初中数学华师大版九年级上册第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形精品学案

课题

解直角三角形

单元

24

学科

数学

年级

九年级

知识目标

1.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.

2.理解仰角、俯角的含义，掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题

重点难点

重点：用直角三角形的三个关系式解直角三角形

难点：能解与直角三角形有关的实际问题

教学过程

知识链接

合作探究

一、教材111页

例1、如图，一棵大树在一次强烈的地震中于地面5米折断倒下，树顶落在离树根12米处.则大树在折断之前高多少？

在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程叫             。

解直角三角形的依据是什么

三边关系：                                                       。

三角的关系：                                                。

边角的关系：                                             。

例2:如图,东西两炮台A,B相距2000米,同时发现入侵敌舰C,炮台A测得敌舰在它的南偏东40°的方向,炮台B测得敌舰C在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)

归纳：解直角三角形的两种情况;

                                     ;                                 .

二、教材113页读一读

观察图片，什么是仰角和俯角

仰角：                                         。

俯角：                                             。

三、教材114页

例3、如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角=52°.求旗杆BC的高(精确到0.1米)

归纳：实际问题的解法

                                                  。

四、教材115页读一读

什么叫坡角？

                                          。

如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做        ,记作i, 即 i=

坡度与坡角的关系是                                    。

例4、如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米)

五、教材116页读一读

归纳：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是什么？

                                                    ，

                                                     ，

                                                     ，

                                                      。

自主尝试

1．有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里到C处，测得小岛P在正东方向上，则A、B之间的距离是(　　)

A．10海里                               B．(10－10)海里

C．10海里                                 D．(10－10)海里

2、如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米．

【方法宝典】

利用方位角以及坡度角即可解答此题.

当堂检测

1．如图，某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点，B在O点的正东方，且在A的正南方，则此时AB间的距离是________米．(结果保留根号)

2.河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶，则AB的长为(　　)

A．12米                            B．4米

C．5米                           D．6米

3.如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(≈1.732)

4. 马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我国两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，如图，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)

(1)求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；

(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．

小结反思

通过本节课的学习，你们有什么收获？

会用直角三角形解决实际问题.

参考答案：

当堂检测：

1．10  2．A

3.该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．

理由如下：由题意，得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°.

∴∠CAB＝∠ABD，∴BC＝AC＝200海里．

在Rt△ACD中，设CD＝x海里，则AC＝2x，AD＝＝＝x.

在Rt△ABD中，AB＝2AD＝2x，BD＝＝＝3x.

又∵BD＝BC＋CD，∴3x＝200＋x，解得x＝100.

∴AD＝x＝100≈173.2，

∵173.2海里＞170海里，∴轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．　

4.(1)过点P作PH⊥AB于点H，

根据题意，得∠PAH＝90°－53.5°＝36.5°，∠PBH＝45°，AB＝140海里．

设PH＝x海里，在Rt△PHB中，tan45°＝，

∴BH＝x.在Rt△PHA中，tan36.5°＝，∴AH＝＝x.

又∵AB＝140，∴x＋x＝140，解得x＝60，即PH＝60.

答：可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为60海里．

(2)在Rt△PHA中，AH＝×60＝80，PA＝＝100.

救助船A到达P处的时间tA＝100÷40＝2.5(小时)；

在Rt△PHB中，PB＝＝60，

救助船B到达P处的时间tB＝60÷30＝2(小时)．

∵2.5＜2，∴救助船A先到达P处．