高中数学苏教版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示导学案，共13页。学案主要包含了集合的相关概念，集合元素基本属性的应用，集合的表示等内容，欢迎下载使用。

导语
在体育课上，体育老师常说的一句话就是“集合”，这个时候，同学们从四面八方集合到一起，而这个集合是一个动词，在我们数学课上，也有一个名词“集合”，比如在小学和初中，我们学习过自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合等，为了进一步了解集合的有关知识，请同学们观察下面的几个例子．
一、集合的相关概念
问题1 看下面的几个例子，观察并讨论它们有什么共同特点？
(1)1～10之间的所有偶数；
(2)立德中学今年入学的全体高一学生；
(3)所有正方形；
(4)到直线l的距离等于定长d的所有点；
(5)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；
(6)地球上的四大洋．
提示 以上例子中指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，而且每个例子中的研究对象都是确定的、互不相同的．
知识梳理
1．集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，通常用大写拉丁字母来表示集合．
元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母来表示．
2．常用数集及表示符号
问题2 如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？
提示 是男生就去，不是男生就不去．
3．元素与集合的关系
注意点：
元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写．
例1 (1)下列对象能组成集合的是( )
A.eq \r(2)的所有近似值
B．某个班级中学习好的所有同学
C．2022年高考数学试卷中所有难题
D．北京冬奥会的全体运动员
答案 D
解析 D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．
(2)(多选)下列选项中，正确的是( )
A．2∈Q B．|－3|∈N
C．|－3|∈Z D．0∉N
答案 ABC
解析 根据元素与集合的关系得2∈Q，A正确；
|－3|＝3∈N，B正确；
|－3|＝3∈Z，C正确；0∈N，D错误．
反思感悟 (1)判断一组对象能构成集合的条件是，能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
(2)判断元素和集合关系的两种方法
①直接法：集合中的元素是直接给出的．
②推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
跟踪训练1 (1)(多选)下列说法正确的有( )
A．花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合
B．正方体的全体构成一个集合
C．未来世界的高科技产品构成一个集合
D．不大于3的所有自然数构成一个集合
答案 BD
解析 在A中，花坛上色彩艳丽的花朵不能构成一个集合，故A错误；在B中，正方体的全体能构成一个集合，故B正确；在C中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故C错误；在D中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故D正确．
(2)设集合M是由不小于2eq \r(5)的数组成的集合，a＝eq \r(15)，则下列关系中正确的是( )
A．a∈M B．a∉M
C．a＝M D．a≠M
答案 B
解析 ∵eq \r(15)<2eq \r(5)，∴a∉M.
二、集合元素基本属性的应用
知识梳理
集合元素的基本属性
(1)确定性：集合的元素必须是确定的．
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．
(3)无序性：集合中的元素可以任意排列．
注意点：
集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关．
例2 已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－eq \f(3,2).
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－eq \f(3,2)时，a－2＝－eq \f(7,2)，2a2＋5a＝－3，符合集合中元素的互异性，∴a＝－eq \f(3,2).
延伸探究 在本例中，若集合A中的三个元素换为a－3，2a－1，a2－4，其余不变，求实数a的值．
解 ①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A中的元素为－3，－1，－4，满足题意．
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A中的元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性．
③若a2－4＝－3，则a＝±1.
当a＝1时，A中的元素为－2，1，－3，满足题意；
当a＝－1时，由②知不符合题意．
综上可知，a＝0或a＝1.
反思感悟 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练2 设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x的值．
解 (1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，
且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解得x≠－1且x≠0，x≠3.
(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2.
三、集合的表示
问题3 用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？
提示 ①这是用自然语言法表示的集合；②我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出．
知识梳理
列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内的表示集合的方法叫做列举法．
注意点：
(1)集合中的元素之间用逗号分隔，元素不重复，元素无顺序．
(2)元素个数较少时，把元素一一列举并用“{ }”括起来即可；元素个数较多且有明显规律，可用列举法，但必须把规律显示清楚，然后加省略号．
问题4 你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？
提示 不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示．但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x|x<10，x∈R}．
问题5 仿照上面的例子以及阅读课本，你能表示偶数集吗？
提示 {x|x＝2k，k∈Z}．
知识梳理
1．描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，这样表示集合的方法称为描述法．
注意点：
(1)用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、准确的语言描述集合的特征性质．
(2)从上下文的关系来看，若元素的取值(或变化)范围是明确的，则可省略不写．
2．为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图．
3．集合的分类
按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集．
(1)一般地，含有有限个元素的集合称为有限集．
(2)一般地，含有无限个元素的集合称为无限集．
(3)不含任何元素的集合称为空集，记作∅.
4．集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
例3 (1)用恰当的方法表示下列给定的集合：
①不大于10的非负偶数组成的集合A；
②方程x2－2x－3＝0的实数根组成的集合C；
③方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,x－y＝2))的解集D；
④不等式2x－3<1的解组成的集合A；
⑤被3除余2的正整数的集合B；
⑥平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
解 ①不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，10，
所以A＝{0，2，4，6，8，10}．
②方程x2－2x－3＝0的实数根为－1，3，
所以C＝{－1，3}．
③方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,x－y＝2))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))
所以方程组的解集D＝{(3，1)}．
④不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，
即A＝{x|x<2}．
⑤设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．
⑥平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}．
(2)设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A，B相等，则实数x的值为________，y的值为________．
答案 1 0
解析 因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，故x＝1.综上可知，x＝1，y＝0.
反思感悟 (1)用列举法表示集合的注意点
①把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．
②这里“{ }”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等．
(2)利用描述法表示集合的注意点
①写清楚该集合代表元素的符号．
②所有描述的内容都要写在花括号内．
(3)一个集合可以用不同的方法表示．若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，要注意其中的元素不一定按顺序对应相等，应注意检验元素是否满足互异性．
跟踪训练3 (1)用列举法或描述法表示下列集合．
①由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
②A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}；
③比1大又比10小的实数组成的集合；
④不等式3x＋4≥2x的所有解；
⑤直线y＝x上的点的集合．
解 ①满足条件的数有3，5，7，
所以所求集合为{3，5，7}．
②因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝0.))
故A＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}．
③可以表示成{x|1④可以表示成{x|3x＋4≥2x}，即{x|x≥－4}．
⑤可以表示成{(x，y)|x－y＝0}．
(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝________.
答案 2
解析 由题意可知a≠0，
则a＋b＝0，eq \f(b,a)＝－1，
∴a＝－1，b＝1，∴b－a＝2.
1．知识清单：
(1)集合的概念、元素与集合的关系．
(2)集合中元素的特性及应用．
(3)用列举法和描述法表示集合．
2．方法归纳：分类讨论、等价转化．
3．常见误区：忽视集合中元素的互异性；忽视点集与数集的区别．
1．(多选)下列各组对象能构成集合的有( )
A．接近于1的所有正整数
B．小于0的实数
C．点(2 022，1)与点(1，2 022)
D．某班级里身高较高的学生
答案 BC
解析 A中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，(2 022，1)与(1，2 022)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D中，某班级里身高较高的学生不能构成一个集合．
2．已知集合A中的元素x满足x－1A．3∈A且－3∉A B．3∈A且－3∈A
C．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A
答案 D
解析 ∵3－1＝2>eq \r(3)，∴3∉A.
又－3－1＝－43．集合{x|x－3<2，x∈N*}的另一种表示法是( )
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}
答案 B
解析 ∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，
∴x＝1，2，3，4.
4．设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝______，b＝______.
答案 0 1
解析 A＝{1，a}，解方程x(x－a)(x－b)＝0，
得x＝0或a或b，若A＝B，
则a＝0，b＝1.
1．(多选)下列选项中能构成集合的是( )
A．高一年级跑得快的同学
B．中国的大河
C．3的倍数
D．大于6的有理数
答案 CD
解析 选项A，B都不具备确定性，不能构成集合．
2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5 C.eq \f(3,7) D.eq \r(7)
答案 D
解析 由题意知a应为无理数，故a可以为eq \r(7).
3．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( )
A.eq \r(5)∈M B．0∉M
C．1∈M D．－eq \f(π,2)∈M
答案 D
解析 eq \r(5)>1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－eq \f(π,2)<1，故D正确．
4．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
答案 A
解析 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等，则这个四边形可能是梯形．
5．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1，1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
答案 B
解析 方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根1，根据集合元素的互异性知B正确．
6．(多选)下列说法中不正确的是( )
A．0与{0}表示同一个集合
B．集合M＝{3，4}与N＝{(3，4)}表示同一个集合
C．方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}
D．集合{x|4答案 ABC
解析 对于A，0是一个元素(数)，而{0}是一个集合，可得0∈{0}，所以A不正确；
对于B，集合M＝{3，4}表示数3，4构成的集合，集合N＝{(3，4)}表示点集，所以B不正确；
对于C，根据集合元素的互异性，可得方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，2}，所以C不正确；
对于D，集合{x|47．设由2，4，6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.
答案 2或4
解析 代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.
8．若集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))与集合{a2，a＋b，0}相等，则a2 022＋b2 022的值为________．
答案 1
解析 由已知可得a≠0，因为两集合相等，
所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝0，,a＋b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝0，,a2＝1，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝0，,a＝1))(舍)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝0，,a＝－1，))
经检验，a＝－1，b＝0满足条件，
所以a2 022＋b2 022＝1.
9．已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
解 由题意可知，a＝1或a2＝a.
(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0.
10．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2>6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
(5)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝3，,x－2y＝4))的解集．
解 (1){0，－1}．
(2){x|x＝2k＋1，且x<1 000，k∈N}．
(3){x|x>8}．
(4){1，2，3，4，5，6}．
(5)解集用描述法表示为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝3,x－2y＝4))))))，
解集用列举法表示为{(2，－1)}．
11．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3答案 D
解析 由题意可知，满足题设条件的只有选项D.
12．已知a，b是非零实数，代数式eq \f(|a|,a)＋eq \f(|b|,b)＋eq \f(|ab|,ab)的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M B．－1∈M
C．3∉M D．1∈M
答案 B
解析 当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.
13．(多选)已知集合M中的元素x满足x＝a＋eq \r(2)b，其中a，b∈Z，则下列选项中属于集合M的是( )
A．0 B．3eq \r(2)－1
C.eq \r(6) D.eq \f(1,1－\r(2))
答案 ABD
解析 当a＝b＝0时，x＝0；
当a＝－1，b＝3时，x＝－1＋3eq \r(2)＝3eq \r(2)－1；
当a＝－1，b＝－1时，x＝－1－eq \r(2)，
又eq \f(1,1－\r(2))＝eq \f(1＋\r(2),1－\r(2)1＋\r(2))＝－1－eq \r(2)，
所以此时x＝eq \f(1,1－\r(2))，
综上所述，A，B，D中的数都是集合M中的元素．
因为a，b∈Z，无法满足x＝eq \r(6)，
所以C中的数不属于集合M.
14．若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 由题意，若a－3＝－3，可得a＝0，
此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意；
若2a－1＝－3，可得a＝－1，
此时a2－4＝－3，不满足集合元素的互异性，舍去；
若a2－4＝－3，可得a＝1或a＝－1(舍去)，
当a＝1时，集合A＝{－2，1，－3}，符合题意，
综上可得，实数a的值为0或1.
15．已知集合M有2个元素x，2－x，若－1∉M，则下列说法一定错误的是______．(填序号)
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
答案 ②
解析 依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－1，,2－x≠－1，,x≠2－x.))
解得x≠－1，x≠1且x≠3，
所以②错误，③正确．
当x＝2或2－x＝2，即x＝2或x＝0时，M中的元素为0，2，故①可能正确．
16．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
解 (1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，
则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
知识点
关系
概念
记法
读法
元素与集合的关系
属于
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A
a∈A
a属于A
不属于
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A
a∉A或aA
a不属于A