
2．(多选)已知集合A＝{0，1}，则下列式子正确的是( )
A．0∈A B．{1}∈A
C．∅⊆A D．{0，1}⊆A
答案 ACD
解析 ∵{1}⊆A，∴B项错误，其余均正确．
3．已知全集U＝R，M＝{x|－3≤x<5}，则∁UM等于( )
A．{x|x<－3，或x≥5}
B．{x|x≤－3，或x＞5}
C．{x|x<－3，且x≥5}
D．{x|x≤－3，且x>5}
答案 A
解析 ∵全集U＝R，M＝{x|－3≤x＜5}，
∴∁UM＝{x|x＜－3，或x≥5}．
4．若全集U＝{1，2，3，4，5}，且∁UA＝{x|1≤x≤3，x∈N}，则集合A的真子集共有( )
A．3个 B．4个
C．7个 D．8个
答案 A
解析 ∁UA＝{1，2，3}，所以A＝{4，5}，其真子集有3个．
5．若集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＝1}，且B⊆A，则实数a取值的集合为( )
A．{－1} B．{1}
C．{－1，1} D．{1，－1，0}
答案 D
解析 因为A＝{－1，1}，
B＝{x|ax＝1}，B⊆A，
若B＝∅，则方程ax＝1无解，
所以a＝0满足题意；
若B≠∅，则B＝{x|ax＝1}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,a)))))，
因为B⊆A，所以eq \f(1,a)＝±1，则a＝±1，
故实数a取值的集合为{1，－1，0}．
6．(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，A＝{1，|a－5|，9}，∁UA＝{5，7}，则a的值是( )
A．2 B．8
C．－2 D．－8
答案 AB
解析 由题意得{1，3，5，7，9}＝{1，|a－5|，5，7，9}，
∴|a－5|＝3，解得a＝2或a＝8.
7．已知集合M＝{3，2a}，N＝{a＋1，3}，若M⊆N，则a＝________.
答案 1
解析 ∵M⊆N，
∴2a＝a＋1，即a＝1.
8．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}，若全集U＝R，且A⊆∁UB，则a的取值范围为________．
答案 {a|a>－2}
解析 ∁UB＝{x|x因为A⊆∁UB，所以a>－2.
9．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋2}．
(1)求∁RA；
(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．
解 (1)A＝{x|1≤x≤2}，
故∁RA＝{x|x<1，或x>2}．
(2)因为A⊆B，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,a＋2≥2，))故0≤a≤1.
10．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝eq \f(1,5)，试判定集合A与B的关系；
(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C.
解 (1)A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{5，3}，
当a＝eq \f(1,5)时，B＝{5}，元素5是集合A＝{5，3}中的元素，
集合A＝{5，3}中除元素5外，还有元素3，3不在集合B中，所以BA.
(2)当a＝0时，由题意得B＝∅，又A＝{3，5}，故B⊆A；
当a≠0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))，又A＝{3，5}，B⊆A，此时eq \f(1,a)＝3或eq \f(1,a)＝5，则有a＝eq \f(1,3)或a＝eq \f(1,5).
所以C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).
11．满足条件∅M{a，b，c}的集合M共有( )
A．3个 B．6个 C．7个 D．8个
答案 B
解析 由题意知，M是{a，b，c}的非空真子集，
即{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，共6个．
12．集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}之间的关系是( )
A．SPM B．S＝PM
C．SP＝M D．P＝MS
答案 C
解析 ∵M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，
P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，
S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}，
∴M＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，
P＝{…，－7，－2，3，8，13，18，…}，
S＝{…，－7，3，13，23，…}，
故SP＝M.
13．已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁UM⊇N，则必有( )
A．M⊆∁UN B．∁UN⊆M
C．∁UM＝∁UN D．M⊆N
答案 A
解析 依据题意画出Venn图，
观察可知，M⊆∁UN.
14．设全集U＝{2，3，2a－3}，A＝{2，b}，∁UA＝{5}，则a＝________，b＝________.
答案 4 3
解析 由题意，全集U＝{2，3，2a－3}，集合A＝{2，b}，因为∁UA＝{5}，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－3＝5，,b＝3，))解得a＝4，b＝3.
15．设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠∅，B⊆A，则a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．±1
答案 D
解析 当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根－1，即a＝－1；
当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两个相等的实根1，即a＝1；
当B＝{－1，1}时，不成立．
故a＝±1.
16．已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}．
(1)若∅M，求实数a的取值范围；
(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围．
解 (1)由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解，
∴Δ＝22－4×(－a)≥0，解得a≥－1，故实数a的取值范围为{a|a≥－1}．
(2)∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M⊆N，
∴当M＝∅时，
Δ＝22－4×(－a)<0，得a<－1；
当M≠∅时，当Δ＝0时，a＝－1，
此时M＝{－1}，满足M⊆N，符合题意．
当Δ>0时，a>－1，M中有两个元素，
若M⊆N，则M＝N，
从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋0＝－2，,－1×0＝－a，))无解．
综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1}．子集
真子集
定义
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集
记法
A⊆B或B⊇A
AB或BA
读法
集合A包含于集合B或集合B包含集合A
A真包含于B或B真包含A
图示
性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；
(2)对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C；
(3)若A⊆B且B⊆A，则A＝B；
(4)规定∅⊆A
(1)对于集合A，B，C，若AB且BC，则AC；
(2)对于集合A，B，若A⊆B且A≠B，则AB；
(3)若A≠∅，则∅A
定义
文字语言
设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集
符号语言
∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}
图形语言
性质
(1)A⊆S，∁SA⊆S；(2)∁S(∁SA)＝A；(3)∁SS＝∅，∁S∅＝S