高中数学苏教版 (2019)必修 第一册1.2 子集、全集、补集优质第1课时导学案

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1.2 子集、全集、补集


第1课时 子集、真子集








如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F，你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？





1．子集的概念及其性质


(1)子集


(2)子集的性质


①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．


②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．


③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．


(3)集合相等


若A⊆B且B⊆A，则A＝B．


2．真子集的概念及性质


(1)真子集的概念


如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．


(2)性质


①∅是任一非空集合的真子集．


②若AB，BC，则AC．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1){2,3}⊆{x|x2－5x＋6＝0}．( )


(2)∅⊆{0}．( )


(3)∅⊆{∅}．( )


[提示] (1)x2－5x＋6＝0的根为x＝2,3，故(1)正确．因为∅是任何集合的子集，故(2)(3)正确．


[答案] (1)√ (2)√ (3)√


2．{1，a}⊆{1,2,3}，则a＝ ．


2或3 [因为{1，a}⊆{1,2,3}，所以a必定是集合{1,2,3}中的一个元素且a≠1，故a＝2或3．]


3．集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,0,1}，则A与B的关系是 ．


AB [∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{1，－1}．显然AB．]





【例1】 指出下列各对集合之间的关系：


(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；


(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；


(3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}；


(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；


(5)A＝{x|－1

[思路点拨] 分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集及集合相等的概念进行判断．


[解] (1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA．


(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．


(3)∵P表示3的整数倍少1的数构成的数集，Q表示3的整数倍多2的数构成的数集，


∴P＝Q．


(4)等边三角形是三边相等的三角形，故AB．


(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现AB．








判断两个集合A，B的关系，应从集合中元素入手，依据集合间关系的定义得出结论.由AB可推出A⊆B，但由A⊆B推不出AB.





eq \([跟进训练])


1．(一题两空)下列各组的集合中，两个集合之间具有包含关系的是 ，其中A为S真子集的是 ．(填序号)


(1)S＝{－2，－1,1,2}，A＝{－1,1}；


(2)S＝R，A＝{x|x≤0，x∈R}；


(3)S＝{x|x为江苏人}，A＝{x|x为中国人}．


(1)(2)(3) (1)(2) [(1)中A⊆S，且AS；(2)中A⊆S且AS；(3)中S⊆A且SA．]


【例2】 (1)写出集合M＝{1,2,3}的子集，并说明其中真子集的个数为多少．


(2)若集合{1,2}⊆M{1,2,3,4}，试写出满足条件的所有的集合M．


[思路点拨] 对于确定子集(或个数)的题目，可以将子集逐一列举出来再计数．


[解] (1)按子集中包含元素的个数来写：


其中真子集有7个．


(2)M中必有1,2两个元素，但3,4可以没有，也可以只有一个，但不能两个都在M中．


M的可能情况为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．





1．求解有限集合的子集问题，关键有三点


(1)确定所求集合；


(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；


(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．


2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．





eq \([跟进训练])


2．集合M满足{4,5}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，则这样的M共有 个．


8 [易知M中必含有4,5两个元素，但1,2,3可有可无，故M的个数与{1,2,3}的子集的个数相同，共8个．]


[探究问题]


1．A⊆B的意义是什么？若M＝{x|x≤2}，N＝{x|x≤1}，则N⊆M成立吗？


[提示] A⊆B表示集合A中所有的元素都在集合B中．借助数轴表示出M，N两集合，易见N⊆M．


2．若集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|x<1}，则M⊆N成立吗？


[提示] 不成立，因为1∈M但1N，故M⊆N错误．


3．集合M＝{x|2a

[提示] M可以是空集，此时只需要2a≥a＋1，即a≥1．


【例3】 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1

[思路点拨] eq \x(讨论集合B)→eq \x(列关于m的不等式组)


→eq \x(求m的取值范围)


[解] ∵B⊆A，


(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2．


(2)当B≠∅时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1

解得－1≤m<2，综上得m≥－1．





(变条件)若将本例中的“B⊆A”改为“A⊆B”，求实数m的范围．


[解] ∵A⊆B，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3>2m－1，,4

∴不存在这样的实数m，使得A⊆B．





1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．


2．两个易错点


(1)当B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论；


(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．











1．对子集、真子集有关概念的理解


(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．


(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．


(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xA．


2．集合子集的个数


求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．





1．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若B⊆A，则实数m的值为( )


A．0 B．2 C．0或2 D．1


C [因为B⊆A，那么m∈{0,2}，所以m的值是0或2．]


2．集合A＝{－1,0,1}的子集中，含有元素0的子集个数为( )


A．3 B．4 C．5 D．6


B [根据子集定义，集合A的子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，显然含有元素0的子集共有4个． ]


3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为( )


A．{m|m≤3} B．{m|0

C．{m|0≤m≤3} D．{m|0≤m<3}


A [①B≠∅时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3．


②B＝∅时，m＋1>2m－1，解得m<2．


综合①②，可知m≤3．]


4．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＝1))))，则A，B的关系是 ．


BA [∵B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＝1))))＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA．]


5．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．


[解] 因为B是A的子集，


所以B中元素必是A中的元素，


若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．


若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，


所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0．


因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，


此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．


综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合间是否有包含关系．(重点)


2．能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点)


3．能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点)
通过学习本课时内容，进一步提升学生的逻辑推理、数学抽象的核心素养．
定义
如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
符号表示
A⊆B(或B⊇A)
读法
集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)
图示
集合关系的判断
有关子集个数的计数问题
含元素个数
子集
子集个数
0
∅
1
1
{1}，{2}，{3}
3
2
{1,2}，{1,3}，{2,3}
3
3
{1,2,3}
1
集合之间的包含关系