【最新版】高中数学高三培优小题练第68练　圆的方程

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第68练　圆的方程，共5页。试卷主要包含了已知圆E，已知圆C1等内容，欢迎下载使用。

考点一 圆的标准方程
1．设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，1))，则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8
C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8
答案 A
解析 直径|AB|＝eq \r(4－22＋1＋12)＝2eq \r(2)，所以半径为eq \r(2)，又中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0))，所以圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
2．圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5
B．(x－1)2＋(y－3)2＝5
C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5
D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5
答案 C
解析 由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5.
3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案 A
解析 因为过点A(1，－1)与B(－1,1)，
所以线段AB的中点坐标为(0,0)，
kAB＝eq \f(1－－1,－1－1)＝－1，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为k＝1，
线段AB的垂直平分线的方程为y＝x，
又因为圆心在直线x＋y－2＝0上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,y＝x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))所以圆心为(1,1)，r＝eq \r(1－12＋1＋12)＝2，
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
4．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________________．
答案 (x－2)2＋y2＝9
解析 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，
设C(a,0)，a>0，
所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq \f(2a,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，
解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝eq \r(4＋5)＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
考点二 圆的一般方程
5．(2022·盐城模拟)已知圆E：x2－ax＋y2－2y－2＝0关于直线l：x－y＝0对称，则a等于( )
A．0 B．1 C．2 D．4
答案 C
解析 由题意得圆心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))，
已知圆E：x2－ax＋y2－2y－2＝0关于直线l：x－y＝0对称，所以圆心在直线l上，所以eq \f(a,2)－1＝0，
所以a＝2.
6．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心坐标为( )
A．(－1,1) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(0，－1)
答案 D
解析 由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝eq \f(1,2)eq \r(k2＋4－4k2)＝eq \f(1,2)eq \r(－3k2＋4)，
要使圆的面积最大，需使半径r最大，
所以当k＝0时，rmax＝eq \f(1,2)eq \r(4)＝1，
此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．
7．已知△ABC顶点的坐标分别为A(4,3)，B(5,2)，C(1,0)，则其外接圆的一般方程为__________________．
答案 x2＋y2－6x－2y＋5＝0
解析 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将三个点代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4D＋3E＋F＋25＝0，,5D＋2E＋F＋29＝0，,D＋F＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－2，,F＝5，))所以圆的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
考点三 点与圆的位置关系
8．(2022·天津市静海区模拟)已知圆C1：x2＋y2＝1，点A(x0，y0)在圆C1上，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－4x0的最大值为( )
A．－2 B．－1 C．5 D．9
答案 C
解析 由点A(x0，y0)在圆C1上，得xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝1，且x0∈[－1,1]，
所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－4x0＝1－4x0∈[－3,5]，
所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－4x0的最大值为5.
9．已知点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是( )
A．a>1 B．0C．a答案 D
解析 点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，即(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1.
10．已知P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝a2(a>0)上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，△PAB的面积的最大值为8，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 要使△PAB的面积最大，只需点P到直线AB的距离最大．
由于AB的方程为y＝0，圆心(0,3)到直线AB的距离d＝3，
故P到直线AB的距离的最大值为3＋a.
再根据|AB|＝4，可得△PAB面积的最大值为eq \f(1,2)|AB|·(3＋a)＝2(3＋a)＝8，解得a＝1.
11．若a∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，1，\f(3,4)))，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0，即方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,2)))2＋(y＋a)2＝1－a－eq \f(3,4)a2，
可以表示圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，－a))，半径为eq \r(1－a－\f(3,4)a2)的圆．
当a＝－2时，1－a－eq \f(3,4)a2为0，不表示圆．
当a＝0时，半径为1，表示一个圆．
当a＝1时，1－a－eq \f(3,4)a2<0，不表示圆．
当a＝eq \f(3,4)时，1－a－eq \f(3,4)a2<0，不表示圆．
综上可得，所给的方程表示的圆的个数为1.
12．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．1 B．5
C．4eq \r(2) D．3＋2eq \r(2)
答案 D
解析 由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(a＋b)＝3＋eq \f(b,a)＋eq \f(2a,b)
≥3＋2 eq \r(\f(b,a)×\f(2a,b))＝3＋2eq \r(2)，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(2a,b)，即b＝2－eq \r(2)，a＝eq \r(2)－1时，等号成立．
∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为3＋2eq \r(2).
13．若一动点C在曲线x2＋y2＝1上移动，则它和定点B(3,0)的连线的中点P的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))2＋y2＝1
答案 C
解析 设动点C的坐标为(x0，y0)，P点的坐标为(x，y)，则x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，即x0＝2x－3，y0＝2y.
又动点C(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上，xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝1，所以(2x－3)2＋4y2＝1即为P点的轨迹方程．
14．圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，直线l：3x＋4y＋c＝0.若圆C上到直线l的距离等于1的点有且仅有2个，则实数c的取值范围是____________________．
答案 (－14，－4)∪(6,16)
解析 圆C的圆心为(1，－1)，半径r＝2，
圆心到直线l的距离
d＝eq \f(|3－4＋c|,\r(32＋42))＝eq \f(|c－1|,5)，
依题意r－1则1∴5<|c－1|<15，
解得6