【最新版】高中数学高三培优小题练第6练　函数的奇偶性、对称性与周期性

第6练　函数的奇偶性、对称性与周期性

考点一　函数的奇偶性

1．下列函数中，为奇函数的个数是(　　)

①y＝2x－2－x；②y＝ln(x＋1)＋ln(x－1)；

③y＝④y＝ln.

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　C

解析　对于①，设f(x)＝2x－2－x，定义域为R，f(－x)＝－f(x)，为奇函数；

对于②，y＝ln(x＋1)＋ln(x－1)，定义域为，所以为非奇非偶函数；

对于③，作出函数的图象，如图中实线部分所示，

根据图象可知，为奇函数；

对于④，设f(x)＝ln，定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln 1＝0，

即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．

2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于(　　)

A．e－x－1   B．e－x＋1

C．－e－x－1   D．－e－x＋1

答案　D

解析　∵f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1.

∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1，

得f(x)＝－e－x＋1.

3．已知函数f(x)＝x3－3sin x＋2，若f(m)＝3，则f(－m)等于(　　)

A．－3   B．－1

C．1   D．2

答案　C

解析　因为y＝x3，y＝sin x是奇函数，

又f(x)＝x3－3sin x＋2，

故可得f(m)＋f(－m)＝4，

∴f(－m)＝4－f(m)＝1.

4．(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.

答案　1

解析　方法一　(定义法)因为f(x)＝x3·(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)·(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.

方法二　(取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以－＝2a－，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.

方法三　(转化法)由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.

考点二　函数的对称性

5．已知奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(m)＝3，则f(m－4)的值为(　　)

A．3  B．0  C．－3  D.

答案　C

解析　由函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，可得f(m)＝f(4－m)，再结合y＝f(x)为奇函数，可得f(m)＝f(4－m)＝－f(m－4)＝3，求得f(m－4)＝－3.

6．已知对任意实数x，函数满足f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sin x－x，设a＝f ，b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<b<c   B．c<a<b

C．b<c<a   D．b<a<c

答案　D

解析　由f＝f，可得f(x)关于x＝1对称，

所以a＝f ＝f ，c＝f(0)＝f(2)，

当x∈时，

由f(x)＝sin x－x，可得f′(x)＝cos x－1≤0，

即函数f(x)＝sin x－x在上单调递减，

因此f(3)<f <f(2)，

即f(3)<f <f(0)，

即b<a<c.

7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－x)＝f(x＋4)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2－x－1，则f(3)＝________.

答案　－1

解析　∵f(－x)＝f(x＋4)，

∴f(x)的图象关于x＝2对称，

∴f(3)＝f(1)，

又f(x)为奇函数，

∴f(1)＝－f(－1)＝－(21－1)＝－1.

即f(3)＝－1.

考点三　函数的周期性

8．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(x－1)＝－f(x＋3)，当x∈[－4,0)时，f(x)＝3－x，则f(985)等于(　　)

A．27   B．－27

C．9   D．－9

答案　B

解析　由f(x－1)＝－f(x＋3)知，y＝f(x)为周期为8的周期函数，

所以f(985)＝f(1)，f(1)＝f＝－f＝－33＝－27.

9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，f(3)<4，f(2 021)＝p，则实数p的取值范围为(　　)

A．(4，＋∞)   B．(2，＋∞)

C．(－2，＋∞)   D．(－4，＋∞)

答案　D

解析　由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)是周期函数，周期为4，

于是p＝f(2 021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－f(3)>－4，

所以p>－4.

10．(2022·新余模拟)已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于(　　)

A．－50  B．0  C．2  D．50

答案　C

解析　因为f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，

所以f(1＋x)＝－f(x－1)，所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期T＝4，

因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，

因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，

因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2.

11．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)

A．f(x－1)－1   B．f(x－1)＋1

C．f(x＋1)－1   D．f(x＋1)＋1

答案　B

解析　方法一　因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.

对于A，令F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)，故A不符合题意；

对于B，令G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，故B符合题意；

对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称，故C不符合题意；

对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称，故D不符合题意．

方法二　f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.

12．若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f(x)－g(x)＝ex，则(　　)

A．f(－2)<f(－3)<g(－1)

B．g(－1)<f(－3)<f(－2)

C．f(－2)<g(－1)<f(－3)

D．g(－1)<f(－2)<f(－3)

答案　D

解析　若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足2f(x)－g(x)＝ex，

∴2f(－x)－g(－x)＝e－x⇒2f(x)＋g(x)＝e－x，

∴f(x)＝，g(x)＝，

代入数值知g(－1)<f(－2)<f(－3)．

13．(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f 等于(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　D

解析　由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0.①

由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6.②

根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f ＝f ＝－f ＝2×

2－2＝.

14．设f″(x)是y＝f′(x)的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)都有对称中心(x0，f(x0))，其中x0满足f″(x0)＝0.已知f(x)＝x3－x2＋3x＋，则f ＋f ＋f ＋…＋f ＝________.

答案　4 040

解析　根据题意，对于函数f(x)＝x3－x2＋3x＋，

有f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1.

由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝，

又由f ＝2，

即函数f(x)＝x3－x2＋3x＋的对称中心为，

则有f(x)＋f(1－x)＝4，

则f ＋f ＋f ＋…＋f 

＝f ＋f ＋f ＋f ＋…＋f ＋f 

＝4×1 010＝4 040.