【最新版】高中数学高三培优小题练第71练　椭圆及其性质

这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第71练　椭圆及其性质，共6页。试卷主要包含了已知两圆C1，曲线C1，设椭圆C，设F1，F2是椭圆E，已知F1，F2分别是椭圆E等内容，欢迎下载使用。

考点一 椭圆的定义
1．若椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,4)＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 B
解析 依题意，得a＝5，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝3，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝2a－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝10－3＝7.
2．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆C在圆C1内部且与圆C1相内切，与圆C2相外切，则动圆C圆心的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1(x≠±8)
B.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
C.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1
D.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1(x≥8)
答案 B
解析 设圆C的半径为r，则|C1C|＝13－r，|C2C|＝3＋r，所以|C1C|＋|C2C|＝16>8，所以点C的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，所以2a＝16，a＝8，b2＝64－16＝48.
所以所求的轨迹方程为eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
3．如图，把椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1F))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F))＋…＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P7F))等于( )
A．35 B．30 C．25 D．20
答案 A
解析 设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性，知eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P1F))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P7F′))，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P2F))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P6F′))，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P3F))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P5F′))，所以原式＝(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P7F))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P7F′)))＋(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P6F))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P6F′)))＋(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P5F))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P5F′)))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(P4F))＝7a＝35.
考点二 椭圆的标准方程
4．(2022·通州模拟)若方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,1－m)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )
A．0B．0C．0D.eq \f(1,2)答案 D
解析 方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,1－m)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m>1－m>0，则eq \f(1,2)5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则该椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1
B.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1
D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1
答案 C
解析 由题意，得2a＋2b＝18,2c＝6，
∴a＋b＝9，c＝3.又c2＝a2－b2＝9，
∴a－b＝1，得a＝5，b＝4，
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1.
6．已知椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－4))和点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－3))，则此椭圆的标准方程是( )
A.eq \f(y2,25)＋x2＝1
B.eq \f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,25)＋y2＝1
D．以上均不正确
答案 A
解析 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1，将点P，Q代入得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))解得m＝1，n＝eq \f(1,25).
所以此椭圆的标准方程为eq \f(y2,25)＋x2＝1.
考点三 椭圆的性质
7．曲线C1：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1与曲线C2：eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(0A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
答案 D
解析 因为09－k>0.所以曲线C2是焦点在x轴上的椭圆，记其长半轴长为a2，短半轴长为b2，半焦距为c2，则ceq \\al(2,2)＝aeq \\al(2,2)－beq \\al(2,2)＝25－k－(9－k)＝16.曲线C1也是焦点在x轴上的椭圆，记其长半轴长为a1，短半轴长为b1，半焦距为c1，则ceq \\al(2,1)＝aeq \\al(2,1)－beq \\al(2,1)＝25－9＝16，所以曲线C1和曲线C2的焦距相等．
8．设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
答案 D
解析 在Rt△PF2F1中，令eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝2，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝eq \r(3).故椭圆C的离心率e＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2)))＝eq \f(\r(3),3).
9．设F1，F2是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝eq \f(3a,2)上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,5)
答案 C
解析
如图，根据题意可知，
|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，
∴∠F1F2P＝120°，
∴∠PF2x＝60°，
∴|F2P|＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)－c))＝3a－2c.
∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，
∴3a＝4c，∴eq \f(c,a)＝eq \f(3,4)，
即椭圆的离心率为eq \f(3,4).
10．已知F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M在椭圆E上，∠F1MF2＝θ，△MF1F2的面积为b2sin θ，则椭圆E的离心率e的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
答案 D
解析 由椭圆的定义知，|MF1|＋|MF2|＝2a，
∵＝eq \f(1,2)|MF1||MF2|sin θ＝b2sin θ，
∴|MF1||MF2|＝2b2，
∵|MF1||MF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|MF1|＋|MF2|,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,2)))2＝a2，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝a时取等号，
∴2b2≤a2，故2a2－2c2≤a2，即a2≤2c2，
∴e≥eq \f(\r(2),2)，又0∴eq \f(\r(2),2)≤e<1.
11．已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上一点，M，N分别是圆(x＋3)2＋y2＝4和(x－3)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的取值范围是( )
A．[7,13] B．[10,15]
C．[10,13] D．[7,15]
答案 A
解析 根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以7＝10－(1＋2)≤|PM|＋|PN|≤10＋1＋2＝13，
即所求取值范围为[7,13]．
12．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－2,0)，过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为eq \r(3)b，则椭圆的标准方程为( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(y2,8)＋eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
答案 A
解析 由左焦点为F1(－2,0)，可得a2－b2＝4，过点F1作倾斜角为30°的直线方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d＝eq \f(\f(2\r(3),3),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2))＝1.由该直线与圆x2＋y2＝b2相交的弦长为eq \r(3)b，可得2eq \r(b2－1)＝eq \r(3)b，解得b＝2，a＝2eq \r(2)，则椭圆的标准方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，eq \r(3))，B(0，－eq \r(3))，动点M满足|MA|＋|MB|＝4，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 1
解析 易知M的轨迹为椭圆，其方程为eq \f(y2,4)＋x2＝1，
设M(x，y)，则x2＝1－eq \f(y2,4)，
∴eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝(－x，eq \r(3)－y)·(－x，－eq \r(3)－y)＝x2＋y2－3＝y2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y2,4)))－3＝eq \f(3y2,4)－2，
∵y∈[－2,2]，
∴eq \f(3,4)y2∈[0,3]，即eq \f(3y2,4)－2∈[－2,1]，
∴(eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→)))max＝1.
14．(2022·南昌大学附属中学模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 显然，当P是短轴端点时，|PF1|＝|PF2|，满足△F1F2P为等腰三角形，因此由对称性知，其余四个点在四个象限内各有一个，
设P(x，y)是第一象限内使得△F1F2P为等腰三角形的点，
若|PF1|＝|F1F2|，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,\r(x＋c2＋y2)＝2c，))
又a2＝b2＋c2，消去y整理得c2x2＋2a2cx－4a2c2＋a4＝0，
解得x＝eq \f(－a2－2ac,c)(舍去)或x＝eq \f(－a2＋2ac,c)，
由0即eq \f(1,2)若|PF2|＝|F1F2|，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,\r(x－c2＋y2)＝2c，))
又a2＝b2＋c2，消去y整理得c2x2－2a2cx－4a2c2＋a4＝0，
解得x＝eq \f(a2－2ac,c)或x＝eq \f(a2＋2ac,c)，又eq \f(a2＋2ac,c)>a，所以舍去．
所以0即eq \f(1,3)综上，e的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).