【最新版】高中数学高三培优小题练第3练　逻辑联结词、量词

第3练　逻辑联结词、量词

考点一　全称命题、特称命题

1．命题“全等三角形的面积都相等”的否定是(　　)

A．全等三角形的面积都不相等

B．不全等三角形的面积都不相等

C．存在两个不全等三角形的面积相等

D．存在两个全等三角形的面积不相等

答案　D

解析　因为命题“全等三角形的面积都相等”为全称量词命题，所以否定为“存在两个全等三角形的面积不相等”．

2．已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x≤1，则綈p为(　　)

A．∃x0<0，<1且sin x0>1

B．∃x0<0，≥1或sin x0≤1

C．∃x0≥0，<1或sin x0>1

D．∃x0≥0，<1且sin x0>1

答案　D

3．下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是(　　)

A．∃x0∈R，x－x0＋≤0

B．所有的正方形都是矩形

C．∃x0∈R，x＋2x0＋2＝0

D．至少有一个实数x0，使x＋1＝0

答案　C

解析　由题意可知，原命题为特称命题且为假命题．

选项A，原命题为特称命题，x2－x＋＝2≥0，当x＝时，x2－x＋＝0，

所以原命题为真命题，所以选项A不满足条件；

选项B, 原命题是全称命题，所以选项B不满足条件；

选项C，原命题为特称命题，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≠0，所以原命题为假命题，所以选项C满足条件；

选项D，当x＝－1时，命题成立，

所以原命题为真命题，所以选项D不满足条件．

4．若定义在R上的函数f(x)不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是(　　)

A．∀x∈R，f(x)＋f(－x)≠0

B．∀x∈R，f(x)＝f(－x)

C．∃x0∈R，f(x0)＋f(－x0)≠0

D．∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)

答案　C

解析　命题“定义域为R的函数f(x)不是奇函数”是“定义域为R的函数f(x)是奇函数”的否定，而定义域为R的函数f(x)是奇函数满足∀x∈R，f(－x)＝－f(x)，所以它的否定形式为∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)．

考点二　含逻辑联结词的命题的真假判断

5．(2021·全国乙卷改编)已知命题p：∃x0∈R，sin x0<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1.则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∧q   B．綈p∧q

C．p∧綈q   D．綈(p∨q)

答案　A

解析　由正弦函数的图象及性质可知，存在x0∈R，使得sin x0<1，所以命题p为真命题．对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p∧q为真命题．

6．(2022·保定模拟)已知p，q是两个命题，若(綈p)∨q是假命题，那么(　　)

A．p是真命题且q是假命题

B．p是真命题且q是真命题

C．p是假命题且q是真命题

D．p是假命题且q是假命题

答案　A

解析　因为(綈p)∨q是假命题，所以綈p与q都是假命题，则p是真命题且q是假命题．

7．已知命题p：若x<y，a∈R，则a2x≤a2y；命题q：若|a|＝|b|，则a∥b.在命题①p∨q；②p∧q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧q中，真命题有(　　)

A．①③  B．①④  C．②③  D．②④

答案　A

解析　若x<y，a∈R，则a2x≤a2y，所以命题p为真命题；

若|a|＝|b|，则a与b只是模相等，方向不一定相同，所以命题q为假命题．

根据复合命题的真假判断原则知，p∨q为真命题，p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，则①③正确．

考点三　由命题的真假确定参数的范围

8．若“∃x0∈R，使得sin x0－cos x0＝a”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－2,2]

B．(－2,2)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

答案　A

解析　若∃x0∈R，使得sin x0－cos x0＝a，

则sin x0－cos x0＝2sin＝a要有解，

∵2sin∈[－2,2]，∴a∈[－2,2]．

9．(2022·贵阳质检)已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p∧(綈q)为真命题，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1，＋∞)

B．(－∞，2]

C．(1,2]

D．(－∞，1]∪(2，＋∞)

答案　C

解析　若命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点为真命题，

由零点存在定理可知f(0)·f(1)＝－1×(2a－2)<0，解得a>1；

若命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数为真命题，

则2－a<0，解得a>2.

因为p∧(綈q)为真命题，所以p为真命题，綈q为真命题，则q为假命题，

所以即1<a≤2，

所以实数a的取值范围为(1,2]．

10．已知命题p：∃x0∈R，ax＋x0＋a＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是__________________．

答案　∪

解析　因为命题p：∃x0∈R，ax＋x0＋a＝0，为假命题，

所以綈p为真命题，即∀x∈R，ax2＋x＋a≠0恒成立，

所以或

解得a<－或a>.

11．给出下列三个命题：

p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；

p2：∃a0，b0∈R，a－a0b0＋b<0；

p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．

则下列命题中的真命题为(　　)

A．p1∨p2   B．p2∧p3

C．p1∨(綈p3)   D．(綈p2)∧p3 

答案　D

解析　对于p1，令f(x)＝ax＋x(a>0，且a≠1)，当a＝时，f(0)＝0＋0＝1，f(－1)＝－1－1＝1，所以p1为假命题；

对于p2，因为a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，所以p2为假命题；

对于p3，因为cos α＝cos β⇔α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题．所以(綈p2)∧p3为真命题．

12．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根，q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在区间[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－12，－4]∪[4，＋∞)

B．[－12，－4]∪[4，＋∞)

C．(－∞，－12)∪(－4,4)

D．[－12，＋∞)

答案　C

解析　若关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4.若关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在区间[3，＋∞)上是增函数，则≤3，即a≥－12.由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题知，p，q一真一假．若p真q假，则a<－12；若p假q真，则－4<a<4.故实数a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．

13．设p：函数f(x)＝x3－mx－1在区间[－1,1]上单调递减；q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围是__________________．

答案　(1,3)∪[5，＋∞)

解析　∵f(x)＝x3－mx－1，∴f′(x)＝3x2－m，

当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0，函数为减函数，

∴当p为真命题时，3－m≤0，解得m≥3.

若q为真命题，则9－m>m－1>0，

解得1<m<5.

若命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，

则命题p，q一真一假，

故或

解得m≥5或1<m<3.

14．已知f(x)＝x2－mx＋4，g(x)＝log2x，若“∀x1∈[1,4]，∃x2∈[2,4]，使得f(x1)>g(x2)成立”为真命题，则实数m的取值范围是________．

答案　(－∞，2)

解析　当x2∈[2,4]时，有g(x2)∈[1,2]，

则∀x1∈[1,4]，∃x2∈[2,4]，使得f(x1)>g(x2)成立，

等价于∀x1∈[1,4]，f(x1)>1，

即x2－mx＋3>0，在x∈[1,4]上恒成立，

分离参数可得x＋>m，

当x∈[1,4]时，min＝2，当且仅当x＝时取等号，所以m<2.